大一高数期末考试题

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题

4分，共16分)

设/'(x)=cosx(x+|sinx|),贝在x=0处有().D

(A)八°)=2(B)r(°)=i(C)r(°)=°(D)

/(x)不可导.

设a(x)=^~,尸(x)=3-3匹，贝(J当xf1时()八

1+x.A

(A)a(x)与£(x)是同阶无穷小，但不是等价

无穷小；(B)a(x)与夕(%)是等价无穷小；

(C)。⑸是比以X)高阶的无穷小；

(D)以处是比。⑴高阶的无穷小.

若尸(*)=-2—)/«)力，其中/⑴在区间上T1)二阶

可导且，(x)＞。，则(),

(A)函数F3必在尤=。处取得极大值；

(B)函数/⑴必在，=。处取得极小值;

(C)函数小)在“。处没有极值，但点(01(0))为

曲线产内)的拐点；

(D)函数取)在』处没有极值，点(0,F(0))也不

是曲线产飞)的拐点。

设/1(%)是连续函数，且/(x)=x+2[/«)比，贝(]/(x)=()

(A)T(B)T+2(C)1(D)x+2.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

2

lim(l+3x)sinx=

x—>0.

已知上空是/(X)的一个原函数，则[/(X)•七dx=

XJX

4,2422左2〃—1、

lim一(cos——i-cos---1----------Feos----〃)=

〃fgnnnn

Vx2arcsinx+1.

-----/——dx=

37i-x2

2•

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,

共40分）

设函数y=y（"）由方程e"'+sin（"）=1确定，求V（*）以

及

求匕黑亡

设、1_/'（*）=<\xe-~-x,--x<0求4[c/（*）&

V2x-x2,O<x<1*3

站n,、出招g（x）=]/3）由iimZ<£）=A

设函数/（X）连续，o,且一x,A

为常数.求,⑴并讨论小）在*=。处的连续性.

求微分方程盯'+2'=*加工满足>⑴=4的解.

四、解答题（本大题10分）

已知上半平面内一曲线y=j(x)(xNO),过点(时,

且曲线上任一点MOWo)处切线斜率数值上等

于此曲线与,轴、y轴、直线x"，所围成面积

的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题(本大题10分)

过坐标原点作曲线尸心的切线，该切线与

曲线＞=加工及x轴围成平面图形D.

求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转

一周所得旋转体的体积V.

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分,

共8分)

设函数/⑺在［。川上连续且单调递减，证明对

q1

任意的”“1。«0.

兀

设函数小）在［。㈤上连续，且〜⑺八

卜⑺c°s"x=0.证明：在（0㈤内至少存在两个不

同的点心2,使/值）=/怎）=0.（提示：设

X

尸（X）=jf（x）dx

。）

一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4

分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,

共16分）

1COSX2冗兀

/.6./丁）+二7.I.8.I.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,

共40分）

解：方程两边求导

ex+J(l+jr)+cos(xy)(xjz+j)=0

x+y

>(x)_e+ycos(xy)

ex+y+xcos(xy)

X=O,y=0,jr(0)=-l

•u—x1lx6dx-du

2

原式」《一)du

=31^^“=91〃+l

=1(lnlwl-21nlw+ll)+c

12

=-Inlx71——lnll+x7l+C

77

.jJ(x)dx=1°xe-xJx+jy/2x-x2dx

=1xd(-e*)+[2dx

[-xe-x-ex]]+cos2gde(令—]=sin8)

解：由八。）=。，知g（o）=。。

x

LXt=U

g(x)=jf(xt)dt=0

0X(x，0)

X

xf(x)-jf(u)du

g'(x)=---------------------(x^O)

X

jf(u)du

Hm®A

g，(O)=%丁I。2x7

xf(x)-jf(u)du

1吧g，(x)已吧--卞----------=A-y=7,g，(x)在“0处连

续。

dy2

解：石+7加

-(-dx广f-rfr

y=e〃(jeJxInxdx+C)

=—xlnx-—x+Cx~2

39

v(l)=~-,C=0y=-xlnx--x

八9,,39

四、解答题(本大题10分)

解：由已知且，'=20dx+y,

将此方程关于,求导得

特征方程：r~-r-2=0解出特征根：。=-1，G=2.

