第四章力学量随时间的演化与对称性

第四章力学量随时间的演化与对称性第一页，共十七页，编辑于2023年，星期五

力学量A的平均值为:

它随时间演化为第二页，共十七页，编辑于2023年，星期五若A不显含t，则若[A，H]=0既:这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。第三页，共十七页，编辑于2023年，星期五

证明：在任意态下A的概率分布也不随时间改变。

首先，选择包括H和A在内的一组力学量完备集，其共同本征态为

即

则，在该态下，在t时刻测量A得的概率为

因此，A称为量子体系的一个守恒量第四页，共十七页，编辑于2023年，星期五关于量子体系的守恒量的几点说明量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。与定态区分：定态：体系的一种特殊的状态－能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t）的平均值和测量概率分布都不随时间改变。守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随时间改变。第五页，共十七页，编辑于2023年，星期五4.1.2能级简并与守恒量的关系定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0则体系能级一般是简并的。推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本征态ΨE），则ΨE必为F的本征态。当能级出现简并时，可以根据对体系对称性的分析，找出其守恒量。然后要求能量本征态同时又是包含H在内的对易守恒量完全集的共同本征态，就可把能级的各简并态标记清楚。第六页，共十七页，编辑于2023年，星期五位力（virial）定理

设粒子处于势场V（r）中，

对于定态，

所以

即

此式位位力定理第七页，共十七页，编辑于2023年，星期五

4.2波包的运动，Ehrenfest定理一.Ehrenfest定理设粒子的Hamilton量为把（2）带入（3）得此谓Ehrenfest定理当可以近似代之为时，波包中心的运动规律才与经典粒子相同。第八页，共十七页，编辑于2023年，星期五二.在什么条件下可以把波包近似看成经典的粒子？考虑一维波包的运动在波包中心附近对V(x)作Taylor展开，令可见，只当时，才可近似代之为

要求上式在整个过程中成立，就要求

（a）波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害

（b）V在空间变化较缓慢（在波包范围中变化很小）

第九页，共十七页，编辑于2023年，星期五例α粒子对原子的散射原子的半径约为a≈10-8cm.天然放射性元素放出的α粒子能量约为3~7Mev.设,则动量为,为α粒子质量。在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为在时间间隔中，波包扩散约为如果要把粒子看成经典粒子，要求由不确定度关系，与天然放射性元素放射出来的α粒子的动量比较成立，所以可以用经典粒子来近似描述。α第十页，共十七页，编辑于2023年，星期五

4.4守恒量与对称性的关系设体系的状态用Ψ描述，则薛定谔方程为Q为某种线性变换（存在逆变换Q-1，不依赖于时间）如果[Q,H]=0,表示体系在变换Q下保持不变。由概率守恒Q为么正算符对于连续变换，考虑无穷小变换，令第十一页，共十七页，编辑于2023年，星期五则即要求则F为厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。它可以用来定义一个与Q变换相联系的可观测量。F就是体系的一个守恒量第十二页，共十七页，编辑于2023年，星期五一.平移不变性与动量守恒体系沿x方向的无穷小平移体系状态变换算符为D令，在x处的Taylor展开所以平移算符可以表示为第十三页，共十七页，编辑于2023年，星期五Px就是动量算符的x分量对于三维空间的无穷小平移动量算符设体系对于平移具有不变性，[D,H]=0,应用到无穷小平移，则有[p,H]=0

此即动量守恒的条件第十四页，共十七页，编辑于2023年，星期五二.空间旋转不变性与角动量守恒体系绕z轴旋转无穷小角度体系状态转动变换算符为R令所以绕Z轴的转动算符可以表示为lz是角动量算符的z分量第十五页，共十七页，编辑于2023年，星期五三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷小旋转在此变换下，标量波函数变化如下：无穷小旋转的变换表示