高中数学北师大版选择性空间向量与立体几何2空间向量与向量运算从平面向量到空间向量公开课

空间向量与立体几何从平面向量到空间向量

物理中的事例F1F2F3

一个放在水平面上物体，受到不在同一平面内的三个力的作用，如何求它们的合力？空间向量的客观存在01情景引入南上东住处学校

小明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.小明从学校回到住处所发生的总位移是三个位移的合成，它们是不在同一个平面内的位移，如何刻画这样的位移？实际问题01情景引入知识点一

向量的概念1.向量是既有

又有

的量，如果我们把问题的研究范围限定在同一平面上，称之为

向量；如果问题的研究范围扩大到空间中，称之为

向量2.与平面向量一样，空间向量也有两种表示方法，一种用有向线段表示，A叫做向量的

，B叫做向量的

；另一种用a,b,c表示.3.数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为

.4.与平面向量一样，空间向量的大小，也叫做向量的

或

,用或表示.大小方向平面空间终点起点自由向量长度模BA02新知讲授5.过空间用一点O作向量a,b的相等向量

和

，则

叫做向量的

，记作

，规定

当

时，向量a与b

，记作

，当0或时，向量a与b

，记作.思考:在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点，那么他们的终点构成怎样的图形？夹角解

球面.

特别地:02新知讲授知识点一

向量的概念

垂直平行ABC对零向量、单位向量的认识1.零向量的特点：(1)长度为零；(2)方向任意，规定零向量和任何向量平行.2.单位向量的特点：(1)长度为1；(2)方向与已知条件有关，一般地，在空间的任意方向上都有单位向量，且在某一确定的方向上有唯一一个单位向量．02新知讲授空间向量与平面向量的对比1.所处范围:平面向量的范围是在同一个平面内，而空间向量则是在空间的范围内．2.是否共面：平面向量中的所有向量都是共面的，而空间中，任意两个向量都是共面的，三个向量则有可能是不共面的，如图所示．3.性质推广：平面向量的所有的性质在空间中仍然成立，空间向量的有关问题通常转化为平面向量来解决．02

新知讲授1.是空间一直线，A，B是直线上任意两点，则称为直线的，显然与平行的任意向量也是直线的

2.如果直线垂直于平面,那么把直线的方向向量叫做平面的

方向向量非零方向向量法向量

解平面的法向量有无数个,在使用时,只取其中的一个.02新知讲授知识点二

直线的方向向量和平面的法向量思考：平面的法向量有多少个？A3.给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条

直线,也可以确定唯一一个

的平面.

过点A且平行于向量a

过点A且垂直于向量a02新知讲授例1

给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b；③在正方体中必有

；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为（）A.4B.3C.2D.103典例讲评解当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②错；根据正方体中，向量与方向相同，模也相等，应有，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故⑤错．故选C.规律总结：本题重点考查了空间向量的相关概念，解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解，因此，又考查了数形结合思想，特殊与一般的思想.练习1

如图所示,在长方体ABCD

-

A1B1C1D中，AB=3,AD=2，AA1=1，在分别以八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，回答以下问题（1）单位向量共有多少个；（2）写出与向量相等的所有向量；（3）写出与向量相反的所有向量；（4）写出与向量平行的所有向量.03典例讲评解(1)模为1的向量即为单位向量，由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量都是单位向量,分别是,共8个.(2)因为所以与相等的向量有(3)因为所以与相反的向量有(4)因为所以与向量平行的向量有

.例2.如图，已知正方体，求：(1)(2)03典例讲评解(1)因为所以将平移至处,则大小为的补角，由正方体性质可得,故

规律方法：求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求.(2)连接,因为，所以将平移至处，则，大小为，由正方体性质可知为正三角形，所以，因此.03典例讲评练习2.在正方体中,

H

解连接，因为，所以，而为等边三角形，故例3.如图所示,在直三棱柱中,，在所有棱对应的向量中,平面

的法向量有 (

)A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

03典例讲评解由于三棱柱是直三棱且，所以平面,

平面,所以平面的法向量有

,共4个.

故选D.知识方法易错1.向量的概念．2.直线的方向向量与平面的法向量本节课主要运用了类比的数学推理方法，通过平面向量来学习和它类似的空间向量1.在对向量的概念进行判断时，忽略大小或方向；2.忽略直线的方向向量与平面的法向量不能为零向量；3.求向量夹角时忽略将两向量平移到起点相同处.04课内小结05课后作业1.在平行六面体中,

H

与向量相等的向量共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

解

与向量相等的向量有

,共3个.故选C05课后作业2.如图，在正方体中，在分别以八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,回答下列问题(1)写出直线的所有方向向量；(2)写出平面的所有法向量；(3)求解

(1)因为直线与直线平行，所以均为直线的方向向量.

(2)因为均垂直于平面

,所以向量都是平面的法向量.05课后作业