2022-2023学年高中数学导数专题讲义

导数专题讲座内容汇总

目录

导数专题一、单调性问题...........................................................2

导数专题二、极值问题............................................................40

导数专题三、最值问题............................................................55

导数专题四、零点问题............................................................80

导数专题五、恒成立问题和存在性问题............................................123

导数专题六、渐近线和间断点问题.................................................175

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题.....................................195

导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元....................错误!未定义书签。

导数专题九、公切线解决导数中零点问题............................错误!未定义书签。

导数专题十、极值点偏移问题.......................................错误！未定义书签。

导数专题十一、构造函数解决导数问题..............................错误！未定义书签。

导数专题一、单调性问题

【知识结构】

【知识点】

一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；

二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨

论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.

三、分类讨论的思路步骤：

第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关

系及与区间的位置关系（分类讨论）；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定

义域）；

第四步、（列表）根据第五步的草图列出了'（X）,"X）随X变化的情况表，并写出函数的

单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点

函数值比较得到函数的最值.

四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：

1.最高次项系数是否为0；

2.导函数是否有极值点；

3.两根的大小关系；

4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：

(1)已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为广(x)NO或广(x)40恒成立;

(2)已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解

参变量的范围；

(3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小

于零有解.

六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法

(1)参变分离；

(2)导函数的根与区间端点直接比较；

(3)导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次

为主。

七、求解函数单调性问题方法提炼：

(1)将函数“X)单调增(减)转化为导函数r(x)“<)o恒成立；

(2)f,(x)=g(x)/i(x),由g(x)>o(或g(x)<0)可将r(x)“()O恒成立转化为

/z(x)>(<)0(或〃(x)W(»)O)恒成立；

(3)由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

【考点分类】

考点一、分类讨论求解函数单调性;

【例1T】(2015-2016朝阳一模理18)已知函数/(x)=x+alnx,aeR.

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)当x«l,2］时，都有/(x)>0成立，求。的取值范围；

(III)试问过点P(l，3)可作多少条直线与曲线y=/(x)相切？并说明理由.

【答案】(I)函数/(x)的定义域为{x|x>0}./'(x)=1+3=匕0.

(1)当。》。时，尸(幻>0恒成立，函数/(x)在(0,+8)上单调递增；

(2)当。<0时，令/'(x)=0,得x=-a.

当0<x<-a时，/'(x)<0,函数/(x)为减函数；

当x>—a时，f'(x)>0,函数/(x)为增函数.

综上所述，当时，函数/(x)的单调递增区间为(0,+8).

当。<0时，函数/(x)的单调递减区间为(0,—a),单调递增区间为(-a,+8).

(II)由(I)可知，(1)当一aWl时，即aN—1时，函数/(x)在区间［1,2］上为增函数，

所以在区间［1,2］上，=/(I)=1,显然函数/(x)在区间［1,2］上恒大于零；

(2)当1<一。<2时，即一2<“<一1时，函数/(x)在［1,一。)上为减函数，在(-a,2］上

为增函数，所以/(x)min=/(-a)=-。+aln(-a).

依题意有/(x)min=-a+aln(-a)〉0,解得a>—e,所以一2<a<-l.

(3)当一时，即。4一2时，/(%)在区间［1,2］上为减函数，

所以/(x)mm=/(2)=2+aln2.

八22

依题意有/(尢)min=2+〃ln2>。，解得。>—-~~—,所以一——<a<-2.

In2In2

2

综上所述，当。/力时，函数/(x)在区间［1,2］上恒大于零.

(III)设切点为(XoMo+aln4),则切线斜率左=1+巴,

切线方程为y—=+.

%

因为切线过点P(l,3),贝113-(玉)+。m/)=(1+色)(1一%).

%

即a(InXQH----])—2=0............①

%

令g(x)=a(lnx+1-l)—2(x>0),贝！1g'(x)=a(，--。.

XXXX

(1)当。<0时，在区间(0,1)上，g'(x)>o,g(x)单调递增；

在区间(1,+8)上，g'(x)<o,g(x)单调递减，

所以函数g(x)的最大值为g(l)=—2<0.

故方程g(x)=0无解，即不存在/满足①式.

