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文档简介
运筹学教程（第二版）习题解答第二章习题解答2.1
写出下列线性规划问题的对偶问题。1
2
3(1)1
2
3
x1
,x
2
,‡0,x3
无约束+
4
x
+
3
x
=
5
x
2
x
+
x
+
3
x
£
3st
min
Z
=
2
x1
+
2
x
2
+
4
x3
x1
+
3
x
2
+
4
x3
‡
221
2
31
2
3对偶问题:
y1
‡0,y2
£
0,y3无限制4
y
+
3
y
+
3
y
=
43
y
+
y
+
4
y
£
2st
max
W
=
2
y1
+
3
y2
+
5
y3
y1
+
2
y2
+
y3
£
23第二章习题解答(2)1
2
31
2
34
x
+
7
x
+
3x
£
8-
x
+
5x
-
3x
‡
3st
max
Z
=
5x1
+
6
x2
+
3x3x1
+
2
x2
+
2
x3
=
541
2
31
2
32
y
-
3
y
+
3
y
£
32
y
+
5
y
+
7
y
‡
6st
x1无约束,x2
,‡0,x3
£
0max
W
=
5
y1
+
3
y2
+
8
y3
y1
-
y2
+
4
y3
=
5
y1无约束,y2
£
0,y3
‡0对偶问题：.(3)stn
i
=1
xijn
j
=1m
nmin
Z
=
cij
xiji
=1
j
=1‡
0 (i
=
1,
,
m,
j
=
1,
,
n)xij
=
b
j
(
j
=
1,
,
n)xij
=
ai
(i
=
1,
,
m)第二章习题解答
i5
yi
+
y
j
+mstm
nmax
W
=
ai
yi
+
b
j
y
j
+mi
=1
j
=1£
cij
(i
=
1,
,
m,
j
=
1,
,
n).
y
无限制，i
=1,,n
+m对偶问题：6stnn
aij
x
j
£
bim(4)
j
=1
j
=11max
Z
=
cj
x
jj
=1xj
‡0
(j
=1,,n1
,<n),x
j
无约束（j
=n1
+1,,n）aij
x
j
=
bi
(i
=
m1
+1,
m1
+
2,,
m)(i
=1,,
m
<
m)第二章习题解答7对偶问题：stmm
i=1
i=1
yi
‡
0 (i
=1,,
m1
)
yi无约束（j
=m1
+1,,m）aij
yi
=
c
j
(
j
=
n1
+1,
n1
+
2,,
n)aij
yi
‡
c
j
(
j
=1,2,,
n1
)minW
=
b1
y1
+
b2y2
++
bm
ym第二章习题解答2.2
判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行解。(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：不对！道理同上。8第二章习题解答在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。答：结论正确！9第二章习题解答第二章习题解答102.3
已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。解：l=1, k=0
, h=-1/2,
a=2,c=3,
b=10,
e=5/4, f=-1/2,d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4CBCj→基b3X12
2
0
0
0X2
X3
X4
X5
X60X1(b)11
1
1
0
00X215(a)1
2
0
1
00X3202(c)
1
0
0
1Cj－Zj32
2
0
0
0┆┆┆┆┆
┆
┆
┆┆0X4
5/400
(d)
(l)
-
-1/
1/4
43X1
25/10
(e)
0
3/
(i)112.4
给出线性规划问题122
3
41x
‡
0,
(
j
=
1,
,4)-
x
+
3
x
£
-3x1
+
2
x2
+
3
x3
+
x4
‡
2st
-
2
x
+
x.min
Z
=
2
x1
+
3
x2
+
5
x3
+
6
x4j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；
(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。第二章习题解答131
21
2+
3
y
2
y
+
yst
.
