第十二讲 中学数学证明教学

第十二讲中学数学证明教学第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

证明是数学科学的重要部分，是数学知识得以确证的唯一方式。数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证明就没有数学。数学推理、证明及其教学形式逻辑的基本规律同一律、矛盾律、排中律充足理由律第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五亚里士多德

Aristotle(384-322BC)哲学著作：《形而上学》物理学著作：《物理学》《论生灭》《论天》《天象学》《论宇宙》生物学著作：《动物志》《论动物的历史》《论灵魂》逻辑学著作：《范畴篇》《分析篇》伦理学著作：《尼各马可伦理学》《大伦理学》《欧德谟斯伦理学》《政治学》《诗学》《修辞学》

注：基本逻辑原理——同一律、矛盾律和排中律成为数学间接证明的核心，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论基础。第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五G.W.Leibniz,1646-17161646年7月1日生于莱比锡一个教授家庭

精通拉丁文和希腊文

在莱比锡大学学习法律，开始接触伽利略、开普勒、笛卡尔、帕斯卡及巴罗等人的科学思想

1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位

1672-1676年，巴黎居留博学多才，著作涉及逻辑学、力学、光学、数学、哲学、法律、语言学、地质、机械、外交、神学1671年，制造出“算术计算机”

柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院和维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。

1672年后开始研究数学1716年去世充足理由律第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一；使用的概念必须保持同一；在同一时间，从同一方面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一。它的公式是“A就是A”或“p→p”。

例子⑴多项式能否分解？⑵当a、b是非负实数时，公式成立。⑶在三角形内角和公理中，角的概念是“从一点引出两条射

线所成的0°到180°以内的角”。同一律第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五同一律的作用在于保证思维的确定性。如果违背了同一律的要求,那就会破坏思维的一贯性,造成思维混乱。在同一个推理、证明的过程中,就会犯“偷换概念”、“偷换论题”等逻辑错误。从表面形式上看,“A是A”好像是枯燥无味的简单的同语反复。其实不然。同一律有两点具体的要求:一是思维对象要保持同一,所考察的对象必须确定,要始终如一,中途不能变更;二是表示同一对象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念表示同一对象，也不能把不同的对象混同起来用同一个概念来表示。还需要指出的是同一律所要求的“同一”是相对的,有条件的,是在一定条件下的“同一”。条件变了,认识也相应地有所发展。如“方程x2+1=0没有根”这个判断,当数系由实数放大到复数后就要引起变化。第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是“A不是A”或“

(p∧p)”

例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。注意：⑴矛盾律只是指两个矛盾的判断是不相容的，即不能同时为真，但是两个矛盾的判断可能同假。例如空间两直线相交与平行。⑵矛盾律所讲的矛盾是逻辑上的矛盾，与现实的矛盾是两回事，不能混为一谈。矛盾律第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五矛盾律是用否定的形式来表达同一律的思想内容的,它是同一律的引申,同一律说A是A,矛盾律要求思维首尾一贯,不能自相矛盾,实际上也是思维确定性的一种表现。因此,矛盾律是从否定方面肯定同一律的。违背矛盾律要求的逻辑错误在于,在同一个思维过程中,把A与非A同时肯定了下来,因而造成了自相矛盾的困境。如众所周知的一个例子:那个卖矛、盾的楚人所说的“任何东西都不能穿过我的坚实的盾”、“我的锐利的矛能穿过任何东西”,是互相矛盾的两个判断。这位楚人不能自圆其说,是自己打自己的嘴巴,违背了矛盾律的要求。矛盾律中所谓的矛盾是指思维过程中的思维混乱,即同时断定A与非A都真。对这种逻辑矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辩证矛盾排除在一切思维之外,更不否认世界固有的矛盾。第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断这两个判断必有一个是真的，它的公式是“或者是A或者是A”或

