第三章动量守恒定律和能量守恒定律

第三章动量守恒定律和能量守恒定律第一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

1.理解动量、冲量概念，掌握动量定理和动量守恒定律．

2.掌握功的概念,能计算变力的功，理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能．

3.掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用动量和能量守恒定律分析力学问题的思想和方法．力的累积效应对时间的积累对空间的积累第二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四一

冲量

质点的动量定理§3.1质点和质点系的动量定理1.动量2.冲量（矢量）与位矢同样是描述物体运动状态的物理量第三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四—冲量（矢量）（质点的）动量定理—在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．3.质点的动量定理是描述力对时间累积效应的物理量.第四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

分量表示某方向受到冲量，该方向上动量会改变．说明第五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四二质点系的动量定理对两质点分别应用质点动量定理：因内力，故将两式相加后得：质点系第六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四上述结论可以推广到由n个质点组成的系统，上式表明：作用于两个质点所组成的系统的合外力的冲量，等于系统动量的增量。对质点系，内力的矢量和，合外力为，则有上式表明：作用于系统的合外力的冲量，等于系统动量的增量。—质点系动量定理第七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四注意1）质点系的动量定理同样有分量形式2）上式也可写为4）只有外力才能改变系统的动量3）质点系的动量定理有微分形式：即作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率第八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四推开前：则推开后：v1与v2方向相反，且推开前后系统动量不变注意内力不改变质点系的动量第九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四动量定理常应用于碰撞问题式中为平均冲力当一定时，越小，则越大

例如，人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.第十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四（1）

F为恒力（2）F

为变力讨论Ftt1t2OFt1t2tFO通常只计算平均冲量，平均冲力。冲量是F-t曲线下的面积；冲力是F-t曲线上的点.第十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去，鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄板一起移动？

答：因为鸡蛋和薄板间的摩擦力很小，若棒打击时间很短，,因此鸡蛋掉在杯中.第十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例（P83习题3-8）.

的合外力作用在质量

的物体上，试求：1）在开始2s内此力的冲量；2）若冲量此力作用的时间；3)若物体的初速度v1=10m·s-1，方向与Fx相同，在t=6.86s时物体的速度v2．分析：1）由冲量的定义求出变力的冲量；2）根据动量定理求物体的速度.第十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四解：1）力的冲量I力的方向不变，质点做一维运动2）可得（舍去不合题意的解）第十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四3)t=6.86

s时物体的速度力的方向不变，质点做一维运动，根据动量定理有第十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例1(P51).一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的钢球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来．设碰撞时间为0.05s．求在此时间内钢板所受到的平均冲力．O第十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四解：由动量定理得：方向与轴正向相同．O第十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四例.习题3－9（P83）一质量为51.0kg的人不慎从高空竖直跌落，由于安全带的保护，人被悬挂起来，此时人离原处为2.0m，安全带缓冲作用时间为0.50s.求安全带对人的平均冲力.合力为安全带对人向上的拉力与重力之和，其平均冲量为：解：取向上为y轴正向第十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四根据动量定理有第十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四作业:习题

3-6,3-7第二十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四由质点系动量定理可知，当时§3-2动量守恒定律当质点系所受的合外力时，系统的总动量保持不变上式表明：—动量守恒定律—动量守恒定律第二十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

(1)

系统的总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的．

(2)守恒条件：合外力为零．当

时，可近似地认为系统总动量守恒．如碰撞、打击、爆炸等。讨论第二十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四(3)

若，但满足有(4)动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一．即若某一方向合外力为零,则此方向动量守恒.yiyiiyyCmpF===åv,0exziziizzCmpF===åv,0ex第二十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四例问题3－6(P81).人从大船易跳上岸，从小舟不易跳上岸，为什么。解：人与船为一个系统，则此系统水平方向没有外力作用，因此动量守恒，即第二十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例1(P54)设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互相垂直，且电子动量为1.210-22

kg·m·s-1，中微子的动量为6.410-23

kg·m·s-1．问新的原子核的动量的值和方向如何？(中微子)(电子)第二十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四解：图中或(中微子)(电子)第二十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四一功

1恒力作用下的功§3-4动能定理W功是力对空间的累积F

v功是标量、过程量，因此与路径有关

力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.第二十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四B**A2变力作功质点在由A到B的路径上受到变力F的作用将整个路径分成无穷多个位移元，则力F在任意位移元上作的元功为令则第二十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四质点在由A到B的路径上变力F所作的功为—变力作功的表达式作功的图示：第二十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四(2)功是标量，但有正、负讨论(1)功是力作用于物体的空间积累效应的物理量,是过程量；正功表示某力对物体做功；负功表示物体克服某力做功.（3）功的单位：J（焦耳）第三十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．即第三十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四1）平均功率2）（瞬时）功率功率的单位：W（瓦特）3功率第三十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四例.一个质点在恒力作用下的位移为,求此力在该位移过程中所作的功。

解：注:第三十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四解:例.

