第四章 §4.3 4.3.2 对数的运算-高中数学人教A版必修一 课件（共47张PPT）

4.3.2对数的运算第四章

§4.3对数学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.(重点)2.掌握换底公式及其推论.(难点)3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(重难点)导语同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.一、对数的运算性质二、对数的换底公式三、对数运算性质的综合运用四、实际问题中的对数运算随堂演练内容索引对数的运算性质

一问题1将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)?提示由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).问题3结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？提示由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a＞0，且a≠1，n∈R).知识梳理如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝

.(2)＝

.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaN注意点：(1)性质的逆运算仍然成立.(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.例1

计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟利用对数运算性质化简求值(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg2＋lg5＝1，进行计算或化简.跟踪训练1

计算下列各式的值：原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数的换底公式

二问题4前边我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？提示设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，问题5是否任意的logab都可以表示成logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？说出你的理由.提示是.依据当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x推导得出.知识梳理2.对数换底公式的重要推论(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).注意点：(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.(2)在具体运算中，可根据需要换底，比如我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝

或logab＝

.例2(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.方法一∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.方法二∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.延伸探究若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).因为18b＝5，所以log185＝b.反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧跟踪训练2√方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，＝

＝对数运算性质的综合运用

三例3方法一由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，方法二由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.跟踪训练3(1)用lgx，lgy，lgz表示下列各式：①lg(xyz)；lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.＝lgx＋2lgy－lgz.∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝log3c，b＝log5c，由logc15＝2得c2＝15，实际问题中的对数运算

四

某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少

，要使产品达到市场要求，则至少应过滤(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.6次 B.7次 C.8次 D.9次√例4设至少需要过滤n次，又lg2－lg3<0，又n∈N，所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.反思感悟关于对数运算在实际问题中的应用(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.

标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近

的是(lg3≈0.477)A.10－37 B.10－36 C.10－35