其通解为

21

代入初始条件，（。）=火。）=1,得C，=3,^=3

2712x

故所求曲线方程为：尸丁十丁

五、解答题（本大题10分）

解：（1）根据题意，先设切点为（EW）,切

线方程：…叫=3…。）

由于切线过原点，解出*。=一从而切线方程

1

为一7

11

则平面图形面积心产3以5一

（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体

积记为VI,则匕=*

曲线y=lnx与X轴及直线X=e所围成的图形

绕直线X=e一周所得旋转体体积为V2

y2

V2=j^r(e-e)dy

0

D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

2

V=Vt-V2=-(5e-12e+3)

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分,

共12分）

夕14<71

^f(x)dx-q^f(x)d=>

证明:00ooq

。1

=(1-^)\fMdx-qJ/(x)J

0q

刍WO,川会€%，1]/(^)>/«2)

4(1—4)/(刍)—4(1—4)/(4)>0

故有:

J/(x)dx”J/(x)d.

00证毕。

证：构造辅助函数：小)=]"辿，。―。其满

足在[0/]上连续，在(0,%)上可导。F'(x)=f(x)9且

F(0)=FU)=0

由题设，有

nnn

0=J/(x)cosxJx=JcosxJF(x)=F(x)cosx|+Jsinx-F(x)dx

000,

n

有/⑴w=",由积分中值定理，存在欠(。，*

使/e)sin"0艮|]/修)=0

综上可知F(0)=F(^)=FU)=0,"(0,〃).在区间[0,目,修,万]

上分别应用罗尔定理，知存在

寸)和”(△%),使/©)=0及尸(昆)=0,即

/©)=/心)=。.高等数学I解答

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中)

(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

当2%时，皿）风）都是无穷小，则当―为时

（D）不一定是无穷小.

(A)网”+及)(B)a，(x)+£?(x)

a2(x)

(C)ln[l+a(x)•伙x)](D)队x)

।

（sinxV-«

极限网嬴d的值是（c）.

(A)1(B)e(C)

(D)产

sinx+e2<,x-1_

(x)=«xxH

ax=0在x=0处连续，则a=

(D).

(A)1(B)0(C)e

(D)-i

设/a）在点…处可导，那么A-»oh

(A).

(A)3/⑷(B)2/⑷

(C)/⑷(D)⑷

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

..ln(x+6r)-lntz.八、1

极限物一—叱①的值是

由exy+yInx=cos2x确定函数y(x),则导函数上

2sin2x+"+ye"

___________X______

xexy+Inx.

直线/过点M(l,2,3)且与两平面x+2y-z=0,2x-3y+5z=6

都平行，则直线/的方程为

x-1y—2z-3

-1—--1-_].

求函数k21n(4犷的单调递增区间为(一

,0)和(L+).

三、解答题(本大题有4小题，每小题8分,

共32分)

..(l+x)*-e

计算极限飕「一

—ln(l+x)-i

(l+x)x-eex-1..ln(1+x)-xe

=elim=ehm----------=——

2

解.期XTOXTOx2

/UT•xx

已知:团=3,⑸=26,屐5=30,求1/引。

cos0=&,sin8=71-cos20--..

1313

解：同W,\axb\=72

设〃x)在®b］上连续，且…卜3„

试求出仆)。

XX

解：""

XX

F'(x)=jf(t)dt+xf(x)-xf(x)=

尸'(x)=/(x)

fCOSX,

-4\x---ax.

'sinx

解：「器》=

=--xsin-2x+—fsin_2xd=-ixsin-2x--cotx+C

22J22

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分,

共32分）

「ax

」*2xy/x2-1

求忑.

=2"户_=arcsinr。?冗

2x

求函数八中的极值与拐点.

