微积分ii高中喜老师

一、正项级数及其审敛法定义:¥¥如果级数

un中各项均有un

‡0n=1这种级数称为正项级数.1.定理：正项级数un收敛的充分必要条件n=1是它的部分和数列{Sn

}有上界.¥即

un

(un

‡

0)收敛n=1部分和Sn£

M

.§4.2常数项级数的判别法¥证 因为

un是正项级数，

所以un

‡

0(n

=

1,

2,),n=1则{Sn

}单调不减，即S1

£

S2

£

S3

£

£

Sn

£.¥nfi

¥n=1必要性:

若级数

un收敛,

则lim

Sn

存在,记为lim

Sn

=

S

.nfi

¥由极限与数列有界的关系知：数列{Sn

}必有界.充分性:如果数列{Sn

}有上界,nlim

S

存在.nfi

¥由单调增加且有上界的数列必有极限可知,¥n=1

n

正项级数u

收敛.¥注：正项级数

un发散的充分必要条件是n=1nfi

¥它的部分和Sn满足lim

Sn

=

+¥

.证明¥(1)

设s

=vn

un

£

vn

,即部分和数列有界¥\

un收敛.n=1¥

¥设

un和vn均为正项级数2.

比较判别法n=1且

Sn

=

u1

+

u2

+

+

un

£

v1

+

v2

+

+

vn

£

s

,n=1

n=1¥

¥且un

£

vn

(n

=1,2,)，若vn收敛，则

un收敛n=1

n=1¥

¥反之，若

un发散，则vn发散.n=1

n=1¥

)

且un

£

vn

,(2)

设Sn

fi+¥

(n

fi则sn

‡Snfi

+¥¥n=1\vn发散.定理证毕.¥¥推论：若

un收敛(发散)，且vn

£

kun

(kun

£

vn

)n=1(n

‡N, k

>0)，则vn收敛(发散).n=12

sin3nnp¥n=1例1

判别的敛散性.3nnp解

2

sin2

sin3nnp¥n=1‡

0,

\为正项级数,np3n且

u

=

2n

sin2

q

= <

132

sin3nnp¥n=1由比较判别法知级数收敛.3np

2

n£

2n

=

3

p

(n

=

1,

2,),2ni

=1¥\级数(

)p收敛3解nnp

1

‡

1

,oyx

1

y

=

(p

>

1)x

p1

2

3

4设P

>1,由图可知nxn-11

<

dxnP

P1

11Sn

=

1

+

2P

+

3P

+

+

nPnP2

dxdxx

Pxn-1£

1

+

1+

+例2

讨论P

-级数(P

>02P

3P

4P设P

£

1,nP则P

-级数发散.1

+1

+1

+1

+

+1

+的敛散性.1ndxx

P=

1

+11nP

-1=

1

+

(1

-P

-

11)

<

1

+P

-

1即Sn有界,P¥n=1=

则P

-级数收敛.当P

>1时,收敛;1P-级数n

当P

£

1时,发散.重要参考级数:

几何级数, P

-级数,

调和级数.记住此结论证明11,>n

+

1n(n

+

1)1¥n=1而级数发散,n

+

11¥n(n

+

1)\级数n=1发散.1¥n(n

+

1)例3

证明级数n=1发散.un¥

¥nfi

¥

vnn=1

n=1=

l3.比较判别法的极限形式:设

un与vn都是正项级数，若lim¥

¥则(1

当0

<l

<+¥

时，二级数有相同的敛散性.(2)当l

=0时，若vn收敛，则

un收敛.n=1

n=1¥

¥(3)当l

=+¥

时，若vn发散，则

un发散.n=1

n=1nfi

¥

vn证明

(1)

由lim

un

=

l2对于e

=

l

>

0,$N,

当n

>N时,nl

unll

-

< <

l

+2

v

22

2n

n

nl

v

<

3l

v<

u

(n

>

N

)即由比较判别法的推论,得证.解(1sin

1nfi

¥

1n

lim

n

=

1,原级数发散.例4

判定下列级数的敛散性:(

)(

)1112nsin

,.n¥¥n=1n=13

-

n13nnfi

¥

1(213n

lim

3n

-

n

=

limnfi

¥

1

-

n=

1,13n¥n=1且收敛,故原级数收敛.证明当r为数时,对"e

>0,unun+1

-

r

<

e,$N,

当n

>N时,有un即

r

-

e

<

un+1

<

r

+

e

(n

>

N

)4.

