江苏省2023年中考数学《第20课时直角三角形与勾股定理》练习含解析考点分类汇编

第四章三角形第20课时直角三角形与勾股定理1.(2016百色)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝()A.6B.6eq\r(2)C.6eq\r(3)D.12第1题图第2题图2.(2016河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为()A.6B.5C.4D.33.(2016荆州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A.1B.2C.3D.4第3题图第4题图4.(2016陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()A.7B.8C.9D.105.(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.(2016黔东南州)如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝eq\r(6)，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(6)第6题图7.(2016株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有()第7题图A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2016哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．9.(2016桂林)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝________．第9题图第10题图10.(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连接DE交CO于点P.给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE＝∠COE；③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为eq\f(1,4)；④AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE.其中所有正确结论的序号是________．11.(2016北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．第11题图答案1.A【解析】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝6.2.D【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－82)＝6，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝3.3.A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，eq\f(x,3－x)＝eq\f(1,2)，解得DE＝x＝1.4.B【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\r(82＋62)＝10，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC＝3，∵CF平分∠ACM，∴∠ACF＝∠MCF，又∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠MCF，∴∠EFC＝∠ACF,∴EF＝CE＝eq\f(1,2)AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.5.C【解析】如解图①，当△ABC是锐角三角形时：在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝10；如解图②，当△ABC是钝角三角形时：在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝6；故答案为C.第5题解图①第5题解图②6.B【解析】如解图，连接OC，∵AB＝eq\r(6)，∴AC＝BC＝eq\r(3).∵∠COD＋∠COE＝90°，∠EOB＋∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠COD，∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB中点，∴OB＝OC，∠B＝∠OCD＝45°，∴△BOE≌△COD(ASA)，得EB＝CD，进而得CD＋CE＝CE＋EB＝BC＝eq\r(3).第6题解图7.D【解析】图①中，∵S1＝eq\f(\r(3),4)a2，S2＝eq\f(\r(3),4)b2，S3＝eq\f(\r(3),4)c2，∴a2＝eq\f(4,\r(3))S1，b2＝eq\f(4,\r(3))S2，c2＝eq\f(4,\r(3))S3，∵a2＋b2＝c2，∴eq\f(4,\r(3))S1＋eq\f(4,\r(3))S2＝eq\f(4,\r(3))S3，即S1＋S2＝S3；图②中，∵S1＝eq\f(1,2)π(eq\f(a,2))2＝eq\f(πa2,8)，S2＝eq\f(1,2)π(eq\f(b,2))2＝eq\f(πb2,8)，S3＝eq\f(1,2)π(eq\f(c,2))2＝eq\f(πc2,8)，∴a2＝eq\f(8,π)S1，b2＝eq\f(8,π)S2，c2＝eq\f(8,π)S3，∵a2＋b2＝c2，∴eq\f(8,π)S1＋eq\f(8,π)S2＝eq\f(8,π)S3，即S1＋S2＝S3；图③中，设斜边长为a的等腰直角三角形的直角边为x，则x＝eq\f(\r(2),2)a，同理可得，另两个三角形的直角边分别为eq\f(\r(2),2)b和eq\f(\r(2),2)c，∴S1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(a2,4)，S2＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)b×eq\f(\r(2),2)b＝eq\f(b2,4)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)c×eq\f(\r(2),2)c＝eq\f(c2,4)，∴a2＝4S1，b2＝4S2，c2＝4S3，∵a2＋b2＝c2，∴4S1＋4S2＝4S3，即S1＋S2＝S3；图④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.8.eq\r(13)或eq\r(10)【解析】由题知，P为直角边BC的三等分点，分两种情况讨论：①如解图①所示，当P点靠近B点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq\r(13)；②如解图②所示，当P点靠近C点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq\r(10)，综上可得：AP＝eq\r(13)或eq\r(10).第8题解图9.eq\f(3\r(5),5)【解析】取BC的中点E，连接HE，OE，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3,2)，OE∥AC，∵CH⊥BD，CE＝BE，∴HE是Rt△BCH的斜边中线，∴HE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，∴CE＝HE＝OE＝BE，∴C、H、O、B都在⊙E上，∵∠ACB＝90°，OE∥AC，∴∠BEO＝90°，∴∠BHO＝eq\f(1,2)∠BEO＝45°＝∠A，又∵∠1＝∠1，∴△BOH∽△BDA，∴eq\f(OH,AD)＝eq\f(OB,BD)，又∵AD＝AC－CD＝2，OB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)eq\r(AC2＋BC2)＝eq\f(3\r(2),2)，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(10)，∴eq\f(OH,2)＝eq\f(\f(3\r(2),2),\r(10))，∴OH＝eq\f(3\r(5),5).第9题解图10.①②③④【解析】①∵在等腰直角三角形ABC中，CO⊥AB,∠ACB＝90°，∵O为AB的中点，∴AO＝OC,∠DAO＝∠OCE＝45°，又∵AD＝CE，∴△ADO≌△CEO，∴OD＝OE,∠AOD＝∠COE，∵∠AOD＋∠DOC＝90°，∴∠COE＋∠DOC＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形，故①正确；②∵∠CDE＋∠DCO＋∠CPD＝180°，∠COE＋∠OED＋∠OPE＝180°，∠DCO＝∠OED＝45°，∠CPD＝∠OPE，∴∠CDE＝∠COE，故②正确；③∵四边形CEOD的面积＝S△COD＋S△CEO，△ADO≌△CEO，∴四边形CEOD的面积＝S△COD＋S△ADO＝S△AOC＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,4)，故③正确；④如解图，过点O作ON⊥DE于点N，则ON＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(1,2)(DP＋PE)，PN＝NE－PE＝eq\f(1,2)DE－PE＝eq\f(1,2)(DP＋PE)－PE＝eq\f(1,2)(DP－PE)，又∵OP2＝ON2＋PN2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（DP＋PE）))2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（DP－PE）))2，化简得：2OP2＝DP2＋PE2，AD2＋BE2＝CE2＋CD2＝DE2＝(DP＋PE)2＝DP2＋2DP·PE＋PE2，∴AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE，可得④正确．故答案为：①②③④.第10题解图11.(1)证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD且MN＝eq\f(1,2)AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)AC