理论力学教学材料点的复合运动

理论力学教学材料点的复合运动第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一前一章我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。

为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。运动学第五章点的复合运动（或称点的合成运动）2第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一§5-1绝对运动、相对运动、牵连运动

一．坐标系：

1.静坐标系（静系）：固结于地面上的坐标系。

2.动坐标系（动系）：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。运动学铅直下降3第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一三．三种运动、速度、加速度。

１．绝对运动：动点相对于静系的运动。

２．相对运动：动点相对于动系的运动。例如：M点相对于飞机机身的运动。

３．牵连运动：动系相对于静系的运动例如：直升飞机相对于地面的运动。

动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度牵连点：在某瞬时，动系上与动点相重合的点。点的运动刚体的运动运动学二．动点：所研究的点（运动着的点）。②不是随便一点，而是在该瞬时动系上与动点重合的那一点。注意：①是动系上某点的速度、加速度；4第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一下面举例说明以上各概念：运动学动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上四．动点、动系的选择原则：（1）动点相对动系要有运动（即动点、动系不能在一个物体上）（2）动点相对运动轨迹要明显（3）动系的运动要简单（已知或可求）一般：动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点、销钉、滑块、套筒等机构的连接点。特殊情况为圆心。5第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线6第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学绝对速度：相对速度：牵连速度：7第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期一绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：运动学8第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期一动点：圆盘上的销钉A动系：摆杆O'A静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动运动学动点：A1（在O'A1

摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动9第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期一

若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)

A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。运动学10第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期一§5-２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。运动学t→t+△tM

→M′也可看成：M→M1

→M′M1M′MM′—绝对轨迹—相对轨迹MM′M1M′—绝对位移—相对位移MM1

—牵连位移11第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学＝＋由图：将两边同除以△t，并取△t→0时的极限：12第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。13第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一①点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。②在速度平行四边形中，一定夹在与之间。运动学③无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。[*例1]

桥式吊车已知：小车水平运行，速度为v1，物块A相对小车垂直上升的速度为v2。求物块A的运行速度。14第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为由速度合成定理：解：选取动点:物块A

动系:小车

静系:地面相对运动:直线;相对速度vr=v2方向牵连运动:平动;牵连速度ve=v1方向绝对运动:曲线;绝对速度va

的大小,方向待求15第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学解题步骤：（1）选取动点、动系动系可以用文字说明（如本题），也可以在所选物体上画出x′o′y′，静系可以不叙述。（2）分析三种运动（3）分析三种速度（4）由作速度平行四边形注意：要位于与之间（5）由速度平行四边形求解16第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一（）运动学[例2]

曲柄摆杆机构已知：OA=r,,OO1=l图示瞬时OAOO1

求：摆杆O1B角速度1由速度合成定理作出速度平行四边形如图示。解：动点：套筒A，动系：固结在摆杆O1B上。绝对速度va

=r

方向

OA与ω一致相对速度vr

=?方位：O1B牵连速度ve

=?方位O1B17第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期一由速度合成定理，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，

静系固结于基座。（翻页请看动画）

运动学[*例3]

圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,（匀角速度）图示瞬时,OCCA

且

O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。绝对速度va

=?待求，方位AB相对速度

vr

=?未知，方位CA牵连速度ve=OA=2e,方向

OA如图18第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学19第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期一

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。运动学[*例４]

已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。20第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期一解:取凸轮上C点为动点,

动系固结于OA杆上,

静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:如图示。根据速度合成定理作出速度平行四边形（）运动学21第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一§5-3点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理对t求导：运动学设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理22第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）运动学—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。∴一般式可写为：23第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一解：取杆AB上的A点为动点，

动系固连在凸轮上。运动学[例5]

已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。请看动画24第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学由作速度平行四边形如图示：（1）求：va=?,方位：AB

；：ve=v0,方向：→。：vr

=?,方位CA;

25第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学（2）求：aa=?,方位：AB，指向：假设arτ