一质点在如图所示的坐标平面内作圆运动，力作用在质点上，求质点从原点运动到（0，2R）位置过程中，力所作的功.或第三十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例1（P59）质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动,作用在物体上的力为F=6t(N).试求在头2秒内,此力对物体做的功.分析:已知的是F=6t，而不是F（x）,因此不能直接利用公式计算变力作功，只有找到变量x与t的关系，统一变量后才可积分计算功.解：根据牛顿第二定律，可有第三十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四第三十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四例.习题3－15（P83）一物体在介质中按x=ct3规律作直线运动，c为常量.介质对物体的阻力与速度平方成正比。求：物体由x0=0运动到x=l时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k）解：为一维变力作功问题则阻力为由第三十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四则阻力所作的功为第三十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四3-16.人从10.0m深的井中提水，起始桶中有10.0kg的水，水桶漏水，每升高1m会漏去0.20Kg的水.水桶被匀速的提到井口，求人所作的功.分析：水桶是匀速上提，则人的拉力始终与重力平衡，但水桶漏水，因此为变力作功.

提示：水桶匀速上提，则a=0,由牛顿定律可有设水的漏水率为，则人作的功为作业：3-16第三十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四二质点的动能定理对空间的积累动能定理ABθ质点质量为m，在合外力作用下，由合外力在任意位移元上作的元功为式中=为位移元上的大小

第四十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四根据牛顿第二定律，有ABθ则由A到B，合外力作的总功为第四十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量.

—质点的动能定理—质点的动能定理质点的动能定理表明了外力对质点作功的结果，式中为质点的动能，是与质点运动状态有关的物理量.第四十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四注意2）功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同．1）只有合外力作功，质点的动能才能发生变化，功是能量变化的量度，功是过程量；动能是状态量；第四十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例2（P61）一质量为1.0kg的小球系在长为1.0m细绳下端，绳的上端固定在天花板上．起初把绳子放在与竖直线成角处，然后放手使小球沿圆弧下落．试求绳与竖直线成角时小球的速率．解：受力分析第四十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四0第四十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四由动能定理得第四十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四3-17.一质量为0.2kg的小球子在长2.00m的细绳上，绳的另一端系在天花板上。将小球移至与竖直方向成300角的位置后从静止释放。求：1）绳从300角到00角的过程中，重力和张力所作的功；2）物体在最低位置时的速率；3）在最底位置时的张力.提示：1）张力的方向与运动方向垂直.l重力作功：作业：3=17第四十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四l2）根据动能定理，小球动能的增量是重力作功的结果3）在最低位置时，由牛顿定律可有第四十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四1万有引力作功一万有引力和弹性力作功的特点对

的万有引力为移动时，作元功为§3-5保守力与非保守力势能·式中为位矢的单位矢量第四十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四m从A到B的过程中作功为

式中所作的功只与质点的始、末位置有关，与路径无关．第五十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四2重力作功ABDC第五十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四ABDC所作的功只与质点的始、末位置有关，与路径无关．若回到初始位置，即环绕一周，则所作的功为第五十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四3弹性力作功弹性力坐标系如图，弹簧原长o点处为原点-平衡位置第五十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四xFdxdWx2x1O弹性力作功的图示：W=梯形面积弹性力作功只与弹簧的始末位置有关，和弹性变形的过程无关。显然，与万有引力和重力作功的特点相同。若回到初始位置，所作的功为第五十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

保守力：力所作的功与路径无关，仅决定于质点的始、末位置．二保守力与非保守力弹力的功引力的功重力的功第五十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零．与保守力作功与路径无关等价.设一质点在保守力的作用下由—保守力作功特点的数学表达式第五十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四系统所受合力=外力+内力=外力+保守内力+非保守内力非保守力：力所作的功与路径有关．（例如摩擦力）第五十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四三势能

