第六章空间力系

第六章空间力系第一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；

(b)图中去了风力为空间平行力系。迎面风力侧面风力b第二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五一、力在空间轴上的投影与分解：

1.力在空间的表示： 力的三要素：大小、方向、作用点(线)

大小： 作用点：在物体的哪点就是哪点

方向：由、、g三个方向角确定 由仰角与俯角来确定。bgqFxyO§4–1空间汇交力系第三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五2、一次投影法（直接投影法）由图可知：3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即第四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：而：所以：FxFyFz第五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 由 为合力在x轴的投影，∴二、空间汇交力系的合成：第六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.第七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五三、空间汇交力系的平衡：

称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程∴解析法平衡充要条件为：∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：第八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.该力系的合力等于零，即空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.第九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。

例题例题1

空间力系参见动画：例题1(1)第十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。

解：

空间力系

例题例题1Fxy

=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy

=Fcos30osin45oFz

=Fsin30o参见动画：例题1(2)第十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例题2

例题

如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角)

β和压力角α，试求力Fn沿x，y

和z

轴的分力。

空间力系第十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例题2

例题

运动演示

空间力系参见动画：圆柱斜齿轮受力分析第十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例题2

例题将力Fn向z轴和Oxy平面投影解：

空间力系第十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例题2

例题沿各轴的分力为将力Fxy向x，y轴投影

空间力系第十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例4-3求：三根杆所受力.已知：P=1000N,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，

画受力图。（拉）第十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§4–2空间力偶理论1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；第十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，顺时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。第十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五2、空间力偶等效定理

作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变力偶的性质(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零.（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡.第十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）第二十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五3．空间力偶系的合成与平衡方程==有为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.如同右图第二十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程.空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即

第二十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五定义： 它是代数量，方向规定+–结论：力对平行它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。[证]§4–3力对轴之矩和力对点之矩1.力对轴的矩第二十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.第二十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五力对平行它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。第二十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

2、力对点的矩以矢量表示——力矩矢（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:转动方向（1）大小:力F与力臂的乘积三要素：在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。力矩的几何意义:mo(F)=±2OAB面积=±Fd第二十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为mo(F)=

r×F

=第二十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

若各力的作用线均在xy

平面内.则Fz=0,即任一力的坐标

z=0则有mo(F)=xFx-yFy=说明：由于力矩矢的大小和方向都与矩心的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量第二十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五即：三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系[证]通过O点作任一轴Z，则：由几何关系：所以：

定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。

第二十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五例设曲杆OABD位于同一平面内,且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如图所示.在曲杆D点上作用一力P,其大小为p=2kN.力P位于垂直于BD的平面内,且于竖直线成夹角=30o.求力P分别对图示直角坐标轴的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP第三十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五PxzyoABD3cm4cm5cm解：(1)根据力对轴的矩的定义计算M1oPyzd1作和x轴垂直的平面M1.找出交点O.确定力P在平面M1内的分力Pyz=1.732kN.在平面M1内确定力Pyz到矩心O的距离即力臂d1=8cm计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩mx(P)=mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

第三十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五作和y轴垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm确定力P在平面M2内的分力Pxz=P=1kN.在平面M2内确定力Pxz到矩心O的距离即力臂d2=3.464cm计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩my(P)=mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cmM2Pd2亦可用合力矩定理计算:my(P)=mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm找出交点O.o第三十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五PxzyoABD3cm4cm5cm作和z轴垂直的平面M3.o找出交点O.确定力P在平面M3内的分力Pxy=1kN.在平面M3内确定力P到矩心O的距离即力臂d3=8cm计算力Pxy对点O的矩亦即力P对z轴的矩mz(P)=mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cmPxyM3d2第三十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五(2)根据力矩关系定理计算x=-4px=psin30oxzyoABD3cm4cm5cmy=8z=0

py=0pz=-pcos30o第三十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§4–4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩1．

空间任意力系向一点的简化空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.第三十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五主矩主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力第三十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

结论:

空间任意力系向任一点简化,一般可得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,它的矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的主矩.

主矢R'只取决于原力系中各力的大小和方向,与简化中心的位置无关;而主矩Mo

的大小和方向都与简化中心的位置有关.第三十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五（1）

合力合力.合力作用线距简化中心为过简化中心合力合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴）之矩的矢量和.第三十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。1、若 ,则该力系平衡（下节专门讨论）。2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。3、若 则力系可合成为一个合力，主矢等于原力系合力矢，合力通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）第三十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

4、若 此时分两种情况讨论。即：①

②

由于做①若 时可进一步简化，将MO变成(

R'',R)使R'与R''抵消只剩下R。第四十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五②若 时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）[例]①拧螺丝

②炮弹出膛时炮弹螺线③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此种情况下，<1>首先把MO

分解为M//和M

<2>将M//和M

分别按①、②处理。''第四十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五M

使主矢R'搬家，搬家的矩离：所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M//是自由矢量，可将M//搬到O'处M//不变，第四十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§4–5空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：1.空间任意力系的平衡方程

空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零.第四十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五3.空间力系平衡问题举例2.空间约束类