初中数学-《切线长定理》教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE《24.2.2切线长定理》教学设计教学目标：（1）、知识技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。（2）、数学思考目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。（3）、解决问题目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。（4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。教学重点：理解切线长定理教学难点：应用切线长定理解决问题教学方法：教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。教学手段为了提高课堂教学效率，激发学生学习兴趣，培养学生空间想象力，本节课采用的是直观教学手段，充分利用多媒体和自制教具的演示使数学知识形象化，便于学生理解和掌握。教具：多媒体计算机、圆规、三角板、篮球、折纸学具：三角板、圆规、折纸教学过程：一、复习回顾：1.一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.二、激发情趣导入新课同学们，请看这是什么玩具？（篮球）对，这是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次）可是，我们在打完篮球后一个习惯性的动作，还包含着怎样的数学知识呢？是什么知识呢？从中你能抽象出什么样的数学图形？（篮球可抽象成圆形，另外可以抽象为两条直线，并且与圆相切。）设计意图：吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，同时也使学生意识到数学知识广泛存在于日常生活之中。此时教师又引导学生说出线段的特征，不失时机地引入新课，板书课题。为了研究的方便，我们可以看出，球与肩部的距离就决定于这条线段的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的有关知识。（一）、切线长定义1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.提出问题：切线和切线长有什么区别和联系？1.切线是一条与圆相切的直线，不可度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量设计意图：教师在板书定义之后，通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延。也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题。(二）、探究切线长定理问题2：如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO验证1：请同学们可在一张半透明的纸上画出这个图形，沿直线PO将图形对折.验证2：可对PA与PB，∠APO与∠BPO进行长度和角度的测量.（利用几何画板演示）验证3：能否用所学的理论知识证明PA=PB，∠APO=∠BPO.师生活动：学生先自主探究，再写出推理过程，教师再进行引导，点拨，点评。分析：1.PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，则必然会有垂直于过切点的半径.所以连接OA，OB,并由此可知OA=OB，∠OAP=∠OBP=90°.2.证明线段相等，角相等一般的都是利用三角形全等这一理论.只要证明：Rt△AOP≌Rt△BOP，问题就解决了.证明：连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线.∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB，∠APO=∠BPO.(∠POA=∠POB)由此，我们得到切线长定理：由圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（同时，平分两条对应半径的夹角.）几何语言：∵PA和PB为⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.反思：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。设计意图：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合。首先出示探索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、动手折叠、猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径，培养学生合情推理能力、语言表达能力，在整个过程中，教师相应地进行板书。大胆添线（1）

（2）

（3）

（4）图（1）中，有什么结论？

图（2）中，连结AB，增加了什么结论？

图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？《用一用》已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP。

图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（1）写出图中所有相等的线段（2）写出图中所有相等的弧（3）写出图中所有的垂直关系（4）写出图中所有的等腰三角形（5）写出图中所有的全等三角形抢答1、填空：如图3，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿.（2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；PD=＿＿；2、已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长.图4设计意图：2题与1题不同，不能用算术方法直接得出答案，需要设未知数列方程来解决，这是用代数的方法来解决几何题。（渗透方程思想）。拓展应用1：已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、（1）图中共有几对相等线段？（2）若AD=4，BC=5，CF=6，则△ABC的周长是＿＿；（3）若AB=4，BC=5，AC=6，则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.设计意图：前面我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？拓展应用2例2：如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的长.师生活动：教师引导学生进行分析，解答分析：AF=AE，BF=BD，CD=CE又AF+BF=AB,CE+AE=AC，∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF∵BD+CD=BC∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC∴（9-AF）+（13-AF）=14，即可求出AF,再求出BD，CE.解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF=AE，BF=BD，CD=CE又AF+BF=AB,CE+AE=AC，∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF∵BD+CD=BC∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC，[来源:学*科*网Z*X*X*K]即（9-AF）+（13-AF）=14，解得AF=4设计意图：会利用定理进行有关的计算，在本题中，进一步渗透方程思想，熟悉用代数的方法解决几何题。让两名学生用不同方法求解，并说明方法的合理性，比较方案的简洁性，最后由学生完成，达到一题多解得目的。拓展3：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=12cm，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，求：△PDE的周长；设计意图，通过在上个题目的基础上平移切线DE，强化切线长定理的应用，熟悉基本图形的变式，加强对数形结合的应用。四、课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？知识点：切线长定理及应用切线与切线长的区别数学思想和方法:(1)方程思想(2)数形结合思想3)解决一个数学问题,常要通过”动手实践””猜想””验证猜想(证明)””得出结论”(4)多题归一思想设计意图：此环节让学生归纳知识点和思想方法，在于培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储、提取和应用。五、作业布置:习题24.25、12、14《24.2.2切线长定理（1）》学情分析本节课的教学对象是九年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证切线长定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了切线长定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。初步具备了有条理地思考与表达的能力。他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才能的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。但对于规律的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。在第一课时的学习中，学生已经初步经历了探索切线长定理的过程，得出了线段相等和角相等提供了依据，初步具有了利用切线长定理来解决有关线段和角的计算和证明。同时，还认识了切线和切线长的区别和联系，为本节课的继续探究打下了基础。1．九年级学生的成熟稳重，对新鲜事物特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。2.九年级学生的概括能力较强，有一定的推理能力，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。3.九年级学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。4、