=?方位CA方向：A→C：ae=a0,方向：→指向：假设注意：不同于速度，加速度的指向一般为假设加速度图要与速度图分开画26第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学因牵连运动为平动，故有将上式向n轴投影，得得[注意]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同n27第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期一上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。运动学二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时有何不同？28第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期一相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出运动学选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点29第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学分析上式： 还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？2vr又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。2.牵连运动为转动时的加速度合成定理30第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学2.牵连运动为转动时的加速度合成定理(1)动系：O’x’y’z’；静系：Oxyz，动系以ω、ε绕z轴转动，动点M相对于动系沿AB运动。①动点的相对速度及相对加速度②动系绕z轴转动，动系上与动点重合的点的速度、加速度即牵连速度、牵连加速度：由公式（4-2-13）（4-2-14）31第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学(2)由速度合成定理得——（*）是牵连速度受相对运动的影响而对时间的变化率32第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学是矢端的速度，所以可以看成是矢径的端点速度，由于随同动系绕z轴转动，因此端点的速度可按式（4-2-13）得33第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学是相对速度受牵连运动的影响而对时间的变化率于是，由（*）：34第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式3.科氏加速度这是由于牵连运动为转动时，牵连运动会改变相对速度的方向而引起相对速度的变化，相对运动会改变牵连点而引起牵连速度的变化。——牵连运动（即动系）的角速度35第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学大小：方向：按右手法则确定4.存在的实例在北半球,沿经线(南北)流动的河流的右岸易被冲刷(如苏联的伏尔加河),铁路的右轨磨损厉害，在南半球则相反。对于平面机构：aC=2ωvr

，方向：将绕动系ω方向转900即得36第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一解:动点:AB杆上A点；动系:凸轮;静系:地面。（1）求vAB

运动学[例6]

已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。：va=?,方位：AB：ve=r，方向OA，

：vr=?方向n37第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学根据作出速度平行四边形（2）求aAB指向：假设38第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向n轴投影：39第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学

[练习]

矩形板ABCD以匀角速度绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为和，计算点M1、

M2的科氏加速度大小,并图示方向。点M2的科氏加速度解：点M1的科氏加速度垂直板面向里。40第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期一解：根据做出速度平行四边形方向：与相同。运动学[练习]

曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,,,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。41第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学点的合成运动习题课一．概念及公式

1.一点、二系、三运动

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时42第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学二．解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,

角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。43第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学

二．解题技巧

1.恰当地选择动点.动系和静系,应满足选择原则.，具体地有：

两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。

运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。

机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,

相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。

44第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学

特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化.此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2.速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。45第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一

四．注意问题

1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。

2.牵连转动时作加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。

3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。

4.圆周运动时，非圆周运动时，(r

为曲率半径)运动学46第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一已知:OA＝l,，w,e;求：=45o

时小车的速度与加速度．解：动点：套筒A;动系：固结在滑杆上（平动）;静系：固结在机架上。

绝对运动：圆周运动，

相对运动：直线运动，

牵连运动：平动；[*例1]曲柄滑杆机构请看动画运动学47第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期一小车的速度：

根据速度合成定理 作出速度平行四边形,如图示将上式向x轴投影：，方向如图示小车的加速度：根据牵连平动的加速度合成定理作出速度矢量图如图示。运动学48第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期一[*例2]摇杆机构,已知h，θ，BC的，求:OA杆的

,。解：动点:BC上的销钉D;动系:固结于OA。

绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，，沿OA线 牵连运动：定轴转动，（）（1）求w：根据作出速度平行四边形,如图示。运动学49第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学——（*）将（*）式向轴投影：（）（2）求e由牵连运动为转动的加速度合成定理50第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期一[*例3]曲柄滑块机构，解（1）以O1A、BCD对象，动点:O1A上A点;动系:BCD。

绝对运动：圆周运动;

相对运动：直线运动;

牵连运动：平动;

，水平方向运动学已知：

h;

图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2。51第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期一根据 作出速度平行四边形（2）以BCD、O2E为对象动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，根据 作出速度平行四边形）（运动学52第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期一解:取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上，

绝对运动:直线运动，相对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动，已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;已知;求:该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析:由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。[例4]凸轮机构方位请看动画运动学53第五十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期一）(作出速度平行四边形,知根据作出加速度矢量图投影至轴：转向由上式符号决定，>0则，<0则运动学根据54第五十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期一（请看动画）[例5]刨床机构已知:主动轮O转速n=30r/minOA=150mm,图示瞬时,OAOO1求:O1D杆的

1、1

和滑块B的。运动学55第五十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期一运动学其中）(解（1）轮O、O1D为研究对象动点：轮O上A点，动系：O1D根据作速度平行四边形。56第五十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期一作加速度矢量图）