解：函数的定义域（一，+）

2

,2(1—x)(l+x)N~~4x(3-%)

y(i+x2)2y(i+x2)3

令y=o得x1=1,x2=-1

),〃⑴<0x1=1是极大值点，y"(T)>0x2=」是

极小值点

极大值y(D=i,极小值y(-D=-i

令y'=o得x3=0,x4=65=

X（■广百）(2)（0,百）（百,十）

y—+—+

故拐点（•凡・亨），（0,0）（鸟日）

X3__

求由曲线”彳与y=3x*所围成的平面图形的

面积.

解:二=3x-x2,x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,x,=-6,x2=0,x3=2.

S=^(—―3x+/)dx+J-(3x-%2——)dx

x4c32%3、I。/3c)k34x.i2

=(z------x+——)|<+(-jc---------)L

1623k62316lo

=45+2-=47-

33

设抛物线y=4”上有两点A(-l,3),8(3,—5),在弧A

B±,求一点P(x,y)使AA8P的面积最大.

解：

A8连线方程：y+2x-\=0\AB\=445

点P到A8的距离R'+r"=一/+产+3_1<<3)

V5V5(x

A48P的面积

S(x)=—4A/5-----；=----=2(—x~+2x+3)

2V5

Sf(x)=-4x+4当x=lSf(x)=0

S"(x)=—4<0

当x=1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y=3所求点为(1,3)

另解：由于A48C的底一定，故只要高最大而过C点的抛物线

的切线与A8平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x0,4-焉)

，使/''(X。)=-24=一5-%+1=-2,解得4=1,所求C点为(1,3)

六、证明题(本大题4分)

设x〉0,试证e2x(1-x)<1+x.

证明：设/(x)=e2v(l-x)-(l+x),x>0

lx2x

f'M=e(\-2x)-\9f(x)=-4xe,

x〉0,/ffU)<0,因此八X)在(0,+)内递减。

在(0,+)内，尸。)<尸(0)=0，/。)在(0,+)

内递减，

在(0,+)内，/(x)</(0),gpe2r(l-x)-(l+x)<0

亦即当X>0时，e2（j）<l+xo

高等数学IA

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

函数

ln(x+1)

x-l

tan—x,0<x<1

x+sinx,x<0

的全体连续点的集合是

(A)(J)u(l,+

(C)(-00,0)U(0,4-00)(D)(-8,0)U

U

(0,1)(1,+8)

尤2+1

设㈣-)=。，则常数a,b的值所组成的数

组(a,b)为()

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,

1)(D)(1,-1)

设在［0,1］上小)二阶可导且广。)>。，则

()

(A)/⑼〈尸⑴〈/⑴-/(。)(B)

/,(0)</(1)-/(0)<7,(1)

(C)/，(1)</，(0)</(1)-/(0)(D)/(1)-/(0)</，(1)</，(0)

71717C

2•4~2~2

CSinXCOSX,..f/•34、Jnf/2•34、」

M=I----——ax,N=I(sin*x+cosx)dxP=\(xsin'x-cosx)ax

-I1+x-I-I则

()

(A)M<N<P(B)P<N<M

(C)P<M<N(D)N<M<P

二填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

x>1d(x2arctanJx-l)=

(

)

设J/(x)dx=sinx+c,贝⑹(x)dx=

(

)

x-4_y_z-5

直线方程2-mn6+p,与xoy平面,yoz平面

都平行，

那么m,n,p的值各为

()

limf-U'T

()

三解答题（本大题有3小题，每小题8分,

共24分）

计算理（siMxX2）

2|

c、xcos—,X>0

fM=\x

设I、黑。试讨论巾）的可导性，并在可

导处求出尸（，）

设函数y=/（划在（-8,+8）连续，在X0时二阶可导,

且其导函数八）的图形如图所示，给出

小）的极大值点、极小值点以及曲线尸,⑴的拐

点。

四解答题（本大题有4小题，每小题9分,

共36分）

求不定积分Jx-\X

||lnx|dx

计算定积分：

.xyz-1.x-1y—2z—3

已知直线「片亍"F=/='，求过直线

11且平行于直线12的平面方程。

过原点的抛物线丫=♦及y=O,x=l所围成的平

81

面图形绕X轴一周的体积为匚)，确定抛物线

方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成

的旋转体体积。

五、综合题(本大题有2小题，每小题4分,

共8分)

设F(x)=(x-l)2/a),其中小)在区间［1,2］上二阶可

导且有〃2)=。,试证明存在《＜兴2)使得〃飞)=。。

f(x)=j(r-r2)sin2z,tdt(x>0)

o

求小)的最大值点；

证明："幻"(2〃+2)(2”+3)

一、单项选择题BDBC.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

XI____

一(―/+4arctanJx-1)dx

dy—2Vx—1.