精讲多练是数学教学的常用方法，教师给出典型问题的分析，让学生独立完成类型题，培养学生的思维能力的同时，也加强了学生的书写能力。5、

面向全体，基于本节课的教师内容有一部分较为基础，对于自学能力很强的学生来说可以迅速完成，这时教师便应该起到宏观调控的作用，给出较为有提高性的思考问题，让学生进行思考，这样使每个层次的学生都能够充分利用时间并掌握所学知识。6、由于学生对刚刚学习的知识掌握还不牢固，所以学生在回答问题时会显得不确定，教师可以给出适当的鼓励性语言，增加学生的信心并使学生有兴趣继续学习下去。7、教学的目标便是让学生掌握本节课所讲授的内容，所以教师在重点内容的分析后，要注意学生对问题的掌握程度，进行及时的教学反馈，掌握学生的不足，从而便于后续知识的开展。根据学生的学情，本节课，我从学生已有的知识基础和生活经验出发，以生活实例引入，创设生动有趣的学习情境，本着疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在教学方法的设计上，把重点放在了探究构建数学模型的过程上，激发学生对数学学习的兴趣。总之，

数学是一门思维性很强的学科，所以教师在教学过程中要注重学生思维能力的培养，让学生独立思考，在思考过程中回忆所学知识，加强联系，从而解决问题。通过本节课的研究，旨在培养学生的逻辑推理能力，经历识图、画图、说理到简单推理的过程，培养学生的推理表达能力。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验推理论证的作用。《切线长定理（1）》效果分析在本节课学习之前，学生已经学习了切线的性质，所以本节课定理的学习，学生学起来会比较轻松。鉴于实验几何是发现几何命题和定理的有效工具，在培养学生的直觉思维和创造思维方面起着重大的作用。所以我是通过生活实例引入新课，让学生先自主探究，再合作探究，通过分组实验，让学生来发现结论，经历知识的“再发现”过程。从推理能力来说,“说理”对于学生来讲还较为陌生，不知应该说什么，根据什么，得出什么，因此鼓励学生利用性质大胆猜测。本节课体现了三个转变：1、教的转变：本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。在引导学生画图、测量、发现结论后，利用几何画板直观地、动态地展示同位角的关系，激发学生自觉地探究数学问题，体验发现的乐趣。