因此当a<0时，切线的条数为0.

(2)当a>()时，在区间(0,1)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，

在区间(1,一)上，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以函数g(x)的最小值为g⑴=—2<0.

1+-2-1---I--

取Xi=e">e,则g(%)=a(l+—+e"-1)-2=aea>0.

a

故g(X)在(1,+。。)上存在唯一零点.

]21.2.2.2c

-1—]21+—I+-14•-2

取％2=e"<一，则g(%2)=a(-l——+ea-1)-2=ae"-2a-4=o|e"—2(1+—)].

eaa

2

设t=1+—(/>1),u(t)=ez-2r,则u(t)=er-2.

a

当t>]时，/(，)=e'_2〉e_2>0恒成立.

所以“(f)在(1,+8)单调递增，〃。)>〃(1)=0-2>0恒成立.所以g(w)>0.

故g(x)在(0,1)上存在唯一零点.

因此当。>0时，过点户(1,3)存在两条切线.

(3)当。=0时，/(x)=x,显然不存在过点。(1,3)的切线.

综上所述，当。>0时，过点P(1,3)存在两条切线；

当时，不存在过点。(1,3)的切线.

1r-1

【例1-2](2015-2016海淀一模理18)已知函数f(x)=lnx+——1,g(x)=--.

xInx

(I)求函数/(x)的最小值；

(II)求函数g(x)的单调区间；

(in)求证：直线y=x不是曲线丁=8(大)的切线.

【答案】(I)函数的定义域为(0,+8),

当无变化时，f\x),/(x)的变化情况如下表:

X(0,1)1(1,+8)

/,«——0+

/(X)递减极小值递增

函数于(x)在(0,位)上的极小值为/(a)=In1+；—1=0,

所以/(x)的最小值为0

(H)解：函数g(x)的定义域为(0,1)。,+8),

Inx-(x-l)—Inxd----1

X=%

In2xIn2xIn2x

由(I)得，/U)>0,所以g'(x)NO

所以g(x)的单调增区间是(0,1),(1,+8),无单调减区间.

cm)证明：假设直线丁=%是曲线g(x)的切线.

,1,

InH-----1

设切点为(5,%),则g'(X0)=l,即——「2-=1

In/

x—1,—1

又先=■;—n，%=/，则■;—=/.

Inx()Inx0

所以1|1%=5二=1一口",得g'(Xo)=O,与g'(x())=l矛盾

%x0

所以假设不成立，直线丁=%不是曲线且。)的切线

【练1T】(2015-2016西城一模理18)已知函数/(x)=xe、-ae*T,且/'⑴=e.

(I)求a的值及/(x)的单调区间；

(II)若关于x的方程/(x)=丘2—2*>2)存在两个不相等的正实数根证明:

|x,-x2|>In—.

【答案】(I)对/(x)求导,得答(x)=(l+x)e*—ae，T,

所以/'(l)=2e—a=e,解得”=e.

故/(x)=xe、-e*,f\x)=xex.

令ra)=o,得x=o.

当X变化时，/(X)与/(X)的变化情况如下表所示：

Xy,o)0(0收)

f'(x)—0+

f(x)/

所以函数/(x)的单调减区间为(-8,0),单调增区间为(0,+8).

(H)解:方程/(幻=履2-2,即为(x-l)ev-«2+2=0,

设函数g(x)=(x-l)e'-小+2.

求导，得g'(x)=xe*-2Ax=x(e*-2Q.

由g'(x)=O,解得x=0,或x=ln(2k).

所以当xe(O,+»)变化时，g，(x)与g(x)的变化情况如下表所示:

X(0,ln(2幻)ln(2外(ln(2A:),+co)

g'(x)—0+

g(x)X/

所以函数g(x)在(0/n(2k))单调递减，在(ln(2Z),")上单调递增.

由一>2,得ln(2Q>ln4>l.

又因为g(D=-上+2<0,

所以g(ln(2Q)<0.

不妨设再(其中不，多为〃制=履2-2的两个正实数根)，

因为函数g(x)在(01n2Z)单调递减，且g(0)=l>0,g(l)=-A:+2<0,

所以0<西<1.

