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文档简介
考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.第5节直线、平面垂直的判定及其性质知
识
梳
理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的_______直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理两条相交直线l⊥al⊥ba⊂αb⊂α平行a⊥αb⊥α2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理垂线l⊥αl⊂β交线α⊥βα∩β=al⊥al⊂β[常用结论与易错提醒]1.垂直关系的转化2.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.基
础
自
测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(
)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(
)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(
)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(
)解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α,故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误.(3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线,则α⊥β,故(4)错误.答案(1)×
(2)×
(3)×
(4)×2.(2019·湖州适应性考试)下列命题正确的是(
)A.若平面α内存在无数条直线平行于直线l,则直线l平行于平面αB.若平面α内存在无数条直线垂直于直线l,则直线l垂直于平面αC.若平面α内存在无数条直线平行于平面β,则平面α平行于平面βD.若平面α内存在无数条直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β 解析对于A,直线l可能与平面α平行,也可能在平面α内,A错误;对于B,平面α内存在相交直线与直线l垂直才有直线l垂直于平面α,B错误;对于C,平面α内存在相交直线与平面β平行时,才有平面α平行于平面β,C错误;对于D,由两平面垂直的判定定理易知其正确,故选D.答案D3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(
) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
解析因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l,故选C.
答案
C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(
) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
解析如图,由题设知,A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1,从而A1B1⊥BC1,又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.答案C5.(2019·宁波模拟)已知直线l,m与平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是(
) A.若l∥m,则必有α∥β B.若l⊥m,则必有α⊥β C.若l⊥β,则必有α⊥β D.若α⊥β,则必有m⊥α
解析对于A,平面α与平面β可能相交或平行,A错误;对于B,平面α与平面β可能相交或平行,B错误;对于C,由空间中两平面垂直的判定定理易得C正确;对于D,直线m与平面α可能相交、平行或直线m在平面α内,D错误.综上所述,故选C.
答案C6.(必修2P67练习2改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.解析(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
图1
图2(2)如图2,∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.答案(1)外(2)垂
求证:(1)B1M∥平面A1BN;(2)AD⊥平面A1BN.证明(1)连接MN,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是平行四边形,因为点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,所以MN∥AA1且MN=AA1,又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1=BB1,所以MN∥BB1且MN=BB1,所以四边形MNBB1是平行四边形,所以B1M∥BN,又B1M⊄平面A1BN,BN⊂平面A1BN,所以B1M∥平面A1BN.
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BN⊂平面ABC,所以BN⊥AA1.在正△ABC中,N是AB的中点,所以BN⊥AC,又AA1,AC⊂平面AA1C1C,AA1∩AC=A,所以BN⊥平面AA1C1C,又AD⊂平面AA1C1C,所以AD⊥BN.则AD⊥A1N,又BN∩A1N=N,BN,A1N⊂平面A1BN,所以AD⊥平面A1BN.规律方法
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.求证:PA⊥CD.证明因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB.由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3,所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以PD⊥CD,由PD∩AB=D得,CD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】
(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明
(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.规律方法
(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.【训练2】
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.又AB⊥AD,BC,AB⊂平面ABC,BC∩AB=B,∴AD⊥平面ABC,又因为AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.考点三平行与垂直的综合问题
多维探究角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3-1】
(2018·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,
因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.规律方法
(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行垂直中探索性问题【例3-2】
如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点. (1)证明:AE∥平面BDF. (2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.(1)证明连接AC交BD于O,连接OF,如图①.∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点,又F为EC的中点,∴OF为△ACE的中位线,∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时,有PM⊥BE,
证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH,∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB,又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊂平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面
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