第3章 导数及其应用 高考难点突破课1 导数的综合问题 第二课时　利用导数研究函数的零点问题

高考难点突破课一导数的综合问题第二课时利用导数研究函数的零点问题内容索引核心突破题型剖析分层训练巩固提升HEXINTUPOTIXINGPOUXI核心突破题型剖析1题型一判断、证明或讨论函数零点的个数(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.感悟提升则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知题型二根据零点个数确定参数范围例2

(2020·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；解(1)f′(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.解由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，f(x)不可能有三个零点.在解决已知函数y＝f(x)有几个零点求f(x)中参数t的取值范围问题时，经常从f(x)中分离出参数t＝g(x)，然后用求导的方法判断g(x)的单调性，再根据题意求出参数t的值或取值范围.解题时要充分利用导数工具和数形结合思想.感悟提升解g(x)＝2lnx－x2＋m，故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.题型三可化为函数零点的个数问题例3

已知函数f(x)＝lnx(0<x≤1)与函数g(x)＝x2＋a的图象有两条公切线，求实数a的取值范围.

解设公切线与函数f(x)＝lnx的图象切于点A(x1，lnx1)(0<x1≤1)，因为g(x)＝x2＋a，所以g′(x)＝2x，则h(t)＝－ln2t＋t2－1＝－ln2－lnt＋t2－1，解决曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题的关键是转化为对应函数的零点个数问题，利用数形结合思想，通过研究函数的零点个数解决相关问题.感悟提升训练3

(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0. (1)讨论f(x)的单调性；解

由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.隐零点问题微点突破

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.例

设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.当a>0时，令f′(x)<0，得x<lna，令f′(x)>0，得x>lna，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞).(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.解由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数.又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升2A级基础巩固1.已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；解(1)当a＝0时，f(x)＝ex－ex，则f′(x)＝ex－e，f′(1)＝0，当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.解由题意得f′(x)＝ex－2ax＋a－e，设g(x)＝ex－2ax＋a－e，则g′(x)＝ex－2a.若a＝0，则f(x)的最大值f(1)＝0，故由(1)得f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a<0，则g′(x)＝ex－2a>0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0.故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因为f(0)＝1，f(1)＝0，所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点.若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，ex>ex.则f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2>ex＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(－∞，0).解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数.题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图象总有一个交点.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；解当a＝1时，则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2；令f′(x)<0，解得0<x<ln2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).当x＝1时，方程成立.(1)求a的值；解f′(x)＝a(cosx－xsinx)，又1>x≥0，所以1·cosx>xsinx，即cosx－xsinx>0.当a<0时，f′(