同理根据函数g(x)在(In2在y)上单调递增,且g(ln(2盼)<0,

可得々>ln(2^)>In4,

4

所以I%-%,|=刍-x,>ln4-l=ln-,

e

4

EP|x,-x|>ln-.

2e

【练1-2］(2011-2012石景山一模文18)已知函数f(x)=x2+2aInx.

(I)若函数/(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数。的值；

(II)求函数/(x)的单调区间；

2

(III)若函数g(x)=-+/(x)在［1,2］上是减函数，求实数。的取值范围.

.».、，,，、c2a2x~+2a,

【答案】(I)f(x)=2x+—=........1分

XX

由已知/'(2)=1,解得。=—3.........3分

(II)函数/(X)的定义域为(0,+8).

(1)当时，/'(x)>0,/(X)的单调递增区间为(0,+8)；……5分

2(x+-j—a)(x—J—a)

(2)当a<()时/'(x)=L~~---~~~~~

x

当X变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下：

(0,V-«)

Xyj-a(C?,+oo)

f\x)-0+

/(X)

\极小值z

由上表可知，函数/(x)的单调递减区间是(0,。)；

单调递增区间是(G,+8).........8分

(II)由g(x)=2+x2+2alnx得g'(x)=--%+2x+—,.......9分

XXX

由已知函数g(x)为［1,2］上的单调减函数，

则g'(x)W0在［1,2］上恒成立，

即一一1+2x+—K0在［1,2］上恒成立.

xx

1

即一一/9在",2］上恒成立.........11分

x

令/z(x)=L—f，在［1,2］上"(*)=-4■-2x=—(3+2X)<0,

XXX

7

所以h(x)在口,2］为减函数.h(x)m［n=%(2)=—5，

7

所以。W一—.........14分

2

【练1-3］(2015-2016朝阳期末文19)已知函数/(x)=(2Z-l)lnx+K+2x,keR.

X

(I)当k=1时，求曲线y=f(幻在点(1J⑴)处的切线方程；

(II)当％=e时，试判断函数f(x)是否存在零点，并说明理由;

(III)求函数f(x)的单调区间.

【答案】函数/(x)的定义域：xe(0,+oo).

:(幻=汩/+22x12+(2k-\)x-k(x+Z)(2x-1)

xxx2

(I)当k=1时，f(x)=Inx+—+2x.

X

(x+l)(2x-l)

f\x)

x2

有/(l)=lnl+l+2=3,即切点(1,3),

(1+D(2-1)

k=f(D==2.

I2

所以曲线y=/Q)在点(1J⑴)处切线方程是丁一3=2。-1),

即y=2x+L

(II)若％=0,/(x)=(2e-l)lnx+—+2x.

x

,(x+e)(2x-l)

/w=------弓—•

x

令/(%)=。，得X[=~e(舍)，]2=；

]_1、

X(耳,+8)

畤2

/'0)——0+

f(x)极小值/

111

则/(x)min=/(Q)=(2e—1)1陛+1e+2・5=2(1—ln2)e+ln2+l>0.

2

所以函数/(x)不存在零点.

(III)f'{x}=狂+6？1).

X

当一/WO,即我之0时,

1_1

X畤（万,+00）

2

/'（X）—0+

/（X）极小值/

当一%>g,即左<—g时，/（x）的单调增区间是（0,g）,（—乂+oo）；

(0,1)

X—k（一々,+8）

2

/（X）+0——0+

/(%)/极大值极小值/

当0<—%<,，即一！〈左<0时,

22

（-%,1）1

X(0,-/r)-k(5,+oo)

2

f'M+0—0+

f(x)/极大值极小值/

当_左=工，即％=__1时,

22

(0,31

X(/,+8)

2

f'M++

fM//

综上上20时，f（X）的单调增区间是W，+00）；减区间是（0,1）.

当一;<A<0时，/（%）的单调增区间是（0,—6，（；,+oo）；减区间是（一女,；）•

当％=一；时，/（x）的单调增区间是（0,+8）;

当时，/（x）的单调增区间是（0,；）,（一人,+8）；减区间是§,—%）.

