直角三角形和勾股定理 省赛获奖

第24课时直角三角形和勾股定理1．[2018·滨州]在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 (

) A．5 B．6 C．7 D．82．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为 (

) A．4cm B．2cmAC3．如图24－1，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是 (

) A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm图24－1B

第3题答图【解析】如答图，将圆柱体展开，连结DC，圆柱体的底面周长为24cm，则DA＝12cm，根据两点之间线段最短，4．如图24－2，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝_____．图24－251．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形．

直角三角形的性质： (1)直角三角形的两个锐角________； (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________； (3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的________．

直角三角形的判定：有两个角________的三角形是直角三角形．互余一半一半互余2．勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝______．c2【知识拓展】勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3)证明带有平方关系的问题；(4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题．3．勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．

勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．

【知识拓展】

勾股定理逆定理的应用： (1)判断三角形的形状； (2)证明两条线段垂直； (3)实际应用．直角1．面积法

用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法．即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论．2．数形结合思想

在解决一些实际问题时，如立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，解决这些问题的过程，充分体现了数形结合思想，这是中考的热点．类型一直角三角形的性质的运用典例[2018·扬州]如图24－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是 (

) A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC图24－3C【解析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE.跟踪训练1.[2018·黄冈]如图24－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝ (

)A．2 B．3图24－4C【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，2．[2019·中考预测]如图24－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 (

)图24－5C【解析】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，AD＝BD，可得∠DAE＝30°，易得∠ADC＝60°，∠CAD＝30°，则AD为∠BAC的平分线，由角平分线的性质，得DE＝CD＝3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝2DE＝6.所以BC＝9.思维升华在直角三角形中，熟记含30°角、含45°角的直角三角形的直角边与斜边的关系，对我们解决填空题、选择题有很大的帮助．在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半；在含45°角的直角三角形中，斜边是直角边的倍．类型二勾股定理及其应用典例[2017·绍兴]如图24－6，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为 (

) A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m图24－6C【解析】如答图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7m，AC＝2.4m，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2m，BD2＋A′D2＝A′B2，∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5m，∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．典例答图【解析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如答图①，②当△ABC是钝角三角形，如答图②，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．

跟踪训练1答图① 跟踪训练1答图②①当△ABC是锐角三角形，如答图①，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，2.[2018·湘潭]《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图24－7所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为___________________．【解析】设AC＝x，∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.图24－7x2＋32＝(10－x)2类型三勾股定理的面积关系典例[2019·中考预测]如图24－8①，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况中，面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有 (

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个图24－8D【解析】根据直角三角形以a，b，c为边，应用勾股定理，可得a2＋b2＝c2.①第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；②第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；③第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；④第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3.在图④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.综上所述，可得面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有4个．故选D.跟踪训练1.如图24－9是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.图24－9102．如图24－10是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…以此类推，若正方形①的边长为64cm，则第4个正方形的边长为______cm.图24－10163．[2019·中考预测]如图24－11，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，S2019的值为________．图24－11类型四平面展开最短线段问题典例[2018·黄冈]如图24－12，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm.(杯壁厚度不计)图24－1220典例答图图24－13D

跟踪训练1答图2．如图24－14是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 (

)图24－14C

跟踪训练2答图3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图24－15，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是______尺．图24－1525

跟踪训练3答图思维升华在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决．类型五勾股定理的逆定理典例如图24－16，E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝_________．图24－16135°

典例答图【解析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案．如答图，连结EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE＝1，BE＝2，CE＝3，∴∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，∵E′E2＋E′C2＝8＋1＝9，又∵EC2＝9，∴E′E2＋E′C2＝EC2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.跟踪训练如图24－17，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为______．【解析】如答图，连结AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2＋BC2＝16＋9＝25，∵AD2＝144，DC2＝169，∴AC2＋AD2＝DC2，∴△CAD为直角三角形，即∠CAD＝90°，图24－17跟踪训练答图36类型六赵爽弦图典例[2018·温州]我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图24－18所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为(

)图24－18B【解析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在Rt△ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3＋4＝7，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72，整理得x2＋7x－12＝0，A．12S B．10SC．9S D．8SC图24－192．[2018·娄底]如图24－20，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面