电磁场与电磁波第三章

电磁场与电磁波第三章第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一1.

DifferentialEquationsforElectricPotential

TherelationshipbetweentheelectricpotentialandtheelectricfieldintensityEisTakingthedivergenceoperationforbothsidesoftheaboveequationgivesInalinear,homogeneous,andisotropicmedium,thedivergenceoftheelectricfieldintensityEis第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一ThedifferentialequationfortheelectricpotentialiswhichiscalledPoisson’sequation.Inasource-freeregion,andtheaboveequationbecomeswhichiscalledLaplace’sequation.

1.

DifferentialEquationsforElectricPotential

第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一1.电位微分方程已知电位

与电场强度E

的关系为

对上式两边取散度，得

对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为

那么，电位满足的微分方程式为

泊松方程

第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一拉普拉斯方程对于无源区，，上式变为1.电位微分方程第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。Forelectrostaticfieldswithconductorsasboundaries,thefieldmaybegivenuniquelywhentheelectricpotential,itsnormalderivative,orthechargesisgivenontheconductingboundaries.Thatistheuniquenesstheoremforsolutionstoproblemsonelectrostaticfields.

Uniquenessofsolutionofdifferentialequationsforelectricpotential(静电场唯一性定理)第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

静电场的边值问题——

根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用格林函数，可以求解泊松方程（了解）。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。（了解）求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。小结第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一3.MethodofImage

Essence:Theeffectoftheboundaryisreplacedbyoneorseveralequivalentcharges,andtheoriginalinhomogeneousregionwithaboundarybecomesaninfinitehomogeneousspace.

Basis：Theprincipleofuniqueness.Therefore,thesechargesshouldnotchangetheoriginalboundaryconditions.Theseequivalentchargesareattheimagepositionsoftheoriginalcharges,andarecalledimagecharges,andthismethodiscalledthemethodofimages.

Key：Todeterminethevaluesandthepositionsoftheimagecharges.

Restriction：Theseimagechargesmaybedeterminedonlyforsomespecialboundariesandchargeswithcertaindistributions.第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一3.镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

3.镜像法

第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一（点电荷与无限大的导体平面)

介质

导体

qrP

介质qrPhh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零（为什么？）（1）Apointelectricchargeandaninfiniteconductingplane

导体是等位体，分布在有限区域的电荷在无限远处产生的电位为0；第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

其产生的电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线z第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一*根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

介质

导体

qrP

介质qrPhh

介质

第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一q

对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入

5

个镜像电荷。

/3/3q第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。

仅当这种导体劈的夹角等于

的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为什么？ll–l第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一（点电荷与导体球)

若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q

位于球心与点电荷q的连线上，那么球面上任一点电位为

为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为qfOPadrqr（2）Apointchargeandaconductingsphere第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。

若△OPq~△

OqP

，则镜像电荷离球心的距离d应为

求得镜像电荷为qfOPadrqr第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

若导体球不接地，则其电位不为零。q

的位置和量值应该如何?

由q

及q

在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q

以产生一定的电位。q第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一以保证导体球表面上总电荷量为零值。

为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q

必须位于球心。

为了满足电荷守恒定律，第二个镜像电荷q

必须为导体球的电位?qq"q'第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一l（线电荷与带电的导体圆柱）

在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像线电荷

。因此，离线电荷r

处，以为参考点的电位为

Pafdr–lO已知无限长线电荷产生的电场强度为，（3）Alinechargeandachargedconductingcylinder

第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值与前同理，可令lPafdr–lO第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

（点电荷与无限大的介质平面）

E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+

对于上半空间，可用镜像电荷q'等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。

对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"

等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2

的均匀空间。

（4）Apointchargeandaninfinitedielectricplane.

第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即

已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一