【练1-4］（2015-2016丰台期末文20）设函数/（x）=V+以2+4v的图象与直线

y=-3x+8相切于点P(2,2).

(I)求函数/(x)的解析式：

(II)求函数/(X)的单调区间；

]YY^_|_]j

32

(III)设函数g(x)=-x----x+inx--(m>1),对于Ve[0,4],3x2e[0,4],

使得/■($)=g(X2),求实数机的取值范围.

【答案】(I)..•函数/。)=*3+62+法的图象与直线},=—3%+8相切于点尸(2,2),

广⑵=-3,/⑵=2.

Vf'(x)=3x2+2ax+b,

‘8+4a+2匕=2

3x2?+2ax2+匕=-3

解得《a——6

h=9

f{x}=x3-6x2+9x.

(II)/'(X)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

令/'(x)>0,得x<l或x>3；

令/'(x)<0,得l<x<3.

・••/(X)的单调递增区间为(-8』)，(3,+8)；单调递减区间为(1,3).…8分

(III)记/(x)在[0,4]上的值域为A,g(x)在[0,4]上的值域为8,

...对于VX|e[0,4],3x2e[0,4],使得/(2)=gO2)，

A^B.

由(H)得：/(x)在[0,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减，在[3,4]上单调递增，

/(0)=0,/⑴=4,〃3)=(),/(4)=4,

A=[0,4].

/、1m+1l/i、

Vg(x)=—x3----x2+iwc-—(m＞1),

g'(x)=x2~(m+l')x+m=(x-1)(尤-m).

①当1＜加＜4时，g(x)在［0,1］上单调递增，在［1,/可上单调递减，在,4］上单调递增,

/.g(x)的最小值为g(0)或g(m),g(x)的最大值为g(l)或g(4).

Vg(0)="1＜0,且

・・・g⑴1或g(4)24,

/.g(l)=gm-gz4或g(4)=-4加+1324,

9

即加29或mW.

4

又•・.1＜加＜4,

9

1<<

-4-

②当一24时,g(x)在［0,1］上单调递增，［1,4］上单调递减，

二g(x)的最小值为g(0)或g(4),g(x)的最大值为g(l).

Vg(0)=-l<0,且

g(D>4,

/.—m-->4,即加29.

22

9

综上所述：1<加工一或加之9.

4

【练1-5］(2015-2016朝阳二模文20)已知函数/(x)=办-,一(a+l)lnx,awR.

X

(I)求函数/(X)的单调区间;

(II)当“21时，若/(x)>l在区间P,e］上恒成立，求。的取值范围.

e

【答案】(I)函数/(X)的定义域为{x|x〉0},/博尸以一一(：：l)x+l=gg(xT)

(1)当a«0时，av-l<0,

令/'(x)>0,解得0<x<l,则函数/(x)的单调递增区间为(0,1)

令/'(x)<0,解得x>l,函数/(x)单调递减区间为(1,+8).

所以函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)当0<。<1时，->1,

a

令/'(x)>0,解得0<x<l或x>L,则函数/(%)的单调递增区间为(0,1)；

a

令/'(x)<0,解得l<x<,，函数/(x)单调递减区间为

aa

所以函数y(x)的单调递增区间为(o,i),(-,+oo),单调递减区间为

aa

(3)当a=l时，20恒成立,

x

所以函数/(%)的单调递增区间为(0,+8).

(4)当。>1时，

a

令r(x)>0,解得0<x<工或x>l,则函数/(x)的单调递增区间为(0,L),(L+oo)；

aa

令/'(x)<0,解得』<x<l,则函数/(x)的单调递减区间为(,J).

aa

所以函数/(X)的单调递增区间为(0,L),(1,+8),单调递减区间为(L,l)(II)依题意，

aa

在区间P,e］上

e

,以2_(Q+I)X+I(ax-l)(x-l)

fW=--------；-------=-------；-----,a>\.

xx

令/'(x)=。得，1=1或%=’.

a

若aNe,则由/'(x)>0得，l<x《e,函数f(x)在(l,e)上单调递增.

