2022-2023学年广东省东莞市第七高级中学高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年广东省东莞市第七高级中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某向何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.函数的图像如图，其中为常数．下列结论正确的是：（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略3.若正四棱柱的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．

B．1C．

D．参考答案：D略4.若非零向量满足，，则的夹角为（）A．30° B．60 C．120° D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由（2+）?=0，化简得到||2=﹣2?，结合条件||=||，将化简式变为||?||=﹣2?，再结合cosθ=，易求出与的夹角θ．【解答】解：∵（2+）?=0∴（2+）?=2+2?=0即||2=﹣2?又∵||=||∴||2=||?||=﹣2?又由cosθ=易得：cosθ=﹣则θ=120°故选：C【点评】若θ为与的夹角，则cosθ=，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．5.

函数的部分图象如右图所示，则A．

B．C．

D．参考答案：D略6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：B，，．选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．7.如图所示，在正方体中,,,分别是棱,,上的点，若则的大小是

(

)A.等于

B.小于

C.大于

D.不确定参考答案：A试题分析：根据两向量垂直等价于两向量的数量积为0，所以,所以两向量垂直，即,故选A.考点：空间向量8.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．9.已知偶函数满足，且在区间上单调递增.不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（α）=log2（α+1）=1，可得α+1=2，故可得答案．【解答】解：∵f（α）=log2（α+1）=1∴α+1=2，故α=1，故选B．【点评】本题主要考查了对数函数概念及其运算性质，属容易题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函y=f(x)的图像恰好经过k个格点，则称函数y=f(x)为k阶格点函数．已知函数：①y=2sinx；②y=cos(x+)；③；④

．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）参考答案：①③12.已知函数，则

．参考答案：13.已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合已知我们可分析出函数的单调性，进而根据f（1）＜f（lgx），可得1＜|lgx|，根据绝对值的定义及对数函数的单调性解不等式可得答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数且函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，若f（1）＜f（lgx），则1＜|lgx|即lgx＜﹣1，或lgx＞1解得x∈故答案为：14.若等比数列的前项和为，且，则=

．参考答案：15.（5分）在△ABC中，若sinA=cosA，则∠A=

．参考答案：考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 由已知条件推导出3cos2A+cos2A=1，所以cosA=，或cosA=﹣（舍），由此能求出结果．解答： 在△ABC中，∵sinA=cosA，∴3cos2A+cos2A=1，∴cosA=，或cosA=﹣（舍），∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评： 本题考查三角形的内角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．16.函数的值域为

．参考答案：（0，3］ 17.已知数列中，，则数列通项公式=______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（9分）以下茎叶图记录了甲、乙两组五名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊无法确认，在图中以X表示。（Ⅰ）如果X=7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=8，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为18或19的概率。参考答案：解：（Ⅰ）当X=7时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：7，8，9，10，11，所以平均数为

……2分方差为………4分（Ⅱ）当X=8时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：8，9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，11分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，植树总棵数：

16，16，17，18，19

17，17，18，19，20

17，17，18，19，20

19，19，20，21，22

19，19，20，21，22因此P=

………………9分19.（8分）在△中，角所对的边分别为，已知，，．(1)求的值；

(2)求的值．参考答案：解：（I）由余弦定理，，得，

……2分．

……3分（II）方法1：由余弦定理，得，

……5分∵是的内角，

……6分∴．

……8分方法2：∵，且是的内角，

∴．

……4分根据正弦定理，，

……6分得．

……8分20.已知数列{an}满足，，其中实数.（I）求证：数列{an}是递增数列；（II）当时.（i）求证：；（ii）若，设数列{bn}的前n项和为Sn，求整数m的值，使得最小．参考答案：（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）2.【分析】（I）通过计算，结合，证得数列是递增数列.（II）（i）将转化为，利用迭代法证得.(ii)由（i）得，从而，即.利用裂项求和法求得，结合（i）的结论求得，由此得到当时，取得最小值．【详解】（I）由所以，因为，所以，即，所以，所以数列是递增数列．（II）此时．（i）所以，有由（1）知是递增数列，所以所以（ii）因为所以有.由由（i）知，所以所以所以当时，取得最小值．【点睛】本小题主要考查数列单调性的证明方法，考查裂项求和法，考查迭代法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.设m∈R，函数f（x）=ex﹣m（x+1）+m2（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若m=2，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知实数x1，x2满足x1+x2=1，对任意的m＜0，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，求x1的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有一个极小值点为x0，求证f（x0）＞﹣3，（参考数据ln6≈1.79）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）问题转化为2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1＜0对任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，得到关于x1的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出f（x0）的解析式，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，根据函数的单调性求出h（m）的取值范围，从而求出f（x0）的范围，证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，故函数f（x）在[ln2，+∞）递增；（Ⅱ）∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，∴2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1＜0对任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，当2（x1﹣1）=0时，g（m）=0＜0不成立，则，解得：x1＞1；（Ⅲ）由题意得f′（x）=ex﹣m，f′（x0）=0，故=m，f（x0）=﹣m（x0+1）+m2=m2﹣mlnm，m＞0，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，h′（m）=m﹣lnm﹣1，h′′（m）=﹣，当0＜m＜2时，h′′（m）＜0，当m＞2时，h′′（m）＞0，故函数h′（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，如图所示：[h′（m）]min=h′（2）=﹣ln2＜0，又当m→0时，h′（m）＞0，m→+∞，h′（m）＞0，故函数h′（m）=0有2个根，记