3
y
1
-
y
2
ymin
W
=
2
y
1
-
3
y
2
y
1
-
2
y
2
‡
-
2‡
-
3‡
-
5‡
-
6(1)对偶问题：
y
1
£
0
,
y
2
‡
0最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。由于y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令
x3=0就可以得到最优解：x1=8/5,x2=1/5。第二章习题解答.141
2
31
2
32
x
+
x
+
x
‡
2
x
-
x
+
x
=
1st
2.5
给出线性规划问题max
Z
=
x1
+
2
x2
+
x3
x1
+
x2
-
x3
£
2
x1
‡0,x2
£
0,x3无约束(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z≤1。第二章习题解答151
2
31
2
3-
y
+
y
+
y
=
1
y
-
y
+
y
£
2st
min
W
=
2
y1
+
y2
+
2
y3
y1
+
y2
+
y3
‡
1(1)对偶问题：
y1
‡
0,
y2
无约束
,
y3
£
0(2)y1=y3=0,y2=1时对偶问题的一个可行解，目标函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。第二章习题解答试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。161
2
3‡
0,
(
j
=
1,
,3)
x-
x
£
1st
-
2
x
+
x.j2.6
已知线性规划问题max
Z
=
x1
+
x2
+
5
x3
+
6
x4
-
x1
+
x2
+
x3
£
2第二章习题解答由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可行解。所以原问题目标函数值无界。171
21
2y1
,
y2
‡
0.
y
-
y
‡
0
y
+
y
‡
1
(2)(3)(4)st
解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对偶问题为：min
W
=
2
y1
+
y2
-
y1
-
2
y2
‡
1
(1)第二章习题解答18x1
+
x2
+
x3
£
92
x1
+
x2
£
6x2
+
x3
+
x4
£
6x1
+
3
x2
+
x4
£
8st
.
x
j
‡
0,
(
j
=
1,
,4)要求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。2.7
给出线性规划问题min
Z
=
2
x1
+
4
x2
+
x3
+
x4第二章习题解答193个约束取等号，故得到最优解：
y1=4/5,y2,=3/5,
y3=1,
y4=042
31y1
+
y3
‡
1y3
+
y4
‡
13
y
+
y
+
y
+
y
‡
1y1
+
2
y2
+
y4
‡
2min
W
=
8
y1
+
6
y2
+
6
y3
+
9
y4
y
j
‡
0,
(
j
=
1,
,4)(2)已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故
y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前(1)对偶问题：第二章习题解答20
11=
b3
y
3y
2=
b2ya
x
=
bst
.n
a
3
j
x
jnj
=1a
2
j
x
jnj
=11
j
jnmin
Z
=
c
j
x
jj
=1
j
=1
x
j
‡
0
,
(
j
=
1,
,
n
)影子价格2.8
已知线性规划问题A和B如下：问题A第二章习题解答215
51y*3(a
+3a
)x
=
b
+3by*2x
=
1
b1
ay*st.
n
j
=13
j
1
j
j
3
1nj
=12
j
j
2n
j
=15a1
j
x
j
=
5b1nmin
Z
=
cj
x
jj=1影子价格问题Bxj
‡
0,(
j
=1,,
n)试分别写出yi同y*
(i＝1，2，3)间的关系式。i第二章习题解答*22321321*321321y
)*
y*yy
)*
y*y0
=
(0
1/
5
0
0(y
y y
)
0
50-3
/
511
000(y
y y
)
0
1
0
01
0 01/
5
0
0
1
00
5
0
0
1
0
=
(-3
0
0
0第二章习题解答(1)
xx1
+
3
x3
‡
3st
2
x
+
2
x
‡
5.
2
3‡
0,
(
j
=
1,
,3)j2.9
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。min
Z
=
4
x1
+
12
x2
+
18
x323(2)1
2
3‡
0,
(
j
=
1,
,3)
xst
6
x
+
3
x
+
5
x
‡
10.min
Z
=
5
x1
+
2
x2
+
4
x3
3
x1
+
x2
+
2
x3
‡
4j第二章习题解答(1)2
3
x+
3
x
‡
5st
.