2、学的转变：学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境。

3、课堂氛围的转变：整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的思维活动减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。演示非常形象、具体的展示了平行线的性质。使学生很容易接受。在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的基础上，动脑分析总结出结论，不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力。通过多种方法开阔了学生思维，拓展了思路。最后学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在探究活动中的心得，感悟数学来源于生活，而又指导我们的生活。本节课学生收获很大，收到了很好的效果。激起了学生的学习兴趣，燃起了学习的热情和斗志，但在个别地方还有待再提高，特别是老师的激情要再高涨一些。24.2.2《切线长定理》教材分析《切线长定理》是义务教育新课程标准人教版九年级第24章第二课时内容。切线长定理是几何中几个重要的定理之一，它揭示了切线内容中的各种相等的量，它将数与形密切联系起来，在数学发展中起着重要作用，在现实世界中有着广泛的应用。教材的地位和作用：切线长定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。本节课是在人教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》九年级上册《圆》一章第三节切线的性质与判定新授课结束的基础上设计的一节探究课。对《圆》一章来说，从《数学课程标准》的要求到教材内容的设置，起点都比较低。主要表现在两方面：一方面表现在知识点少，即仅有切线的判定和性质两个知识点；另一方面能力要求单一，即运用切线性质与判定解决简单的实际问题。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会平行线性质在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。圆是较简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在实际中也有着广泛的应用。因此，探索和掌握好它的有关知识，对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。教材设置了一个通过探索切线长定理探究的活动，在活动中，鼓励学生充分交流，运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用平行线性质解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。为学生今后的学习打下了基础。因此，无论在知识技能上，还是在学生能力的培养及感情教育等方面，这节课都起着十分重要的作用。本节教材安排了4个例题，主要运用了切线长定理来进行推理和计算，展现了完整的推理过程，本节课主要是学生能利用切线长定理找出相等的量进而展开计算。此例的安排，一方面可以加深学生对切线长定理的理解，感受切线长定理的具体应用，让学生初步了解完整的文字推理过程，感知几何语言的逻辑性和严谨性，为循序渐进地培养学生的推理论证能力打好基础。切线长定理的应用，其前提是已知两条直线平行，因此在应用切线长定理解题时，通常需要首先判断两条直线平行，得到所求角的度数。应用切线长定理解决实际问题，虽然目前不要求严格规范的推理和书写，学生只要能够应用切线长定理正确解答即可，但是作为几何证明的准备，教学时应该要求学生能够说出每一步计算或推理的依据，尽可能注意表达的逻辑性和严谨性，逐步养成说理有据、言之有理的逻辑习惯。通过巩固和提高，激发学生利用所学知识解决问题的兴趣，培养学生的解题能力。通过设置探究题，学生综合运用知识探索图形的能力。本节主要内容是切线长定理。切线长定理是图形与几何领域的基础知识，又是今后求证线段、角、弧等的重要工具。从其所处的地位看，它是在已经学习了切线的性质与的判定的基础上，对平面内直线与圆的位置关系的进一步学习和研究，也是以后学习三角形内切圆的基础，因此本节课的学习有着承前启后的作用。教科书是让学生通过画图、测量、观察等活动，探究性质的应用 中的拐角问题。本节课的教学要循序渐进地引导学生分析、思考，让学生初步感知简单的推理，感知言之有理、有据据的习惯。教学过程中还需要关注类比和转化思想的渗透与应用。教科书上一节是切线的性质，这一节是切线长定理，学生很容易将它们弄混，怎样区分是本节课教学的难点之一。教学时，应重点就切线长定理所常见的辅助线进行必要的说明。本节课的教学重点是，切线长定理在实际问题中的应用；教学难点是，切线长定理灵活应用。重难点突破应用切线长定理解决实际问题，通过实例，让学生从具体的实例中发现数学问题，进而寻求解决问题的方法，使学生懂得数学来源于现实，服务于现实生活，同时也调动了学生的积极性，提高了学生的兴趣。其次，应用切线长定理进行必要的说理，明确要求的对象及其合理性．从身边的实际问题入手，探索切线长定理，发展学生思维能力，同时让学生体会从特殊到一般的思考问题的方法。掌握方程思想、数形结合、建模以及一题多变的数学思想。 