辅助线在全等三角形中的应用

辅助线在全等三角形中的应用

（一）常德市第五中学

数学组

游琳如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上。于是小军说：“CD的长度是河的宽度。”你能说出这个道理吗？

检测导入ABECD∠AEB=∠CED∴△AED≌△CED（AAS）解：在△AEB和△CED中

∠ABE=∠CDE=AE=CE∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）因此，CD的长度是河的宽度。如图，线段AB与AC相交于点A，点O是AC的中点，你能类似于上面“测量河宽”的问题，通过添加辅助线，构造出全等三角形吗？并说一说你的构造过程.

OABC自主探究OABCDD

方法1：过点C作CD平行AB

交BO的延长线于点D依据：AAS

方法2：在BO的延长线上取

点D，使BO=DO依据：SAS例：如图，已知点D是等边△ABC的边AB上一点，点E在BC的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD.

合作互学ABCEDFG

∴∠B=∠A=∠ACB=∴△ADG是等边三角形∴AD=DG

证明：过点D作DG∥BC交AF于点G

在△DGF和△ECF中∠GFD=∠CFE（对顶角相等）∠GDF=∠E

FD＝FE

∴△DGF≌△ECF（AAS）

∴CE=DG∵△ABC是等边三角形∵DG∥BC∴∠ADG=∠B=

∴CE＝AD

∴∠GDF=∠E例：如图，已知点D是等边△ABC的边AB上一点，点E在BC的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝ADABCEDF合作互学G∵△ABC是等边三角形

∵DG∥BC

∴∠ADG=∠B=

∴CE＝AD

∴∠B=∠A=∠ACB=∴△ADG是等边三角形∴AD=DG

证明：在线段AF上取点G，使得FG=FC

在△DGF和△ECF中∠GFD=∠CFE（对顶角相等）

FG=FC

FD＝FE

∴△DGF≌△ECF（SAS）

∴CE=DG∠GDF=∠E∴DG∥BC例：如图，已知点D是等边△ABC的边AB上一点，点E在BC的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

合作互学ABCEDF

分析（1）过点E作EG∥AB交AF的延

长线于点G（2）可证明△ADF≌△GEF，从而得到AD＝GEG（3）再证明△CGE为等腰三角形，得到

EG＝CE，从而

AD＝CE例：如图，已知点D是等边△ABC的边AB上一点，点E在BC的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

合作互学ABCEDF

分析（1）在线段AF的延长线上取点G，

使得FG=FCG（2）可证明△ADF≌△GEF，从而得到AD＝GE（3）再证明△CGE为等腰三角形，得到

EG＝CE，从而

AD＝CE例：如图，已知点D是等边△ABC的边AB上一点，点E在BC的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

ABCEDF合作互学

1、构造全等三角形方法：

①作平行线ABCEDFG②可截等长线段G在线段的延长线上截等长线段在线段上截等长线段方法与思想：2、证明线段或角相等，不可直接证明时，考虑转化的思想如图，AN是△ABC中∠BAC的平分线，点M是BC的中点，过点M作ME∥AN交AB于点D，交CA的延长线于点E.求证：BD＝CE.ABMCNDE达标拓展PABMCNDEP如图，AN是△ABC中∠BAC的平分线，点M是BC的中点，过点M作ME∥AN交AB于点D，交CA的延长线于点E.求证：BD＝CE.ABMCNDE达标拓展P证明：如图，过C点作AB的平行线交DM的延长线于点P，连接MP，在△BMD和△CMP中∠BMD=∠CMP（对顶角相等）

BM=

MC

∠B=∠MCP

∴△BMD≌△CMP（ASA）∵AB∥CP∴∠B=∠MCP∵点M是BC的中点∴BM=

MC

∴BD=CP，∠BDM=∠CPM∵ME∥AN∴∠BDM=∠BAN，∠PEC=∠NAC

∵AN是△ABC中∠BAC的平分线∴∠BAN=∠NAC∴∠BAN=∠NAC∴∠PEC=∠CPM∴CE=

CP（等角对等边）∴CE=

BD（等量代换）如图，AN是△ABC中∠BAC的平分线，点M是BC的中点，过点M作ME∥AN交AB于点D，交CA的延长线于点E.求证：BD＝CE.ABMCNDE达标拓展P分析：（1）如图，过B点作AC的平行线交EM的延长线于点P，连接MP，（2）可证明△BMP≌△CME，从而得到

BP＝CE（3）再证明△BPD为等腰三角形，得到

BP＝BD，从而

BD＝CE如图，AN是△ABC中∠BAC的平分线，点M是BC的中点，过点M作ME∥AN交AB于点D，交CA的延长线于点E.求证：BD＝CE.ABMCNDE达标拓展P证明：如图，在DM的延长线上取点P，使DM=

MP连接CP，∵点M是BC的中点∴BM=

MC

∴BD=CP，∠BDM=∠CPM在△BMD和△CMP中∠BMD=∠CMP（对顶角相等）

BM=

MC

BD=

MP

∴△BMD≌△CMP（SAS）∵ME∥AN∴∠BDM=∠BAN，∠PEC=∠NAC

∵AN是△ABC中∠BAC的平分线∴∠BAN=∠NAC∴∠BAN=∠NAC∴∠PEC=∠CPM∴CE=

CP（等角对等边）∴CE=

BD（等量代换）如图，AN是△ABC中∠BAC的平分线，点M是BC的中点，过点M作ME∥AN交AB于点D，交CA的延长线于点E.求证：BD＝CE.ABMCNDE课堂练习P分析：（1）如图，在DM的延长线上取点P，使MP=

MD连接BP，（2）可证明△BMP≌△CME，从而得到

BP＝CE（3）再证明△BPD为等腰三角形，得到

BP＝BD，从而

BD＝CE通过这节课的学习，你有哪些收获？1、构造全等三角形的两种作辅助线的方法：

课堂小结

①作平行线②可截等长线段在线段的延长线上截等长线段在线段上截等长线段2、证明线段或角相等，不可直接证明时，考虑转化的思想

两条线段相交

一对对顶角

交点是其中一条线段的中点如图，已知点E是等边△ABC的边BC上一点，点D在AB的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

变式训练ABCEDF如图，已知点E是等边△ABC的边BC上一点，点D在AB的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

典例分析

∴∠B=∠A=∠ACB=∴△CEG是等边三角形∴EG=CE

证明：过点E作EG∥BA交AF于点G

在△DAF和△EGF中∠AFD=∠GFE（对顶角相等）

∠GEF=∠D

FD＝FE

∴△DAF≌△EGF（AAS）

∴AD=EG∵△ABC是等边三角形

∴CE＝AD

∴∠GEF=∠DABCEDF∵EG∥BA∴∠GEC=∠B=

G如图，已知点E是等边△ABC的边BC上一点，点D在AB的延长线上，且DE与AC交于点F，FD＝FE.求证：CE＝AD

典例分析

∴∠B=∠A=∠ACB=∴△GDA是等边三角形∴GD=AD

证明：过点D作DG∥BC交CA的延长线

于点G

在△DGF和△ECF中∠GFD=∠CFE（对顶角相等）

∠GGF=∠C

FD＝FE

∴△DGF≌△ECF（AAS）

∴GD=CE∵△A