2
xmin
Z
=
4
x1
+
12
x
2
+
18
x3
x1
+
3
x3
‡
3j‡
0,
(
j
=
1,
,3)(2)241
2
3
xst
.6
x
+
3
x
+
5
x
‡
10最优解：
x1
=
0,
x
2
=
3
/
2,
x3
=
1min
Z
=
5
x1
+
2
x2
+
4
x3
3
x1
+
x2
+
2
x3
‡
4j最优解：
x1
=
2
/
3,
x2
=
2,
x3
=
0‡
0,
(
j
=
1,
,3)第二章习题解答25果。.1
2
31
2
3
x1
,
x2
,
x3
‡
0要求：(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题；(3)用单纯形法求解其对偶问题；(4)对比(2)与(3)中每步计算得到的结2
x
+
2
x
+
2
x
‡
34
x
+
x
+
3
x
‡
4st
2.10
考虑如下线性规划问题：min
Z
=
60
x1
+
40
x2
+
80
x33
x1
+
2
x2
+
x3
‡
2第二章习题解答2636
3
332131
231
21
2
3(4)
略(1)
对偶问题：=
50
,
Z
=
2303
3(3)
y
=
0,
y
=
20
,
y(2)
x
=
5
,
x
=
2
,
x
=
0,
Z
=
230
y1
,
y2
,
y3
‡
0
y
+
3
y
+
2
y
£
802
y
+
y
+
2
y
£
40st
max
W
=
2
y1
+
4
y2
+
3
y33
y1
+
4
y2
+
2
y3
£
60第二章习题解答27先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。解：最优解为x1=6,x2=x3=0,Z=12‡
0,
(
j
=
1,
,3)
xx1
+
x2
+
x3
£
6st
-
x
+
2
x
£
4.
1
2j2.11
已知线性规划问题：max
Z
=
2
x1
-
x2
+
x3第二章习题解答(1)
目标函数变为
max
Z
=
2x
1
+
3x
2
+
x
3最优解：
x1
=
8/3,
x
2
=
10/3, x
3
=
0,
Z
=
46/3第二章习题解答
6
变为
3
(2)
约束右端项由
4
4
最优解：
x1
=
3,
x2
=
x3
=
0,
Z
=
6(3)
增添一个新的约束条件
x1
+
2x
3
‡
2最优解：
x1
=
10/3, x
2
=
0,
x
3
=
8/3,
Z
=
28/328用单纯形法求解得最终单纯形表见下表：294
7
13
3
32
31x
‡
0
,
(
j
=
1,
,3)+
1
x
+
1
x
£
1
1
xst
.
3
x1
+
3
x
2
+
3
x
3
£
32.12
给出线性规划问题max
Z
=
2
x1
+
3
x
2
+
x
3j第二章习题解答试30项
目23100CB
基bX1X2X3X4X526X110-14-13
X2分析1下列各种条0
件下1最优解2(基)的-变1
化：1Cj－Zj00-3-5-1第二章习题解答(1)
目标标函数中变量x3的系数变为6最优解：x1
=2,,x2
=0,
x3
=1,
Z
=10最优基从x1
,x2
fi
x1
,x3第二章习题解答4311(2)
分别确定目标标函数中变x1和x
2的系数c1
,c2在什么什么范围内变动最优解不变；
c2
˛
[4,9]时最优解不变。
c
˛
[3
,3]时最优解不变；33原问题最有基不变，最优解变为：x1
=5,
x
2
=1,
其他变量为0。(3)约束条件右端项由
变为
1
2第二章习题解答32
66
6
6最优解为：x
=
2,
x
=
1
,
其他变量为0。1(4)增加一个新的变量x ,
P =
1，c
＝7
(5)增添一个新的约束x1
+2x
2
+x
3
£
4。最优解为：x1
=2,
x5
=1,
其他变量为0。322.13
分析下列线性规划问题中，当入变化时最优解的变化，并画出Z(入)对入的变化关系图。33(1)x
‡
0,(
j
=1,,4)
x1
+
x3
+2x4
=
2st.