“pp

”.例如：要证明“不是有理数”，只要证明“是有理数”不真就可以了。

注意：对于假言命题“p→q”，情况并非如此简单。“排中”就是排除第三者,或A或非A,二者必居其一,排中律要求人们的思维要有明确性,不能含糊不清,不能模棱两可。排中律第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五违背排中律要求的逻辑错误在于,同时否定了A,又否定了,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,当别人反问他“用你的矛穿你的盾如何”时,他既不能说:我的矛能穿过我的盾”,又不能说“我的矛不能不穿过我的盾”,这就表示他否定了A又否定了,从逻辑上说,违背了排中律就要犯模棱两可的逻辑错误。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时,根据排中律,只要证明这一判断的矛盾判断是假的就可以了。和矛盾律一样,排中律只是抽象思维中的逻辑规律,不是客观存在的基本规律。排中律只是排除思维中的逻辑矛盾,并不否定客观事物自身的矛盾。第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五同一律要求思维保持确定、同一,而没有揭示思维的相互对立或矛盾的问题,矛盾律是同一律的引申和发展,它指明了正确的思维不仅要求确定,而且不能互相矛盾或对立,即指出对于同一个思维对象所作的两个互相矛盾或对立的判断,只要承认不能同真,至少必有一假即可,并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更深入一层,明确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾,而且应该明确地表示出肯定或否定,指出对于同一个思维对象所作的两个“肯定判断”和“否定判断”,不能同假,必有一真,要么“肯定判断”真,要么“否定判断”真,二者必居其一。同一律、矛盾律、排中律三者之间的联系三者是从不同的角度去陈述思维的确定性的,排中律是同一律和矛盾律的补充和深入,排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾,违背了排中律就必然违背矛盾律。同一律、矛盾律、排中律三者之间的区别第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五罗素

BertrandRussell1872-1970数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。

以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。问：集合N是否为它自身的成员？若N是它自身的成员,则N属于M而不属于N;若N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M理发师悖论村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。谁给理发师理发？第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五——《算术基础》，弗雷格(G.Frege,1848-1925)一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五●

如果说一个数学系统是一致的，不可能得出0≠0的结果。●一致性（相容性、无矛盾、协调性）●不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即不能出现悖论。

1930年之前：两个基本问题数学的一致性consistency数学的完备性completeness●一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。●每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五如果我们承认2+2=5,则有2=3于是1=2或者2=1,因为教皇和罗素是两个人，且2=1,所以罗素就是教皇。罗素:我是教皇第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五任何判断都必须有充足理由才被认为是真的，其公式是“所以

有B是因为A”或“A是B的充足理由”。正确的判断必须有充足的理由。可表示为:因为有A,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一个或几个判断,A称为B的理由,B称为A的结论(推断)。例如,三组对应边成比例,两组对应角相等、两组对应边成比例且夹角相等都是两三角形相似的充足理由.充足的理由必须具备真实性、完备性、相关性,否则就不是充足理由。充足理由律要求理由和结论之间必须具有本质的联系,理由是结论的充分条件,结论是理由的必要条件,相关性就是指理由与结论间必须具有本质的内在联系。有时,一些错误的结论,表面上虽然具有“因为…，所以…”的形式,但实质上“理由”和“结论”之间却是毫不相关的。充足理由律和同一律、矛盾律、排中律也有着密切的联系。同一律、矛盾律、排中律是保证概念或判断在同一论证过程中的确定性,无矛盾性和明确性(明确性是指对两个相互矛盾的概念或判断要明确地表示出肯定还是否定),充足理由律是保证判断之间的内在联系的合理性。因此,在同一思维(论证)过程中,如果违背了同一律、矛盾律、排中律,那么必然导致违背充足理由律。充足理由律第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五数学中的推理推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式例1

角平分线上任一点到这个角两边的距离相等,因此,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。例2

矩形的对角线平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线平分且相等。以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具。第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五推理的结构

任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判断,它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个,也可以是几个。例1中有一个前提“角平分线上任一点到这个角两边的距离相等”。例2中有两个前提“矩形的对角线平分且相等”、“正方形是矩形”。结论是根据前提所作出的判断,它告诉人们推出的知识是什么。例1中的结论是“到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上”。例2中的结论是“正方形的对角线平分且相等”。推理有内容方面的问题,也有形式方面的问题,前者就是前提和结论的真假性,后者就是推理的结构问题。形式逻辑不研究、也不能解决推理内容方面的问题,即不能解决推理的前提和结论的真假性,形式逻辑只研究推理形式。指出哪些推理是正确的,哪些推理是不正确的。因此,逻辑思维对推理的要求是:推理要合乎逻辑。所谓推理合乎逻辑,就是指在进行推理时要合乎推理形式,遵守推理规则。

第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五推理的种类第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五从个别的或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推理。1.归纳推理根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。⑴完全归纳法如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，则这种归纳推理称为完全归纳法。⑵不完全归纳法如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。注：在完全归纳法中，如果前提为真，则结论也为真，所以可以作为严格的数学证明。不完全归纳法所得结论是不可靠的，所以不可以作为严格的数学证明不完全归纳法在数学发现和数学教学中具有重要的价值第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

完全归纳法的推理形式：具有性质F；具有性质F；具有性质F；具有性质F；······和······具有性质F；具有性质F；

A类事物具有性质FA类事物具有性质F.

