第七章 谐振子

第七章谐振子第一页，共三十页，编辑于2023年，星期四Manycomplicatedpotentialcanbeapproximatedinthevicinityoftheirequilibriumpointsbyaharmonicoscillator.TheTaylorexpansionofV(x)atequilibriumpointx=aisHamitonnianfunctionofanoscillatorwithmassmandoscillatingfrequencyω0canbewrittenStationarySchrodingerequation第二页，共三十页，编辑于2023年，星期四Referencingthebookeditedby曾谨言，wesolvetheSchrodingerequation.Introducetheno-dimensionparameters(无量纲参数)Weget(boundarycondition),(1)(2)Wegetanasymptoticsolution(试探解)第三页，共三十页，编辑于2023年，星期四Insert(2)to(1),getThisisHermite(厄米)differentialequationAtthevicinityof=0,u()isexpandedtheTaylorseries.Onlywillsatisfiestheboundarycondition()(4)Thereforethecondition(4)issatisfied,wecangetthesolutionwhichisallowedinphysicsfield.Accordingto(3)第四页，共三十页，编辑于2023年，星期四EnergyeigenvalueofharmonicoscillatorEnergylevelisdiscrete.Theenergygapisidentical.Theenergylevelofgroundstate(zeropointenergy)isnotzero.第五页，共三十页，编辑于2023年，星期四Thesolutionofequation(3)isHermitepolynomials(厄米多项式).TheeigenfuctionandenergyofharmonicoscillatorareNormalizedconstant第六页，共三十页，编辑于2023年，星期四SomemostsimpleHermitepolynomialsH0=1,H1=2,H2=422,H3=8312,……ThebasicpropertiesofHermitepolynomials(Thedefinition)Twoimportantandusefulrelations第七页，共三十页，编辑于2023年，星期四n=0:n=1:n=2:Thefirstthreeeigenfunctionsofharmonicoscillator第八页，共三十页，编辑于2023年，星期四ThesymmetrypropertyWhenniseven,positiveparity(n为偶数，偶宇称)Whennisodd,negativeparityIngeneral第九页，共三十页，编辑于2023年，星期四Groundstate

Theenergyandwavefunctionofgroundstate(n=0)Theprobabilityfindingaparticleatx=0ismaximum,whichiscontrarytoclassicalparticle.Foraclassicalharmonicoscillator,whenx=0,itspotentialisminimumandkineticenergyismaximum,hencetheintervalwhichitdelaysatx=0isshortest.第十页，共三十页，编辑于2023年，星期四Inclassicalmechanics,aparticlewithgroundstateenergyE0motionsintherangeAccordingtoquantummechanics,theprobabilityfindingaparticleoutsidetheclassicalallowedrangeisn＝15xW(x)wclwqu第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期四ZeropointenergyisadirectconsequenceoftheuncertaintyrelationSincetheintegrand（被积函数）isanoddfunction,第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期四WecanwriteuncertaintyrelationagainThemeanenergyTheminimumenergyiszeropointenergy,whichiscompatiblewithuncertaintyprinciple.第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期四ThenormalizationeigenfunctionofharmonicoscillatorAccordingtotheserelations,wegetThedescriptionoftheHarmonicOscillatorbyCreationandAnnihilationoperators（产生算符和湮灭算符）第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期四Hence(1)(2)第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期四Byadditionorsubtractionof(1)and(2),wegetWedefinetheoperatorsHenceâiscalledtheloweringoperator(降幂算符),â+theraisingoperator(升幂算符).第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期四Thenumberoperator(数算符)第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期四Bysuccessivelyoperatorâ+on,wecancalculatealltheeigenfunctions,staringfromthegroundstate.Forn=0TheeigenfunctionofgroundstateThenormalizedeigenfunction第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期四One-dimensionHamiltonianharmonicoscillatorWeintroduceHence3.RepresentationoftheOscillatorHamiltonianinTermsofâandâ+第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期四Accordingtothedefinitionsofâandâ+,getWeobtainasimpleHamiltonianrepresentationEigenvalue第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期四基态ψ0所具有的零点能量为ħω/2,而且我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,我们将该能量以能量量子ħω分成n份(谐振子场中的量子),称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),在Dirac’s表象中表示为表示声子数，零声子态(zero-phononstate)。称为真空。应用上面的表述,算符â和â+作用于波函数可表示成解释:如果â

作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.4.Interpretationofâandâ+第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期四由于称为声子数算符(phononnumberoperator),n为相应态的子数.声子表象的引入被称为二次量子化,而谐振子波场中的量子正是声子.如果与光子相类比的话,就更清楚了.â|3>annihilationofaphononâ

+2|1>creationoftwopohonons谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图En/ħω7/25/23/21/2x第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期四Example1UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,prove第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期四Solution:

n(x)istheeigenfunctionofharmonicoscillator,andcanbewritten第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期四HamitonnianofthecouplingharmonicoscillatorcanbewrittenExample2wherex1,p1andx2,p2belongtodifferentfreedomdegree,andsetProblem:theenergylevelofthiscouplingharmonicoscillator.第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期四Solution:ifthecouplingtermx1x2isnotexists,thecouplingharmonicoscillatorbecomestwo-dimensionoscillator,andthenitsHamitanianisgivenbyUsingseparatingvariable,wecantransformtheabovequestionintothequestionoftwoindependentone-dimensionharmonicoscillator,thenitsenergylevelandeigenfunctionarewhereisenergyeigenfunctionofone-dimensionoscillator第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期四Forthecouplingharmonicoscillator,wecansimplifyittwoindependentharmonicoscillatorusingcoordinatetransformation,sowesetWecaneasilyprovethefollowingexpressions第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期四ThereforeHamitanianbecomes

WhereHence第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期四1.UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,proveExercisewhere第二十九页，共三十页，编辑于2023年，星期四2.Aparticleisinthegroundstateofone-dimensionharmonic