比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：un¥un+1nfi

¥n=1设

un是正项级数，如果lim=r

(r为数或+¥

)则r

<1时级数收敛；r

>1时级数发散；r

=1时失效.当r

<

1时,

取e

<

1

-

r

,使r

=e

+r

<1,u,N

+mN

+1<

rm-1uuN

+2

<

ruN

+1

,2uN

+3

<

ruN

+2

<

r uN

+1

,

,¥m-1而级数

ruN

+1收敛,¥¥m=1

n=N

+1\

uN

+m

=

uu收敛,m=1收敛当r

>

1时,

取e

<

r

-

1,使r

=r

-e

>1,当n

>N时,un+1>

run

>

un

,nfi

¥lim

un

„0.

发散1¥n=1例级数发散(r

=

1)2n1

n¥n=1级数收敛.2.

条件是充分的,而非必要.注1.

当r

=1时比值审敛法失效;解(11unn!

un+1

=

(n

+

1)!

=

1n

+

1fi

0 (n

fi

¥

),1n!¥n=1故级数收敛.例5

判别下列级数的收敛性:(

)11n!¥n=1(

)210nn!¥n=11(

)13¥n=1(2n

-

1)

2nfi

¥

(n

fi

¥

),nuun!10n+1(n

+

1)!

10n

n+1

=10n

+

1=10nn!¥n=1故级数发散.(

)210nn!¥n=1解(2n

-

1)

2n

1

<

1

,

1

n2¥n=1级数收敛,n21¥2n

(2n

-

1)n=1故级数收敛.解(

)13¥n=1(2n

-

1)

2n1=

n

nn

n

un1=

n

fi

0 (n

fi

¥

)级数收敛.5.

根值审敛法(柯西判别法)：¥nfi

¥n=1设

un是正项级数，如果lim

n

un=r

(r为数或+¥

)则r

<1时级数收敛；r

>1时级数发散；r

=1时失效.1nn¥n=1例如级数例6 讨论下列级数的敛散性:(

)1¥an

n(a

>

0);n

+

1n=1

nfi

¥an

nr

=

lim

n

n

+

1

\

a

<1时,解an=

lim=

a,nfi

¥

n

+

1¥an

nn

+

1n=1

级数收敛;a

>1时,¥an

nn

+

1n=1

级数发散;,n¥nn

+

1n=1

a

=1时,级数为nnfi

¥nnfi

¥

n+

1

lim

un

=

lim1=

lim1nnfi

¥

1

+

n

=

1

„

0,n¥nn

+

1n=1

e\

a

=1时，级数发散.不满足级数收敛的必要条件,(

)2na¥

b

n

n=1

n

,其中a

fi

a

(n

fi

¥

),an

、a、b

>

0,且a

„b.,a

b

nn

n

解

u

=nfi

¥

annfi

¥

nfi

¥

b

n\

r

=

lim

n

un

=

lim

n

an

a=

lim

b

=

b

.aaba¥¥

b

b

n

n=1

n

r

=

b

b

n

a

>

1,n=1

n

<1,

即a

>b时，a收敛;即a

<b时，发散.例7 判断级数敛散性:解11)nnnnnnun

=(n

+11)nnn,n2=(1

+;1n)nnnn+

1¥n=1

(n

+(1)

