2024届浙江省衢州五校数学高二上期末经典模拟试题含解析

2024届浙江省衢州五校数学高二上期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)2．若抛物线焦点坐标为，则的值为A. B.C.8 D.43．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.4．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()A. B.C. D.5．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（）A.1 B.C.1或 D.26．若（为虚数单位），则复数在复平面内的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．已知函数在处的导数为，则（）A. B.C. D.8．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.9．在等比数列中，，则的公比为（）A. B.C. D.10．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．容积为V圆柱形密封金属饮料罐，它的高与底面半径比值为___________时用料最省.14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________15．若直线与直线平行，则实数m的值为____________16．写出直线一个方向向量______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围18．（12分）已知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.19．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、.规划要求，线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.20．（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.21．（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为，，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围22．（10分）设命题，，命题，.若p、q都为真命题，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【题目详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.2、A【解题分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得的值.【题目详解】抛物线的标准方程为，因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简单题目.3、C【解题分析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.【题目详解】设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前10项和：.故选：C.4、D【解题分析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.【题目详解】∵双曲线，∴，又，∴，∵离心率为，∴，解得，∴双曲线方程.故选：D.5、A【解题分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【题目详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆焦点在轴上，依题意得解得.故选：A6、A【解题分析】根据复数运算法则求出z＝a＋bi形式，根据复数的几何意义即可求解.【题目详解】，z对应的点在第一象限.故选：A7、C【解题分析】利用导数的定义即可求出【题目详解】故选：C8、B【解题分析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.【题目详解】逻辑联结词“且”，一假则假.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.所以，为假，故A错误；为真，故B正确；为假，故C错误；为假，故D错误.故选：B9、D【解题分析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.【题目详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，因，所以，所以,故选：D.10、C【解题分析】对于A,可能在内，故可判断A；对于B,可能相交，故可判断B;对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.【题目详解】对于A,除了外，还有可能在内，故可判断A错误；对于B,，那么可能相交，故可判断B错误；对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于，所以，故判定C正确;对于D，，，则和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，故选：C.11、C【解题分析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【题目详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.12、B【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【题目详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，由，得到，进而求得表面积，结合不等式，即可求解.【题目详解】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，则，即有，可得圆柱的表面积为，当且仅当时，即时最小，即用料最省，此时，可得.故答案为：.14、【解题分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案【题目详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，故该密码被成功破译的概率故答案为：15、【解题分析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可【题目详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得故答案为：16、【解题分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【题目详解】由题意可知，直线可以化为，所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值（2）【解题分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【小问1详解】当时，，定义域为，当时，，单调递增；当时，，单调递减∴当时，取得极大值﹣1所以在上单调递增，在上单调递减极大值为﹣1，无极小值【小问2详解】由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为18、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案.（2）设，，直接联立方程得，再结合韦达定理，利用弦长公式和点到线的距离公式得，点M到直线的距离，进而可得.【题目详解】解：（1）由题意得，，结合，解得所以椭圆的方程为：.（2）由得即，经验证.设，.所以，，故因为点M到直线的距离，所以.【题目点拨】本题考查直线与椭圆位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.19、（1）15（百米）（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【解题分析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.【小问1详解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.因为，，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，，直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.令，得，，所以.因此道路的长为15（百米）.【小问2详解】若点选在处，连结，可求出点，又，所以线段.由解得或，故不妨取，得到在线段上的点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.20、（1）；（2）最大值为.【解题分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【题目详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为设直线的斜率为k，则令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为[方法四]参数+基本不等式法由题可设因，所以于是，所以则直线的斜率为当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.21、（1）；（2）或或.【解题分析】（1）根据已知条件，求得的方程组，解得，即可求得椭圆的方程；（2）对的取值进行分类讨论，当时，根据三点共线求得，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合直线交椭圆两点，代值计算即可求得结果.【小问1详解】对椭圆，令，故可得，则，故，则，又，，故可得，则椭圆的方程为：.【小问2详解】直线与y轴交于点P，故可得的坐标为，当时，则，由椭圆的对称性可知：，故满足题意；当时，因为三点共线，若存在实数，使得，即，则，故可得.又直线与椭圆交于两点，故联立直线方程，与椭圆方程，可得：，则，即；设坐标为，则，又，即，故可得：，即，也即，代入韦达定理整理得：，即，当时，上式不成立，故可得，又，则，整理得：，解得，即或.综上所述：的取值范围是或或.【题目点拨】本题考