24.2.2切线长定理课后练习如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60°B．75°C．105°D．120°2．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）A．180°-aB．90°-aC．90°+aD．180°-2a3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上任一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E。若△PDE的周长为12，求PA的长。4．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若∠P=50°则∠OBA=。5.如图在△ABC中，圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，（1）若∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数。（2）若AF=5，CE=2，BD=4，求△ABC的周长6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数。7.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A，过点A的切线交PC于点D，CD∶DP=1∶2，AD=2cm，求⊙O的半径。小测1.已知⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AE=1，BF=2，CD=3，求△ABC内切圆半径2.已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于点E、F、G、H。求证AB+CD=AD+BC3.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径。（1）求证：AC∥OP（2）如果∠APB=70°，求∠ACB的度数4.如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E。若BC=10，求DE的长。5、如图，直线、分别切圆O于A、B，且∥，切圆O于E，交、于点C、D，求证：∠COD=90°变式：若OC=6，OD=8，则CE=。《切线长定理》课后反思这节课我是这样处理的，首先联系生活实际，创设问题情境。学生的学习过程既是一个认知的过程，又是一个探究的过程。九年级学生思维灵敏、有一定的推理能力，创设问题情境，能够使学生的学习心理迅速地由抑制到兴奋，而且还会使学生把知识的学习当作一种自我需要，能引起学生内部认知矛盾的冲突，使学生在疑中生奇，疑中生趣，不断激起学生的学习欲望。教学中，让学生从实际生活场景图片中抽象出切线长的基本图形，提出一些大家都十分感兴趣的问题，由此使学生产生了强烈的求知欲望和主动探索的兴趣。其次组织合作交流，营造探究氛围。学会合作与交流是现代社会所必须的，也是数学学习过程中应当提倡的组织形式。建立平等、民主、友爱的师生关系，创设和谐、宽松的课堂氛围，是学生主动探究的前提条件。因此，我与学生一起做数学，教学中，我提供了探索材料：猜结论、探索发现、推理验证等。在鼓励学生独立思考的基础上，有计划地组织他们进行合作探究，以形成集体探究的氛围，强化学生的主体意识，培养学生的合作精神，使学生成为教学活动的主动参与者，真正实现学有所得，学有所用，学有所思，有效地培养学生的探究能力和创新思维。再次，尊重学生需要，关注学习过程。新课程理念倡导课堂教学应结合具体的数学内容，尽量采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开。本课中创设情景，让学生经历知识的形成与应用，在学习过程中去体验数学和经历数学，学生提出了与学习内容有关的问题，教师对他的提问表示肯定，并且充分尊重学生的需要，启发学生们一起来研究、解决这个问题。因为，学习归根结底是学生的事，学习效果的好坏最终取决于学生是否真正参与到学习活动中去，是否积极主动地思考，教师只是一个组织者和引导者，教师的责任更多的应该是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的时间与空间，而不是急于下结论。特别是那些需要较深入理解和需要一定的创造性才能解决的问题，更要让学生有一定的思考时间。在这节课中，探索切线长定理的过程，更是放手让学生大胆去作、比较、争论、分析归纳，课堂上百家争鸣、百花齐放，使不同层次的学生都得到了应有的发展。这样通过复习旧知,引出新知，生活情景，引入课题，从而增强学生学习活动的亲切感，同时也把学生推向主体学习地位。这为引出本课的学习内容做了铺垫。通过提问,让学生思考,针对问题,敢于发表自己的见解。紧接着让学生动手操作，然后让学生选择其中的一个方法进行验证，把验证的结论告诉大家，用这样的方法可以让学生都参与到教学中来，提高了他们动手、动脑的能力，而且增加了学习兴趣。加强了学生的逻辑推理能力。在学生充分活动的基础上，由学生自己发现问题的结论，让学生感受成功的喜悦，增强学习的兴趣和学习的自信心。要求全体学生参与，体现了新课程理念下的交流与合作。此外本节课还存在诸多的不足之处：1.在提出问题的时候，学生的思考时间较少，只有程度较好的学生思考出来，大部分学生都还在思考中。2.欠缺对“学困生”的关注，没能用更好的语言激发他们。3.没能让每位学生都有足够的时间发表自己的观点。4.没能进行很好的知识延伸和拓展。