由/'(x)<0得，函数/(X)在(」,D上单调递减.

ee

所以/(X)min=/(D=〃—l>l，满足条件；

若lva<e,则由/'(x)>0得，或i<x〈e；

ea

由/'(x)<0得，-<x<l.

a

函数/(x)在(l,e),d,)上单调递增，在(1,1)上单调递减.

eaa

/(X)而n=min"(3"⑴｝，

e

1e2

依题意./)>1,即一>二T，所以2<a<e；

,/(1)>1a>2

若a=l,则/'(xRO.

所以/(x)在区间［Le］上单调递增，/(x)min=/(-)>1.不满足条件；

ee

综上，a>2.

【练1-6］(2015-2016房山二模文19)已知函数/(x)=x+二

(I)求函数“X)的单调区间；

(II)若直线丁=丘与曲线y=/(x)没有公共点，求实数%的取值范围。

【答案】(I)〃x)=x+e，定义域为H

e

1

/'(x)=l-Jr=^-7--,令/'(x)=O,得x=O

X(-00,0)0(O,4w)

—

/W0+

f(x)极小值T

所以/(X)的增区间为(O,+8),减区间为(YO,0)。

(II)因为直线y=与曲线y=/(x)没有公共点，

所以方程〃力="无实根，即彳+《=丘无实根，等价于伙-l)x-e'-l=O无实根

设g(x)=(%T)x，e*-l,即〉=g(x)无零点。

g'(x)=(左一1)•ev+(左一1)x•ex-e*•(攵-1)•(x+1)

当4=1时,g'(x)=O,g(x)=-l,显然无零点，符合题意；

当攵＞1时，令g(x)=O,得x=T

X(-00,-1)-1(-1,+co)

g'(x)—0+

g(x)极小值

8(-1)“而=一("1)1-1＜°，显然不符合题意;

当左＜1时，令g'(x)=O,得x=-l

X(-00,-1)-1(-l,+°o)

g’(x)+0—

g(x)极大值

由g(—1ax=一(％—1)人一1＜°，得k＞l-e,所以1一6＜女＜1时，符合题意

综上所述：1一6＜攵＜1

【练1-7](2015-2016朝阳一模文19)已知函数/(x)=--«ev(Z:GR).

k-x

(I)若k=l,求曲线y=/(x)在点(O,7(0))处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间；

(IH)设ZK0,若函数/(x)在区间(上,2行)上存在极值点，求上的取值范围.

【答案】(I)若％=1,函数/(X)的定义域为卜上。1},/'a尸.

则曲线y=f(x)在点(0,/(()))处切线的斜率为尸(0)=3.

而7(0尸1,则曲线y=/(x)在点(0,7(0))处切线的方程为y=3x+l

函数/(X)的定义域为卜,工女｝,/'数)=kJ.)

(II)

\K-X)

(1)当月>0时，由XHh且此时，攵2+2%>1,可得-7左2+2左<左<，左2+2左

令/"'*)<0,解得<<-J^+2等或x>正+2k,函数/(x)为减函数;

令/''(x)>0,解得一J%?+2k<x<&2+2Z,但尤力左，

所以当一」公+2攵<%<攵,左<x<J"+2攵时,函数/(幻也为增函数.

所以函数/(%)的单调减区间为(-8,~^lk2+2k),(,/+2匕48),

单调增区间为(一，x+2%,储，(k,y/k2+2k).

(2)当后=0时，函数/(x)的单调减区间为(-8,0),(0,+oo).

当％=—2时，函数/(x)的单调减区间为(-8,-2),(-2,+00).

当一2(化<0时，由2女+女2<。，所以函数/(x)的单调减区间为(-8,左)，鼠,+00).

即当一2«kW0时，函数/(%)的单调减区间为Joo,A),(£+8).

(3)当％<—2时，此时-JL+2Z>，.

令/''(x)<0,解得X<-JF+2Z或x>jF+2左,但尤。左，所以当刀<人，

k<x<->Jk2+2k,%>42+21时,函数/(x)为减函数；

令/'(x)>0,解得一Jr+2><x<jF+2Z,函数/(x)为增函数.