1.势能：与质点位置有关的能量称为质点的势能，用表示.弹性势能引力势能重力势能弹力的功引力的功重力的功第五十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四重力，万有引力和弹力均为保守力.保守力的功可统一写成即保守力对质点所作的功等于质点势能增量的负值．显然保守力作正功，势能减少，即：，则第五十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四2）势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关．1）势能是状态的函数3）势能是属于系统的．讨论4）势能差与势能零点选取无关．第六十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

2.势能曲线—势能随坐标变化的曲线弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线第六十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四一质点系的动能定理

§3-6功能原理机械能守恒定律一个系统内的质点会受到系统内质点间相互作用的内力，还会受到系统外质点对系统内质点作用的外力。因此对一个系统来说，即会受到外力的作用，也会受到内力作用，即合力=外力+内力=外力+保守内力+非保守内力一质点系由n个质点组成,每一质点都受到外力和内力的作用.设第i个质点所受外力作的功为，所受内力作的功为；第i个质点的动能增量为,根据质点的动能定理有第六十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四内力可以改变质点系的动能注意对质点系，则有外力功内力功上式表明，质点系动能的增量，等于作用于质点系所有外力与内力所作功之和.—质点系的动能定理

—质点系的动能定理

第六十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四非保守力的功二质点系的功能原理可得—质点系动能定理—势能增量的负值第六十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四机械能

上式表明，质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和．—质点系的功能原理—质点系的功能原理第六十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四1.为作用于质点系内所有质点上的外力所作功的和，即合外力所作的功；为作用于质点系内所有质点上非保守内力所作功的和；注意：2.功与能量的关系.功与能量既有联系又有区别，功与能量变化和转换过程相联系，是能量变化和转换的量度；能量反映质点系在一定状态下所具有的作功本领，与质点系的运动状态有关，而机械能是与质点系的机械运动状态（即位置与速度）有关。第六十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四三机械能守恒定律当时，有上式表明，只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变．—机械能守恒定律—机械能守恒定律由功能原理可知第六十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四即守恒定律的意义：讨论：在的条件下，质点系的动势能可以相互转化，但动势能之和不变，即机械能守恒定律中机械能是守恒量.质点系内的动势能间的相互转化实际上是通过质点系内的保守力作功（）实现的。第六十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期四注意：的几种可能1）不存在外力和非保守内力;如自由落体、平抛、与弹簧碰撞运动等.2）外力和非保守内力都不做功;如物体在光滑曲面下滑，单摆等.3）外力和非保守内力虽然都做功,但它们所作功的代数和为零.不用讨论过程细节而对系统的状态下结论，是各个守恒定律的特点和优点.第六十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期四例.一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运动过程中：A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒；B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒；C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒；D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒。

解：小球在竖直平面内作匀速圆周运动，其动能不变，势能改变，所以机械能不守恒；

小球在运动过程中，速度方向在改变，所以动量不守恒；

由于小球作匀速圆周运动，它所受的合力指向圆心，力矩为零，所以角动量守恒。第七十页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例.对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是：

(1)系统不受外力作用，则动量和机械能必定同时守恒；

(2)对一系统,若外力作功为零,而内力都是保守力,则其机械能守恒；

(3)对一系统,若外力作功为零,则动量和机械能必定同时守恒。第七十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

例.

一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m

的小球,小球穿过圆环并在环上运动(μ=0)．开始球静止于点A,弹簧处于自然状态，其长为环半径R;当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力．求弹簧的劲度系数k．第七十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期四

解：

以弹簧、小球和地球为一系统.只有保守内力做功系统分析小球由A点运动B点,只有保守内力作功,所以系统的机械能守恒第七十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期四B点：取点A为弹性势能零点取B点为重力势能零点第七十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期四A点：可得系统机械能守恒，则有第七十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期四作业:3-25,3-26小球在B点的牛顿第二定律的法向方程为（1）（2）式联立解得取向上为正，则有第七十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期四作业:3-25,3-26第七十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期四3-25.质量为m，速度为的钢球，射向质量为m，的靶，靶中心孔内有一劲度系数为k的弹簧，靶可在水平面作无摩擦滑动。靶最初为静止状态，求小球射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离.分析：为碰撞问题.碰撞的过程为小球刚与弹簧接触至弹簧被压缩到最大距离，此时小球与弹簧为同一速度.小球与靶为一个系统，则系统水平方向不受外力，则此