不完全归纳法的推理形式：具有性质F具有性质F······具有性质FA类事物具有性质F第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五⒉演绎推理由一般到特殊的推理,也就是由一般原理推出特殊场合知识的思维形式。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理合乎逻辑,得到的结论就一定正确。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。以某类事物的一般判断为前提作出这类物的个别特殊事物的判断的思维形式。简单的演绎推理一般是通过三段论的形式来实现。它的理论基础是下面公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性质P，如果是集合M的元素（即），则也具有（或不具有）性质P。其形式如下：大前提：集合M的所有元素具有（或不具有）性质P的一般判断，可表示为M—P小前提：集合SM，即S是M的子集，可表示为S—M结论：集合S也具有（或不具有）性质P，可表示为S—P.

第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五△三段论的例子：1、大前提：矩形中的对角线相等小前提：正方形是矩形结论：正方形的对角线相等2、大前提：所有循环小数都是有理数小前提：0.22222…是循环小数结论：0.22222…是有理数3、证明任意直角三角形二锐角之和为90度。因为任意三角形三内角之和为180度（大前提）直角三角形是三角形（小前提）所有直角三角形三内角之和为180度（x+y+90=180）（小前提）因为等量减等量差相等（大前提）而（x+y+90）-90=180-90是等量减等量（小前提）所有x+y=90成立（结论）第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五复合三段论：几个三段论联接在一起所构成的，其中前一个三段论的结论作为后一个三段论的前提。例如：

平行四边形是多边形（大前提）菱形是平行四边形（小前提）所以，菱形是多边形（结论）（大前提）四边形ABCD是菱形（小前提）所以，四边形ABCD是多边形（结论）

※三段论是一种重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演绎推理都归之为三段论的说法是不恰当的，除三段论外，还有关系推理、联言推理、选言推理、假言推理等。

中学数学中一般表示为:∵所有无限不循环小数都是无理数(大前提),数π是无限不循环小数(小前提),∴数π是无理数(结论)。第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第一,演绎以归纳为基础,归纳为演绎准备条件。从演绎的前提看,最初的前提是数学公理,这些公理是人们经过长期反复实践归纳得来的,从演绎所得到的结论看,这些结论都还需要经过实践检验,并且在实践中又归纳出新的结论加以补充和发展。第二,归纳以演绎为指导,演绎给归纳提供理论根据。归纳推理和演绎推理的区别和联系第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五以两个对象有某些相似的属性，并且其中一个对象还有另外一些属性，从而推出另一个对象也有类似的属性。注：这是一种从特殊到特殊的推理，所得结论不一定真实。⒊类比推理由特殊到特殊的推理。类比推理的推理形式：A具有性质B具有性质B具有性质P.类比推理的结论的真实性是不能肯定的，因此不能作为严格的数学证明方法在数学的发现在数学教学中类比推理有着重要的使用价值要防止学生进行胡乱的类比，特别是在数学符号上进行胡乱的类比。第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五数学中的证明1.数学证明的意义和结构

数学证明是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。数学证明过程往往表现为一系列的推理。从逻辑结构方面来分析、任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。论题,是指需要确定其真实性的那个命题。,“三角形内角和等于180”就是论题。任何论题都包含条件和结论两个方面,论题告诉人们已知什么,要证明什么。论据,是指用来证明论题真实性所引用的命题,论题中的条件以及数学中的公理、定理、定义、性质等,都可作为证明的论据。论据告诉人们是用什么来证明的。论证,是由论据出发进行一系列推理来确定论题真实性的过程。论证告诉人们是怎样证明的,论据和论题是怎样联系的。数学证明也可分为已知(论据)、求证(论题)、证明(论证)三个组成部分。中学数学证明是采用了这种叙述形式。第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五证明和推理之间的联系和区别证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程。一个证明可以只含一个推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演绎推理,也可以只用归纳推理,也可以只用演绎推理和归纳推理,是一种特殊形式的推理,但是,就具体问题来分析,证明和推理又是不同的。首先,从它们的结构上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;证明由论题、论据、论证三部分组成,论题相当于推理结论,是已知的,论据相当于推理的前提,是事先不知道的,因此,它们的思维过程正好相反。其次,从它们的作用来看,推理只解决形式问题,对于前提和结论的真实性是管不了的。比如由类比推理和不完全归纳推理得到的结论,只具有偶然的性质,而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后真实性是确信无疑的。证明是一种特殊形式的推理；结构不同、思维过程相反、作用不同。第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五证明必须遵守逻辑规则