J/(〃)*)dx=Jcos(xH——)dx—sin(x4——)+c

m=2,p=-6,〃w0.

g(e—l)

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分,

共24分）

11、

（8分）计算极限理v（z打下）

2

1、x-sin2x

—)=11m----------

解：盛相?…。x2sin2x

..x-sinxx+sinx

=lim----------------

XT。XX

一.1-cosx1

=2lim---；—=-

3厂3

21

xcos—,x>0

/（X）=,x

xX

（8分）设~0,试讨论〃x)的可导性,

并在可导处求出尸（x）.

解：当x>0/(x)=2xcosl+sini；当*<。，]⑴=]

cos----0An

x=0f*(0)=lim-------组一=0广(0)=lim丝」=1

+3+M」…-AX

2xcos—+sin—x>0

<(6=,xx

故f（x）在x=0处不可导。ix<0

(8分)设函数y=/。)在s，+8)连续，在"0时二阶

可导，且其导函数广⑴的图形如图.给出小)的

极大值点、极小值点以及曲线⑶的拐点.

解：极大值点：x="x=d极小值点：x

拐点(0,7(0)),(c,/(c))

四解答题(本大题有4小题，每小题9分,

共36分)

(9分)求不定积分,黑等?

解：原式=(+出+言心

_4111H31n|x-l|+c

X—1

(9分)计算定积分上乂，

解：原式/EMx+fmxdx

=[-(xlnx-x)]i+[xlnx-x][

e

二2二

e

；xyz-1,x-1y-2z-3

(9分)已知直线’:「厂丁，2丁='=工,求过

直线11且平行于直线12的平面方程.

解：n=?,x?2=(1,2,3)x(2,5,4)=(-7,2,1)

取直线11上一点M1(O,O,1)于是所求

平面方程为

-7x+2y+(z-l)=0

(9分)过原点的抛物线)=♦3＞。)及y=0,

x=l所围成的平面图形绕x轴一周的体积为

81

丁.求a,并求该抛物线绕y轴一周所成的

旋转体体积.

Ip，，2

丫=\niax1^dx-na1—_na

解：/5］

71a281万

由已知得丁丁故a=9抛物线为…=9/

绕y轴一周所成的旋转体体积：

,r419

V=12^X-9X2JX=18%—=—九

o402

五综合题(每小题4分，共8分)

(4分)设F(x)=(x-l)2/(x),其中小)在区间［1,2］上二

阶可导且有八2)=。.证明：存在岁。＜4＜2)使得

证明：由小)在［1,2］上二阶可导，故F(x)

在［1,2］二阶可导,因f(2)=0,故F(1)=F(2)

=0

在［1,2］上用罗尔定理，至少有一点"1气＜2)

使〃(%)=0

尸(x)=2(x+得F⑴=0

在［1,xO］上对尸⑺用罗尔定理，至少有点

久1＜看＜/＜2）尸（。）=0

(4分).

解：(1)x=l为/⑴的最大值点。

,2222

/(x)=(x-x)sin"x?当0<x<l,f'(x)=(x-x)sin"x>0.当x>l,

fr(x)=(x-x2)sin2nx<00/⑴为极大值，也为最大值。

(2)/(x)=£(r-r2)sin21,^</(l)

]

/(1)=一产)sir?”团4

(2〃+2)(2〃+3)

