第四章时等差数列的前n项和公式

1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由

其中三个求另外两个.学习目标随堂演练课时对点练一、等差数列前n项和公式的推导二、等差数列中与前n项和有关的基本运算三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列内容索引一、等差数列前n项和公式的推导问题1

如图，从第1行到第n行一共有多少个点？提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝

，可见，结果与项数的奇偶无关.方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.问题3

对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.提示倒序相加法知识梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝_________Sn＝______________注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.二、等差数列中与前n项和有关的基本运算例1在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝

结合使用.跟踪训练1

在等差数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；解设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.(2)a3＋a15＝40，求S17；解得n＝15.三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列问题4

等差数列前n项和Sn＝na1＋

d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？例2

若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.解当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列.跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.解当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.又a1＝1不满足an＝2n，∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.(3)验证a1与an的关系：①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，②若a1不适合an，则an＝1.知识清单：(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.课堂小结随堂演练12341.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于解析∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，√12342.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√12343.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为而a3＝4，所以a1＝0，12344.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝_____________.－2n＋2(n∈N*)解析当n＝1时，a1＝S1＝－1＋