第一章矢量分析基础

第一章矢量分析基础第一页，共十九页，编辑于2023年，星期四本章内容安排1.1标量与矢量1.2矢量的运算1.3标量场的方向导数和梯度1.4矢量场的散度及高斯散度定理1.5矢量场的旋度及斯托克斯定理第一章矢量分析基础第二页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.1标量与矢量1.1.1标量与矢量标量:仅用大小就能表述的物理量，例如长度、面积、体积、温度等。矢量:不仅具有大小而且具有方向特征的物理量，例如力、电场强度、磁场强度、速度、位移等。

第一章矢量分析基础第三页，共十九页，编辑于2023年，星期四矢量A的表示方法（1）（2）（3）

第一章矢量分析基础矢量A的空间表示第四页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.2矢量的运算1.2.1矢量的代数运算令和，则矢量相加：矢量相减:

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矢量相加的几何表示矢量相减的几何表示第五页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.2.2矢量乘矢量的点乘：或者矢量的叉乘：或者

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矢量的点乘矢量的叉乘第六页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.3标量场的方向导数和梯度1.3.1标量场的方向导数设点M0(x0,y0,z0)是标量场u(x,y,z)所在空间内的一个固定点，过M0点引出一条射线l，并在该射线上靠近M0点一个动点M(x0+∆x,y0+∆y,z0+∆z)，而且点M0与M之间的距离为∆l。

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第七页，共十九页，编辑于2023年，星期四方向导数定义如下1.3.2标量场的梯度我们定义一个矢量G，令其方向就是标量函数u在定点处最大变化率的方向，而其大小则为最大变化率的值，称这个矢量G为标量函数u在定点M0处的梯度，记为

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第八页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.3.3哈密尔顿算子(Hamilton)在直角坐标系中，定义▽算子与标量函数u的乘积为该函数的梯度，即

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第九页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.4矢量场的散度及高斯散度定理1.4.1矢量场的通量通过闭合曲面的总通量可表示为

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曲面法向单位矢量的确定第十页，共十九页，编辑于2023年，星期四说明：若ψ>0，则表示S面中有净通量流入，即穿出S面的矢量线多于穿入S面的矢量线，说明在S面中必有产生矢量线的源，称之为正源；若ψ<0，则表示穿入S面的矢量线要多于穿出S面的矢量线，说明面内必有吸收矢量线的源，我们称之为负源（也称之为沟）；当ψ=0时，则表示流穿出S面的矢量线与穿入的矢量线相等，此时在S面内正源和负源完全抵消，或者说S内没有源。

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第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期四把与通量有关的正源或者负源，统称为通量源。1.4.2矢量场的散度矢量场A在点M处的散度，记作物理意义：矢量场中任意点处通量对体积的变化率，即从点M单位体积内散发的通量，所以，又可以将散度称为“通量源密度”或者“通量源强度”。在无源区中，矢量场A在各点处的散度均为零。

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第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期四在直角坐标系中，散度的表达式为或者

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矢量场的散度及通量源第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期四把与通量有关的正源或者负源，统称为通量源。1.4.3矢量场的散度矢量场A在点M处的散度，记作物理意义：矢量场中任意点处通量对体积的变化率，即从点M单位体积内散发的通量，所以，又可以将散度称为“通量源密度”或者“通量源强度”。在无源区中，矢量场A在各点处的散度均为零。

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第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.4.4高斯散度定理说明：它是在矢量分析中一个非常重要的定理；从数学上看，利用高斯散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之；从场的观点来看，高斯散度定理建立了某一区域中的场与包围该区域边界上的场的关系。

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第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.5矢量场的旋度及斯托克斯定理1.5.1环量定义矢量A沿某一个封闭曲线的线积分称为该矢量沿此封闭曲线的环量，可以表示为

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第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期四说明：环量和通量一样，也是一个代数量，它是标量积的线积分。其大小和正负不仅与矢量场的分布有关，而且还取决于封闭曲线的形状和取向。如果矢量沿封闭曲线的环量不为零，则说明该封闭曲线内存在另一种源——涡流源，又叫做旋涡源，对应的矢量场则称为有旋场或涡流场；反之，若环量为零，则表示封闭曲线内不存在旋涡源，称相应的矢量场为无旋场，也叫做保守场。

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第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期四1.5.2旋度