所以函数/(x)的单调减区间为(-8,Q,(k71cl+2k),(正+21收),

函数/(x)的单调增区间为7k?+2Z,J叱+2Q........9分

(III)(1)当一2WAW0时，由(II)间可知，函数/(x)在(、/§,2J5)上为减函数，

所以不存在极值点；

(2)当左<—2时，由(II)可知，/(x)在(-J左2+2A,Je+2%)上为增函数,

在(，,+2攵,田)上为减函数.

若函数/(x)在区间(百,2a)上存在极值点，则由<〃2+2左<20,

解得T<A<—3或1<左<2,

所以T<4<—3.

综上所述，当T<%<—3时，函数/(x)在区间(6,20)上存在极值点.

QX

【练1-8](2015-2016东城期末理19)已知函数/(无)=——a(x-lnx).

x

(I)当。=1时，试求/(X)在(1,7(1))处的切线方程；

(IJ)当时，试求/(X)的单调区间；

(III)若/(幻在(0,1)内有极值，试求。的取值范围.

【答案】(I)当a=l时，//(x)=-(V1)~l+-，⑴=0,/(D=e-1.

XX

方程为y=e-l.

(II)f()=e'd)_a(iJex(x-l)-ax(x-l)

X"X厂

(eA-ar)(x-l)

-X2°

当am()时，对于Vxe(0,+oo),e*—ar>0恒成立，

所以/,(x)>0=x>I；/(x)<0=0<x<10.

所以单调增区间为(1,+8),单调减区间为(0,1).

(Ill)若/(X)在(0,1)内有极值，则/(%)在xe(0,l)内有解.

,.(e'—ax)(x-1)八*ce"

令/(x)=------；------=0=>e-ax=0=a=—.

xx

设g(x)=JXG(0,1),

X

所以g'(x)=e('T),当xe(0,l)时，g'(x)<0恒成立，

x

所以g(x)单调递减.

又因为g6=e,又当Xf()时，g(x)f+oo,

即g(x)在xe(0,1)上的值域为(e,+oo),

所以当a>e时，/(x)=Qz智把二D=o有解.

设H(x)=e*-ax,贝H'(x)-e'-a<0xe(0,1),

所以”(x)在xe((),l)单调递减.

因为〃(0)=l>0,”(l)=e-a<0,

所以”(x)=e'-如在xw(0,1)有唯一解/.

所以有：

X((),/)X()(尤0，1)

"(X)+0—

/1(X)—0+

/(X)递减极小值递增

所以当a>e时，/(x)在(0,1)内有极值且唯一.

当a〈e时，当xe(0,l)时，f(x)»0恒成立，/(x)单调递增，不成立.

综上，。的取值范围为(e,+8).

a—2

【练1-9](2015-2016大兴期末理18)已知函数/(幻=以+----+2-2。(。>0).

X

(I)当。=1时，求函数/(X)在点(2,7(2))处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间；

(III)若/(x)221nx在[1,+8)上恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴当1=1时，/(%)=%--,r(x)=i+-4

Xx~

/(2)=|3,u(2)=：5

所以，函数f(x)在点(2J(2))处的切线方程为>一33=15。-2)

即：5x-4y-4=0

(II)函数的定义域为：{x|xw0}

\a—2ax1+(2—a)

f(x)=a--?-=---1-----(a>0)

当0<aW2时，/'(x)NO恒成立，所以，在(-8,0)和(0,+o。)上单调递增

当a>2时，令f'(x)=O,即：ax1+2-tz=0

/(x)>0,x>x2^tx<x];f(x)<Otx,<x<Og£O<x<x2,

所以,/⑴单调递增区间为(TO,和(JF'M),单调减区间为

(-J—a-20)和(O,JT).

a

n—2

(III)因为/(x)221nx在[1,+oo)上恒成立，有or+----+2-2。-21nxN0(a>0)

x

在[1,+8)上恒成立。

(1—2

所以，令g(x)=avH-----+2—2。-21nx,

x

ri./、22ux"-2,x—tz+2(x_])[tzx+(a—2)]