高等数学上B(07)解答

填空题：(共24分，每小题4分)

dy_

2-22

1.y=sin[sin(x)]f|j||]2xcos[sin(x)]cosxQ

2.已知'1+犬2八-",a=1

jlnx|dx=2二

J.eeo

4.y=e'过原点的切线方程为y=3

5.已知"x）=*贝！JJX'二X+C。

_39

6.a=2,b=2

时，点（L3）是曲线y=ax3+bx1的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

1.求y=（sinx）cost的导数。

解：y'=^cosAlnsinxy=*sxlnsinx（一如工gSinX+COtXCOSX）

2|sinInxdx

解:jsinInxdx=xsinlnx-jcosInxdx

=xsinlnx-xcosInx-sinInxdx

—(xsinlnx-xcosInx)4-C

=J厂_]+5InIx+A/X2—11+C

x

fe9x>0

4.设仆「八1，x<。在点x=。处可导，贝h为

何值？

k

hjj£(0)=lim—x=lim

mAt•x->o-xio-

470)=lim—=1

XT0+x

k=1

5.求极限蚓E+R+…+了彳）。

解:

lim

-J之

—In(九+Jl+x，)4=ln(l+V2)

x+2y-z+l=0

6.求过点(2,2,0)且与两直线ix-y+z-l=0和

2x-y+z=0

上".0平行的平面方程。

解：两直线的方向向量分别为

电=(1,2,-1)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),S2=(2,-1,1)x(1,-1,1)=,平面的

法向量»=(1,-2,-3)x(0,-1,-1)=(-1,1,-1)0

平面方程为x-y+z=。。

三、解答下列各题：(共28分,每小题7分)

Jx=7?cosrd2y

1=HsinJ求而。

dy

解：:

dx2-/?sinrRsin3f

2.求"x)=「"D"在T2］上的最大值和最小值。

解：E'(x)=x(x—l)=O,x=O,x=l

尸(0)=0,夕(1)==

F(-l)=(①一1)力=—|,口2)=p(I)力=|

25

最大值为"最小值为七

3.设y=ya)由方程x(l+y2)-ln(x2+2y)-0确定，求v⑼。

解：方程Xl+y2)-ln(x2+2y)=0两边同时对X求导

(1+.)+2XW-2：+”O

x+2y

„1

将代入上式

y,（o）=：

O

4.求由k/与A*围成的图形绕,轴旋转所得

的旋转体的体积。

解：丫=卜（〉->4）力

3

=—71

10

四、证明题：（共12分，每小题6分）

1.证明过双曲线所I任何一点之切线与。X"

二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线。口上任何一点0）的切线方程

为

Y-y=-^X-X）

切线与，轴、，轴的交点为。七心0

故切线与。X。二个坐标轴所围成的三角形

的面积为SE+2

2.设函数/（X）与g（x）在闭区间〔。，勿上连续，证明:

至少存在一点4使得

/（4）1g（x）dx=ge）ff（x）dx

证明：令网》）=11（幻句,/（加

1

尸g）=Fs）=o,由Rolle定理，存在一

点3。向,使尸⑹=°,即

/《）1g（x）dx=g©ff（x）dx

高等数学上解答（07）

单项选择题（每小题4分，共16分）

L/（x）=xcos^'IS，nAl（-°°<x<4-00）Ao

（A）奇函数；（B）周期函数；（C）

有界函数；（D）单调函数

2.当口。时，f(x)=(1-cosx)ln(1+2x2)与B是同阶

无穷小量。

(A)%(B)心(C)

x,(D)/

Jx-2y+z=0

3首jx+y_2z=0与平面x+)+z=l的位置关系是

Co

(A)直线在平面内；(B)平行；(C)

垂直；(D)相交但不垂直。

4.设有三非零向量7日。若、=。，axc=0f则“=

Ao

(A)0；(B)-1；(C)

1；(D)3

填空题(每小题4分，共16分)