1n2

n2nfi

¥

nfi

¥

lim(1

+

1

)n

=

lim[(1

+

1

)n2

]n

=

e0

=

1;1

11exp{

limlnx}xfi

¥

xlim

nn

=

lim

x

x

=nfi

¥

xfi

¥xfi

¥

x=

exp{

lim

1

}

=

e0

=

1;nfi

¥\

lim

un

=

1

„

0,根据级数收敛的必要条件，原级数发散．

3

;2nncos2

np¥(2)

n=1解n2nuncos2

np2nn,令

vn

=2nnvvn2n+1nfi

+¥nfi

+¥

lim

n+1

=

lim2nn

+

1=

limnfi

+¥12=<

1,2nn¥\n=1收敛,

根据比较判别法，

原级数收敛．2nn

+

1=

3

<n ,1)nn¥ln(n

+

2)(a

>

0).n=1

(a

+(3)

n解

lim

unnfi

+¥n

ln(n

+

2)=

limnfi

+¥a

+

11nnfi

+¥=

a

limln(n

+

2)

,

n

‡

2

时, n

+

2

<

en

,n\

1

<

n

ln(n

+

2)

<

n

n

,

lim

n

n

=

1,nfi

+¥lim

n

ln(n

+

2)

=

1,nfi

+¥nanfi

+¥lim

n

u

=

1

.当

0

<

a

<

1

即

1

>

1

时,原级数发散；当

a

=

1

时,ln(n

+

2)

,n=1

(1

+

1

)na¥原级数为nnfi

+¥

(1

+

1

)n

lim

ln(n

+

2)

=

+¥

,n原级数也发散．1当a>1时，即0<<1原级数收敛.a二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nn¥

¥n-1

nn=1

n=1(

-

1)

u

(-1)

u

或n(其中u

>

0)nfi

¥(1 lim

un

=

0则级数收敛,

且其和

S

£

u1

,rn

£

un+1

.(n

=

1,2,3,)其余项rn

的绝对值莱布尼茨定理un

满足条件:¥n-1n=1(2

un

‡

un+1如果(-1)证明

un-1

-

un

‡

0,且

S2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)\数列S2n是单调增加的,

S2n

=

u1

-

(u2

-

u3

)

-

-

(u2n-2

-

u2n-1

)

-

u2n£

u1\

数列S2n是有界的

,

lim

S2n

=

S

£

u1

.nfi

¥(

)\级数收敛于和S,且S

£

u1

.nn

n+1n+21

(u

-

u+),余项

r

=

-\

rn

£

un+1

.rn

=

un+1

-

un+2

+

,满足收敛的两个条件,定理证毕.nfi

¥\

lim

S2n+1

=

lim(S2n

+

u2n+1

)

=

S

,nfi

¥

nfi

¥

lim

u2n+1

=

0,1

13

4¥n-1

1

1n=1n

=

1

-

2

+-

+例8 判别级数(-1)的敛散性,并估计误差.¥n-1

1n=1(-1)解为交错级数,n1;n

n+1n n

+

1nnfi

¥nfi

¥

n

lim

u

=

lim

1

=

0,

u

=

1

‡

u

=¥n-1

1n=1\

(-1)满足莱布尼兹收敛定理条件,n原级数收敛,1n

+

1且

rn

£

un+1

=解-(1

+

x)x

-

12

x

(x

-

1)2

(

x

)¢=<

0 (x

‡

2)x

-

1故函数nn+1x

单调递减,

\

u

>

u

,nnnfi

¥lim

u

=

limnfi

¥

n

-

1=

0.原级数收敛.¥(-1)n

nn

-

1例9判别级数n=2的敛散性.¥n2

+

a2

)sin(pn2

+

a2

)n=1解：因为sin(p.npa2¥¥n2

+

a2

+

nn2

+

a2

)

=

(-1)

sinn=1所以sin(pn=1(p

+n

+

a

-

n

p2

2=

sin

nnp

a2n2

+

a2

+

n=

(-1)

sin,pa2pn2

+

a2

+

n当n

fi

¥

时，0<<2p而正弦函数sinx在[0,]是单调增大函数2所以又莱布尼兹判别法易知级数收敛。证明2n

nn令

v

=

1

(u

+

u

) (n

=

1,2,),显然

vn

‡

0,

且

vn

£

un

,¥¥

¥又

un

=

(2vn

-

un

),n=1

n=1三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.¥

¥定理 若

un

收敛，则

un收敛.n=1

n=1¥\vn