解题有道-四大数学思想

第2讲解题有道——四大数学思想思想概述

高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的.解析(1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即ea－1>a.又y＝ax(0<a<1)在R上是减函数，得a>ae，从而ea－1>a>ae.答案

(1)B

(2)B探究提高1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则f(x2＋x)<－f(x－k)⇒f(x2＋x)<f(k－x)⇒x2＋x<k－x，故问题转化为存在x∈[－2，1]，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min，当x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1的最小值为－1.故实数k的取值范围是(－1，＋∞).答案

(1)C

(2)A应用2函数与方程思想在数列中的应用【例2】

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)求nSn的最小值.解

(1)∵S4＝－2，S5＝0，S6＝3，∴a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，又{an}是等差数列，则公差d＝a6－a5＝1，又f(3)＝－9，f(4)＝－8.∴当n＝3时，nSn取到最小值－9.探究提高1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n项和公式求出nSn，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】

设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意n∈N*，kan，Sn，－1成等差数列，求实数k的值.解

(1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，∵q>0，∴q＝3，a1＝1，∴an＝1×3n－1＝3n－1(n∈N*)，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.由D在AB上知x0＋2kx0＝2，探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.解

(1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为AB⊥x轴于B，所以B(x0，0)，所以△OPQ面积的最大值为1.类型二数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.解析(1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x上点C下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，由图象可知当x>0时，有4个零点，当x≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点.答案

(1)C

(2)B探究提高1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.x2＋y2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O(0，0)的距离的最小值的平方.∴(x2＋y2)min＝|OA|2＝12＋22＝5.答案

(1)B

(2)B探究提高1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，应用3圆锥曲线中的数形结合思想【例6】

已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.

解析因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.探究提高1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.答案D类型三分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.解析若a>1，有a2＝4，a－1＝m.探究提高指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0<a<1，a>1两种情况讨论.解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为Sn＝2an－2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，则数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则S5－S4＝a5＝25＝32.(2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，

应用2由参数变化引起的分类讨论【例8】

设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围.解(1)由f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1处取得极小值.若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1，＋∞).探究提高

1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】

已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx.若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为________.即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解.当m≤0时显然成立；

答案

(1)D

(2)A探究提高1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.解析

(1)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，

若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，类型四转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.答案C探究提高

1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.解析(1)取特殊数列{an}，其中an＝n(n∈N*).显然a1·a8＝8<a4·a5＝20.(2)令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意(取满足条件的三边).答案

(1)B

(2)C解析(1)设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2，2]时，f(t)>0恒成立，(2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.探究提高

1.第(1)题是把关于x的函数转化为在[－2，2]内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】

已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的