论题要明确

论题应始终如一论据要真实论据不能靠论题来证明

必须能推出论题

严谨第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

（1）论题必须明确

例1连接四边形四边的中点成一平行四边形。（论题不明确。应当是：顺次连接四边形四边的中点成一平行四边形）

例2等底的两个三角形面积的比等于高的比。（论题不明确。应当是：等底的两个三角形面积的比等于该底上两个高的比）

（2）不能偷换论题

例3求证：凸四边形的内角和等于360°。证明：矩形ABCD是一个凸四边形，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即凸四边形的内角和等于360°。（偷换论题：证明的是矩形内角和等于360°）（3）论据必须真实（论据：“两个无理数的和是无理数”不真实。）第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五（5）论据必须能推出论题第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五⑴按推理的方法来分，可分为演绎证法和归纳证法。演绎证法是用演绎推理证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的特殊事实的方法。归纳证法是用归纳推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的个别、特殊事实推出包含在论题中的一般原理的方法,由于不完全归纳法不能作为严格证明的工具,因此,归纳证法只能使用完全归纳法。

2.常用的证明方法例1在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求证：四边形ABCD为平行四边形.

证明：连接AC.ABCDABCD第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

⑵按寻求论证的思路来分，可分为分析法和综合法两种。分析法

从命题的结论出发一步一步地探索其能成立的条件,最后探索到命题的已知条件或已知事实为止,这种证明方法叫做分析法。简单地说,分析法就是“从未知看需知,推已知”的方法。分析和综合有着密切的联系。在解答数学题时,一般总是先进行分析,寻找解题途径,再用综合法写出解答过程,当论题较为复杂时,常常联合运用分析法与综合法找解题途径,分别从题设和结论出发,经过“顺推”和“逆索”推演到一个结果上去,找到解题途径,而后加以整理并用综合法写出。这种方法称为“两头凑法”。第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五⑶按证题的手法分为直接证法和间接证法。①直接证法：从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。其一般形式是：②间接证法：不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.间接证法有

反证法和同一法两种.a.用反证法证明命题“p→q”的全过程和逻辑依据，可以用下图来表示：肯定条件p否定结论q导致逻辑矛盾推理矛盾律为假排中律为真反证法常用的推理格式有：第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五所谓反证法是:把否定的结论纳入到原条件中,使二者共同作为条件,在正确的逻辑推理下,导致逻辑矛盾,根据矛盾律知道否定结论的错误性,再根据排中律知道原结论的正确性。反证法可简要地概括成:否定—推理—否定。用反证法证明命题“若P则q”其一般步骤第一反设.将结论反面作为假设,即作出与命题结论“q”相矛盾的假设“非q”。第二归谬.将“反设”和“原设”作为条件,即从“P”和“非q”出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果。第三结论.说明“反设”不成立,从而肯定原结论是正确的,这就间接地证明了命题“P→q”为真。注：●第二步所说的矛盾结果,一般指的是推出的结果与已知条件矛盾,与已知定义矛盾、与已知公理矛盾,与已知定理矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。根据反设情况不同，反证法可分为“归谬法”和“穷举法”两种，反设只有一种情况的反证法叫做“归谬法”；反设有多种情况的反证法叫做“穷举法”。第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五反证法与直接证法相比较的特点第一从推理论证的前提看反证法增加了“反设”这个新条件,据此特点下述情况常采取反证法。对一些最基本的性质的证明。由于这些最基本性质予以成立的条件简明扼要,同时要供使用的定理甚少,因而直接证明常常发生困难。这时使用反证法正是为了增加论证的前提条件,使人们的思路能顺着新增加的条件开拓出去。有些命题虽然不属于学科的基本性质,但从原设出发直接论证,所知甚少,往往感到无从下手,此时也可考虑使用反证法,加进“反设”这一新的前提条件,常常有利于打开思路。由于反证法新增加的条件是结论的反面,如果它比结论本身更具体、更明确,则此时宜于采用反证法。如“否定式命题”;结论被表成“至多…”或“至少…”形式的命题;“唯一性”命题,要证的结论是“无限的”等命题,都宜于采用反证法。第二从推理论