【典型题】高一数学上期中试卷(含答案)

【典型题】高一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．三个数0.32，20.3，的大小关系为（）.A． B．C． D．3．在中，内角、、所对应的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．5．函数的大致图像是（）A． B．C． D．6．函数的单调递增区间是A． B．C． D．7．函数的部分图像大致为A． B． C． D．8．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A． B．C． D．9．已知函数（且），若，则（）A． B． C． D．10．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为()A． B． C． D．11．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．函数的图象是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知函数，函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为______．14．函数的定义域为__________．15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．16．函数的定义域为______________．17．已知函数（，且）在上是减函数，则取值范围是_________．18．某企业去年的年产量为，计划从今年起，每年的年产量比上年增加﹪，则第年的年产量为______.19．若，则．20．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．三、解答题21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元满足，乙城市收益Q与投入单位：万元满足，设甲城市的投入为单位：万元，两个城市的总收益为单位：万元．（1）写出两个城市的总收益万元关于甲城市的投入万元的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．23．一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10﹪衰减.（Ⅰ）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）24．已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.25．设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.26．计算下列各式的值：（）．（）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对讨论求解即可.【详解】由可得，当时，由可知无实数解，故舍去；当时，在上恒成立，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.2．A解析：A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log0.32＜0，∴20.3＞0.32＞log0.32．故选A．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．B解析：B【解析】【分析】化简得到或，再判断充分必要性.【详解】，根据正弦定理得到：故或，为等腰或者直角三角形.所以“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到或是解题的关键，漏解是容易发生的错误.4．C解析：C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．B解析：B【解析】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．6．D解析：D【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.7．C解析：C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B【解析】【分析】根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；选项，计算，不符合函数图象；对于选项，与函数图象不一致；选项符合函数图象特征.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．C解析：C【解析】【分析】由，求得，得到函数的解析式，进而可求解的值，得到答案．【详解】由题意，函数且，，所以，所以且，所以，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．C解析：C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．B解析：B【解析】【分析】由函数的解析式可得函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5，结合题意求得m的范围．【详解】∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，4]，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．12．A解析：A【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A.【详解】因为为奇函数，所以舍去C,D;因为时,所以舍去B，选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实解析：【解析】【分析】由函数，把函数恰有个不同的零点，转化为恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数，且函数恰有个不同的零点，即恰有4个实数根，当时，由，即，解得或，所以，解得；当时，由，解得或，所以，解得，综上可得：实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：【解析】要使函数有意义，则必须，解得：，故函数的定义域为：．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y＝tanx的定义域为.15．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时解析：【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ解析：【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出取值范围．【详解】∵函数（，且）在上是减函数，当时，故本题即求在满足时，函数的减区间，∴，求得，当时，由于是减函数，故是增函数，不满足题意，综上可得取值范围为，故答案为：．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．18．y＝a（1+b）x（x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x年增加到y件第一年为y＝a（1+b）第二年为y＝a（1+b）（1+b）＝a（1+解析：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案.【详解】设年产量经过x年增加到y件，第一年为y＝a（1+b%）第二年为y＝a（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）2，第三年为y＝a（1+b%）（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）3，…∴y＝a（1+b%）x（x∈N*）．故答案为：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算解析：【解析】【分析】【详解】∵，∴，∴.考点：对数的计算20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。【详解】函数的图像如下图所示，不妨设，则、关于直线对称，所以，且满足则故的取值范围是。【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像，由图像结合对称性经过计算得出的取值范围。三、解答题21．（1），，万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；，，令，则，转化为求函数最值，即可得出结论．【详解】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，所以，依题意得，解得，故，，当时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益．，令，则．当，即万元时，y的最大值为68万元，故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时，总收益最大，且最大收益为68万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．(1)(2)减函数，证明见解析；(3)．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质令，求解即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，所以，即，∴，经检验，当时，原函数是奇函数．（2）在上是减函数，证明如下：由（1）知，任取，设，则，∵函数在上是增函数，且，∴，又，∴，即，∴函数在上是减函数．（3）因是奇函数，从而不等式等价于，由（2）知在上是减函数，由上式推得，即对任意，有恒成立，由，令，，则可设，，∴，∴，即的取值范围为．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．23．（Ⅰ）ω=500×.（Ⅱ）年【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g，经过1年，ω=500（1-1