北理上课课件工程力学122c10c

北京理工大学理学院力学系 韩斌工程力学（A）(12-2)24/III2xyz§10.6应变分析1.

某点处（单元体的）变形的描述——应变一点的变形有正应变(线应变)和切应变(剪应变)1)正应变——某方向的线段单位长度的改变量：2)切应变——沿2个正交方向的线段构成的直角的角度改变量：le

=

Dley

ez在直角坐标下，可有沿3个坐标轴方向的正应变：ex2g

=

j

-

p故在直角坐标下，两两正交方向的切应变有3个：单位：弧度（无量纲）xyxxyg

=

g记为fi

gyzyyzg=

g记为fi

gzxzzxg

=

g记为fi

g3xz

xyxezggyz

eygyx

ee

=

zx

2

gzy12

1

2

121221

g

1

g~xyz某点处（某点的单元体上）全体应变（正应变和切应变）——构成该点单元体上的一个二阶对称应变张量可写为：4在x，y

坐标下Du

=

ex

DxDv

=

ey

Dy2.平面内的应变状态(与平面应力状态所对应)xyysytyxs

xts

y单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量xtxsxyys

x

,

st

t

xxyDuDxDyDvDuDu

=

gx

Dyj2g

=

j

-

pxex

，ey某点各个方位上应变的描述称为该点的应变状态在x，y

坐标下，x方向到x方向夹角a

：xDxDuyDv

xyax5yyx正应变和切应变，x¢=

e即ea，ga

=gx¢y¢

分别为该点沿a方向的ea

fi

sagfi

ta

a2与平面应力状态的分析类似，若作变量代换，令：二向应力状态的斜面应力公式：acos

222xyxx

ya

-t

sin

2as

-ss

+ss

=

+a2xysin 2a

+

t

cos

2as

x

-

st

=(10.31)书上(10.30)gasin

2a2

2

2xx

y

x

y+

cos

2a

-e

+e

e

-ee

=ga2ex

-ey

g=

sin

2a

+

x

cos

2a2

2二向应力对应的应变分析公式：6(10.64)书上(10.63)22

2

+

x

=

x

y

–

x

y

g

2e

+e

e

-e

2e¢e¢gx7ex

-ey0主应变方向：tan

2a

=-类似，也可求出该点的主应变，主应变方向可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变

e1

‡

e2

‡

e3

的方向是重合的。可用于实验测定一点处的应变状态ex

,ey

,gx11222sin

2aga1xcos

2a

-ex

-eyex

+eye

=

+2222ga

2y

cos

2a

-

x

sin

2ax y

+

xe

+e

e

-ee

=3

32

2

2a2ga

3xx

y

x

ya

-

sin

2e

+e

e

-ee

=

+

cos

2e450ee9045°45°直角应变花0ee120e60等角应变花8应变分析公式的应用实例：实验装置——应变花：3个应变片沿一定角度组合起来单向胡克定律s

=

Ee比例系数E称为材料的弹性模量e-

e比例系数n称为泊松比e

=

-ne20

<n

<

1s

0s

0横向应变e¢=n纵向应变eee¢91§11.7

应力应变关系1.单向应力状态在线弹性、小变形范围内：剪切胡克定律G——切变模量可证明E2(1+n

)G

=2.纯剪应力状态10在线弹性、小变形范围内：t

=Gg11Exxse

=xyse

=

-nExzEse

=

-n3.广义胡克定律（适用于任意的三向应力状态）s

zs

yxsxtyyse

=Eyxse

=

-nyzsEe

=

-n只有

s

x

作用时

只有s

y

作用时 只有

s

z

作用时Ezxse

=

-nEzyse

=

-nEzzse

=只有tx,ty作用时:Gxxtg

=xsxsysEs

yzss

z广义胡克定律GEx

y

zxsijgij

=ez

=

[s

z

-n

(s

x

+s

y

)]ey

=

[s

y

-n(s

z

+s

x

)][s

-n

(s

+s

)]e

=E1E11故某点为任意应力状态时应满足：xs

xy12xzss

xxyyyss

yxzysyzs

zzszs

zx书上P274—(10.71)~(10.76)xytxysytxstyxts

yxs特别对于平面应力状态：仅有s

x

,s

y

,tx

三个应力分量，其余应力分量为零，故由广义胡克定律：yxzzxzyy

zx

xE+s

)]ey

=-n

(s[s

-n(s

+s

)-n

(se

=

1

[sE

1Ee

=

1

[s

+s