1.曲线vTnx上一点P的切线经过原点(0,0),

点P的坐标为⑥)。

..tanx-xi

2.智高』二5。

3.方程ey+6xy+x2-1=0确定隐函数y=火幻,则）/（0）=

0o

4.曲线—2、I与1轴所围图形绕、轴旋转一

71

周所得旋转体的体积为人

解下列各题（每小题6分，共30分）

•->

r,、../-sin-x.,

1.已知"小照（一），求八3

.2

c,、「/—SIFTX[-sidx

用AS牛：/（X）='lTi田m（-----'------）=e

r(x)=—e』*in2x

2.求不定积分网n，）+白弋

.j[ln(lnx)+~^—\dx=jln(lnx)dx+^-^—dx

=xln(lnx)-dx+dx

=xln（lnx）+C

3.计算定积分上（泻.忘7"

［产2（；n：+“一x2）dx=JjYJl-x，）dx+『产2:in：dx

解:

=L（x2J1-X、）dx+O

x=sin/£

=2Psin2rcos2zJz

_71

~~8

r1+sinx

4.求不定积分JR。，

rl+sinx.r1.rsinx.

----------dx-----------ax+----------ax

WP•J1+cosxJ1+cosxJ1+cosx

1rx,rdCOSx

=—sec2-ax-----------

2J2Jl+cosx

x

=tan——In11+cosxI+C

2

5.已知，'（lnx）=x,且/（l）=e+l,求/（X）。

解：^*Inx=r,f'（t）=e'

f(x)=ex+C

/⑴=e+l,/(x)=e，+l

(8分)设小)对任意x有/(x+l)=2/(x),且广⑼V。

八1)o

解：由/(x+l)=2/(x),/⑴=2/(0)

/⑴如/⑴一⑴

XT1X-1

z->0t

N=limw)zw

10t

辑

=2/(0)=-1

22

五、(8分)证明：当m时，(x-l)lnx>(x-l)o

掰

笈

嫩

徐证明：只需证明a+Dlnmo

图

/(x)=(x+1)Inx-x+1

/⑶—海，/⑴在U，+8)单调递增。

22

"1)=0,当X>1时，/W>0ogp(x-l)lnx>(x-l)Q

（8分）

已知小）="—（/小）连续,且当x.O时,FV）

与一

为等价无穷小量。求/,⑼。

..?（x）.

解：I吧丁=1

F（X）=［（x2-r2）/W?=x2f/W/-fr/W/

F'(x)=2x[f/Wt+x2f\x)-x2f\x)=2x^f(t)dt

F'M

lim2lim—-----=2/〃(0)

10Xiox-

八0)=g

（8分）

2

设有曲线y-4x(0<x<1)和直线y=c(0<c<4)o记它们

与>轴所围图形的面积为A,它们与直线e所

围图形的面积为4。问c为何值时,可使A=A+a

最小？并求出A的最小值。

A'(c)=Vc-1

A(c)=7?-1=0,^^c=l0

A"⑴=：>0

2,c=l为最小值点。

minA=传办+2坐吁

八、设小)在"内的点”处取得最大值，且

\f'\x)\<K(a<x<h)Q

证明：\f'(a)\+\f'(b)\<K(b-a)

证明：/U)=o

在对r(X)应用拉格朗日定理

fXx0)-f'(a)=1m)(%-a)(a<刍<%)

尸(a)=/"&)(a-x0),\f\a)\<K(xO-a)

在对尸(x)应用拉格朗日定理

/⑶―/(%)=/〃&)3-玉))(=<“)

f\b)=/④)do)，l<K(I°)

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中)

(本大题分5小题，每小题2分，共10分)

1、

设/=C日Tdx,则/=

Jex+\

(A)ln(e*—l)+c⑻ln(e'+l)+c;

(C)21rl(e、+1)—x+c;

(D)九一21n(e'+l)+c.

答()

2、

/12n-y

lim\e〃・e"・・・e〃-e=

"T8

(A)l(B)&(C)e(D)e2

答()

3、

f(x)=j三的〃阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项R.(x)=()(式中0<0<1)

(A)--------------------xn+l(B)----------------x),+1

(7j+l)(l-0x)n+l(n+l)(l-9x)n+l

(C)-------------xn+i(D}——(T)-----x"+i

)(l-0x)n+2(l-0x),,+2

答()