贝g(x)=a--2---=-----2----=------2------

XXx~x~

令g'(x)=O,则%=l,x,=一巴避

a

若-伫2=1,即a=l时，g(x)20,函数g(x)在[l,+oo)上单调递增，又g⑴=0

a

所以，f(x)N2In工在口,长。)上恒成立；

若一幺即avl时，当代(0,1),(—巴」,内)时，g*)>O,g(x)单调递增；

aa

当X€(l,-竺2)时，g'(X)<0,g(X)单调递减

a

(1—2

所以，g*)在口,+8)上的最小值为g(-----),

a

n—2

因为g⑴=0,所以g(-----)<0不合题意.

a

-幺二<1,即。>1时，当xe(O,-幺二),(1,+oo)时，g.(x)>O,g(x)单调递增，

aa

当xw(-幺二』)时，g(x)<O,g(x)单调递减，

a

所以，g(x)在U，+8)上的最小值为g(l)

又因为g⑴=0,所以/(%)之21nx恒成立

综上知，a的取值范围是［1,+8).

考点二、已知函数单调求参数范围；

【例2-1](2015-2016石景山期末文20)已知函数

(I)若/(X)在无=1处取得极小值，求的值；

(II)若/(X)在区间(2,内)为增函数，求M的取值范围；

(III)在(II)的条件下，函数/z(x)=/(x)—g(x)有三个零点，求加的取值范围.

【答案】(I)/'(*)=f一(加+1»

由/(无)在x=l处取得极大值，得r(l)=l—(加+1)=0,

所以机=0(经检验适合题意)

(II)/'(幻=无2—(m+1)%，因为/(%)在区间(2,+8)为增函数，所以

/一(m+l)x=x(x-m-l)20在区间(2,+oo)恒成立，

所以—m一1)20恒成立，即加工工一1恒成立，

由于1>2,得加<1.

所以加的取值范围是加41.

|M7+1I

(III)h(x)=f(x)-g(x)=-x3———x2+iwc--,

故h'(x)=x2-(m+l)x+m=(x—1)(九一加)=0,得光=加或x=1

当m=1时，〃'(x)=(x—1)2>0，版X)在R上是增函数，显然不合题意.

当机<1时，于⑸于'(X)随X的变化情况如下表：

X(-oo,m)m0,1)1(1,+00)

h(x)+0-0+

极大值

13121

h'(x)/——m'+—m——极小值----/

6232

1311

-----ITlH----2--->0n

623

要使/(x)-g(x)有三个零点，故需

竺。<0

2

(〃一1)(病―<0，解得加<“

即V

m<l

所以加的取值范围是加<1-也.

兀2

【例2-2](2015-2016朝阳期中文19)已知函数/(x)=alnx+万一(a+l)x,aeR.

(I)若函数f(x)在区间(L3)上单调递减，求Q的取值范围；

(II)当4=-1时，证明

【答案】(I)函数的定义域为(0,+8).

因为/，(幻，+1〃+1)「2一("+1)》+“=(1)。-。)

XXX

又因为函数/(x)在(1,3)单调减，所以不等式(x—l)(x—。)<0在(1,3)上成立.

设g(x)=(x—l)(x—a),则g(3)K0,即9—3(a+l)+aK0即可，解得a23.

所以。的取值范围是［3,+8).

X2

(II)当a=-1时，f(x)=-lnx+—,

1(x+l)(x—1)

f'M—+x=---=---:--

XXX

令r*)=o,得％=i或%=—1(舍).

当x变化时，y(x),/'(x)变化情况如下表:

X(0,1)1(1次)

f\x)——0+

/(X)极小值T

所以X=1时，函数/(X)的最小值为/(l)=g.

/(%)>-

所以2成立.

【练2-1］(2015-2016海淀期中文18)已知函数/(x)=+工2+以+1.

(I)若曲线y=/(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数/(x)的单调区间;

(II)若函数/(x)在区间［—2,0上单调递增，求°的取值范围.

【答案】(I)因为/(0)=1,所以曲线y=/(x)经过点(0,1),

又/'(%)=炉+2尤+a,

所以1(O)=a=-3,

所以/'(x)=x2+2x-3.

当x变化时，/'(X),/(x)的变化情况如下表

XS,-3)-3(-3,1)1(L+oo)

f\x)4-0—0+

/(X)T极大值极小值