)]Gijijtg

=且有：nez

=

-

E

(s

x

+s

y

)即平面应力状态会产生z方向的正应变—使板的厚度发生变化yxxE]ey

=

E

s

y

-ns

x

]1

[e

=

1

[s

-nsGxtgx

=13对主单元体，广义胡克定律为：2

31

1e

=

1

[s

-n(s

+s

)]E2

3

12+s

)]-n(se

=

1

[sE1[s

3

-n(s1

+s

2

)]e3

=Es

3主轴314主轴2s

2s1主轴1书上P274—(10.77)~(10.79)已知一构件表面一点的应变：40-e

=12

·1090e

=

-6

·10-445e

=

-1.5

·10-4E

=

200GPan

=

0.3求该点的主应力和最大切应力。e45e0e90例题515§10

应力应变分析与应力应变关系

例题2

2

245则eex

+ey

ex

-ey

g=

+

cos

90

-x

sin

90=

(12

-6

-

2·(-1.5))·10-4

=

9·10-4gx

=

ex

+ey

-

2e45Egxtx

=

Ggx

=2(1+n

)2·1.3200·103=·9·10-4

=

69.2MPas

ys

xxt例题5§10

应力应变分析与应力应变关系

例题ey

=

e90解： 设

ex

=

e0e45e0e90x16yx

yxEe

=

1

(s

-nsxyyE-ns

)e

=

1

(s整理后=

224.2MPa1-n

2xEex

+nEes

=

y=

-52.7MPa1-n

2yEey

+nEes

=

x-

69.1=

85.7

–154.8

=

240.5

MPa138.52

+

69.22s

¢s

=

85.7

–例题5§10

应力应变分析与应力应变关系

例题s1

=

240.5MPas

2

=

0s

3

=

-69.1MPa=154.8MPamax217=

s1

-s

3t平面应力状态下的广义胡克定律181

3-45Ee

=

1

(s

-ns

)=

1

(t

+nt)E\

t

=-451+nEe

例题6§10

应力应变分析与应力应变关系

例题由该点主方向上的广义胡克定律：yxt-

45t应变是e-45

，已知

E,n，求

。某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与x轴夹角为-

45

方向上的正解：由于纯剪切的主方向为与x轴夹角±45º方向，主应力为s1

=t,

s

2

=

0,

s

3

=

-txye-45的单元体,受应力作用变形。V

+DV

=

a

+Da)b

+Db)c

+Dc)=

abc

1

+

e1

)1

+

e2

)1

+

e3

)=

abc

1

+

e1

+

e2

+

e3

)acb3ss

2s1Da

=

e1a

Db

=

e2b变形后的体积：Dc

=

e3c4.体积变形取一体积为V

=abc各边长的改变量为：V

V1

2

3单位体积的改变量

q

=

V

+

DV

-V

=

e

+

e

+

e

=

DV1

2

31+

s

2

+

s

3

)E代入广义胡克定律19体积应变q

=e

+e

+e

=1

-2n

(s3213令

s

=

1

(s

+

sm+s

)称为该点应力的平均应力设E3(1

-

2n

)K

=称为体变模量1

2

31+

s

2

+

s

3

)q

=

e

+

e

+

e

=

1

-

2n

(sE对非主单元体由于切应变不改变单元体的体积，上式仍成立。则sm

=

Kqq

=

sm

K或体积应变定律此时q

=

ex

+

ey

+

ez320ms=

s

x

+

s

y

+

s

z212(1

+n

)E证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系G

=证明：取一纯剪单元体(正方形)例题7

例题D

=

gDxe-452Dx

2DxBD=

BD¢-

BD

=

D

cos

45

=

D

=

gEe

=

E1

(s3-45t

=

Gg

t=2Gcos

45e-452(1+n

)1+n1

-ns

)=

tE则G

=t非零主应力分别为：t，-t

，主方向为±45º方向ABtCDD’tDDx§10

应力应变分析与应力应变关系

*xytxs

ytyx22styxts

yxs关于第10章基本概念的几点注意：1.关于一点处的单元体及单元体三对表面上的应力单元体每对表面的物理意义是该点沿某个方位截面切开后的左右两个内部截面——这两个内部截面上的内力是作用力与反作用力。2.关于某点的应力状态及主应力和主方向