x
+2x
+3x
=52
1
2
4jminZ(l)
=
x1+
x2
-lx3
+2lx4第二章习题解答23421
2x3
=
0,
x4
=
0,
Z
=
3l
˛
(1，+
¥
)
时，最优解：
x1
=
0,
x2
=
5,x3
=
2,
x4
=
0,
Z
=
5
-
2ll
˛
(
1
，1]
时，最优解：
x
=
1,
x
=
2,1l
˛
(-¥
，]时，最优解不变,Z
=2
+2ll
=0，最优解：x1
=0,x2
=
2,
x3
=
0,
x4
=
1,
Z
=
2第二章习题解答.35(2)1
2
1
2x1,
x2
‡
0x
-
x
£16x
+
x
£12stminZ(l)
=
-(3-l)x1
+(2
+l)x232x1
+5x2
£10l
=0，最优解：x1
=0,x2
=2,x3
=0,x4
=10,
x5
=
3,
Z
=12l
˛
(-¥
，-2)时，最优解:x1
=
0,
x2
=
0,
x3
=10,
x4
=12,
x5
=1,,
Z
=
0l
˛
[2，+¥)时，最优解：x1
=0,x2
=2,x3
=
0,
x4
=10,
x5
=
3,
Z
=
4
+
2l第二章习题解答(3)2
3
4
x
‡
0,(
j
=1,,3)jst.
x
-
x
+
x
=
-1+l2maxZ(l)
=
x1
+
x2
+2x3
+
x4
x1
-2x3
-
x4
=
2
-l3
33641
2
3最优解：x
=
0,
x
=
0,
x
=
l
-1,
x
=
l
-
4
,
Z
=
l
-
2l
=
0，最优解：x1
=4,x2
=0,x3
=1,x4
=0,Z
=6l
˛
(-¥，4]时，最优解:x1
=
4
-l,
x2
=
0,
x3
=1,
x4
=
0,
Z
=
6
-ll
˛
(4，+¥)时，第二章习题解答.37(4)21
3
1stx1,
x2
,
x3
‡
0l
=0，最优解：x1
=
0,
x2
=5,
x3
=30,
x4
=
0,
x5
=
0,
x6
=
0,Z
=160x
+4x
£30-7l3x
+2x
£
60+2lmaxZ
=3x1
+2x2
+5x3x1
+2x2
+
x3
£
40-l第二章习题解答第二章习题解答38Cj→CB
基
b3X12X25X30X40X50X62
X2
5-1/4101/2-1/405
X3
303/20101/200
X6
10200-211Cj－Zj-700-1-20第二章习题解答39Cj→CB
基
b3X12X25X30X40X50X62
X
5-l25
X
30+3
l0
X
10-36
l-1/-1/1021/0443/0101/022200-211Cj－Zj-700-1-20第二章习题解答40CBCj→基
b3X12X25X30X40X50X62X215-7/4l1/410001/45X330+
l3/20101/200X43
/2l-5-1001-1/2-1/2Cj－Zj-700-1-20其他情况原问题无解。412
22
43
7364
531
2l
˛
10
30]时，[
，l
˛
[-30
10)时，，x
=
7
l
-5,
x
=
0,
x
=
0，Z
=165
+
3
l最优解：x
=
0,
x
=
15
-
7
l,
x
=
30
+
l,最优解：x1
=0,x2
=5
-l,x3
=30
+l,x4
=
0,
x5
=
0,
x6
=10
-3l，Z
=160
+
3l第二章习题解答2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：42产品资源ABC（单可用量位）劳动力63545材料34530产品利润（元/件）314第二章习题解答要求：
(1)确定获利最大的产品生产计划；答：最优生产计划为：x1=5,x2=0,x3=3,Z=27；43第二章习题解答项
目31400CB
基bX1X2X3X4X535X11-1/301/3-1/343X3011-1/52/5
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