4、

设/•(外在苫=0的某邻域内连续，且/XO)=0,lim,八'=2,则点x=0

101-cosX

(A)是/'(X)的极大值点(B)是/'(X)的极小值点

(C)不是/1(x)的驻点(D)是/'(x)的驻点但不是极值点

答()

5、

曲线y=/-2x+4上点%(0,4)处的切线也7与曲线V=2(x-1)所围成的平面

图形的面积A=

214913

(A)—⑻一(C)—(£>)——

49412

答（）

二、填空题（将正确答案填在横线上）

（本大题分5小题，每小题3分，共15分）

（设y=lnA/l+tan（x+—）,则）/=________

1>VX

2、

用切线法求方程/—2--5x-l=0在（-1,0）内的近似根时，选我并相应求得下

一个近似值XI。贝卜°,为分别为。

x-ly+1-1

3、设空间两直线丁=亍17与x+l=y-l=z相交

于一点，则心

sinx+e?"-1.当』

,在x0处连续，则。=

4、，当x=0

5,其中b是实数.

三、解答下列各题

（本大题4分）

设平面兀与两个向量，=37+'和/；=『+了—“平行,证

明：向量0=2『-6]-E与平面兀垂直。

四、解答下列各题

（本大题8分）

讨论积分，当的敛散性.

五、解答下列各题

（本大题11分）

导出计算积分/■=f一的递推公式，其中〃为自然数。

JxYx?+l

六、解答下列各题

（本大题4分）

求过综（4,2,一3）与平面m+y+z-10=0平行且与直线

jx+2y-z-5=0

3一。=。垂直的直线方程。

七、解答下列各题

(本大题6分)

计算极限limJ".."2土

ioxtanx

八、解答下列各题

(本大题7分)

试求="lnx)ZA的递推公式(〃为自然数)，并计算积分/(Inx)3dx.

九、解答下列各题

(本大题8分)

设f(x)在(a,6)内可微，但无界，试证明/<x)在(a,b)内无界。

十、解答下列各题

(本大题5分)

设lim(p(x)=M0,limf(u)=/(M0),证明：lim/[(p(x)]=/(M0)

XTXOXT"。o

H^一、解答下列各题

(本大题4分)

在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱体的高

十二、解答下列各题

（本大题5分）

重量为，的重物用绳索挂在m两个钉子上，

12°4

如图。设2i0求国所受的拉力力公

十三、解答下列各题

（本大题6分）

・质点，沿抛物线y=x（10-x）运动,其横坐标随着

时间f的变化规律为x=的单位是秒,x的单位是米）,

求该质点的纵坐标在点M（8,6）处的变化速率.

十四、解答下列各题

（本大题7分）

设曲线x=6，x=,2_y2及y=o,围成一平面图形.⑴求这个平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中

选出一个正确答案，填在题末的括号中）

（本大题分5小题，每小题2分，共10分）

1、C

2、答：B

3、c10分

4、（B）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分5小题，每小题3分，共15分)

1,1

(1—sec-(14—)

广X

1、2(l+tan(x+：))I。分

2、5分

1

X，=-510分

5

3、4

4、-1

b<0

2

<0,b=Q

b2,

5、t'''Tno分

三、解答下列各题

（本大题4分）

Jk

n=axb=310={-4,12,2}

1-4

平面法向量I4分

万与中行8分

从而平面与?垂直。10分

四、解答下列各题

（本大题8分）

当pH1时，

f—=limf—=lim(--------

J)X，£T+OX。£T+O\—p

=lim—'—(l-工)

+0J-p£P

=<I—P

4-oo,p>15分

当P=i时，

f1dxcidx..,

——=—=limIn.xl=+oo

J)PJ)x£->+°I

X7分

if当P<1时收敛，当p21时发散.10.分

五、解答下列各题

（本大题11分）

解:〈法一)

/“=j/rd，4+1

\lx2+1

x"+'+5+1)J:"+2dx3分

+5+1)j1+x

xn+2>Jx2+

+(n+l)J-----x+(〃+1)J——7==

:I+2:d

xn+lJXII77TTJxn777T

+(〃+l)&2+(«+1)/„

-x/x2+1n/

(n+l)x,,+1-n+7"7分

fix2+1