第七章 §7.2.2 复数的乘、除运算-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共39张PPT）

7.2.2复数的乘、除运算第七章

§7.2复数的四则运算1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.学习目标导语我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？一、复数乘法的运算法则和运算律二、复数代数形式的除法运算三、在复数范围内解方程随堂演练内容索引复数乘法的运算法则和运算律

一问题1类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？提示

复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.问题2类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.提示

猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交换律：z1z2＝z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，且a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，∴z1z2＝z2z1.(2)∵(z1z2)z3＝[(a1＋b1i)(a2＋b2i)](a3＋b3i)＝[(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i](a3＋b3i)＝[(a1a2－b1b2)a3－(b1a2＋a1b2)b3]＋[(b1a2＋a1b2)a3＋(a1a2－b1b2)b3]i＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，∴(z1z2)z3＝z1(z2z3).(3)∵z1(z2＋z3)＝(a1＋b1i)[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)]＝(a1＋b1i)[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]＝[a1(a2＋a3)－b1(b2＋b3)]＋[b1(a2＋a3)＋a1(b2＋b3)]i＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，z1z2＋z1z3＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)(a3＋b3i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i＋(a1a3－b1b3)＋(b1a3＋a1b3)i＝(a1a2－b1b2＋a1a3－b1b3)＋(b1a2＋a1b2＋b1a3＋a1b3)i＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，∴z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__________________.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有知识梳理(ac－bd)＋(ad＋bc)i交换律z1z2＝____结合律(z1z2)z3＝_______乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3例1

计算下列各题.(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开；②再将i2换成－1；③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.反思感悟跟踪训练1(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于A.2i－13 B.13＋2iC.13－2i D.－13－2i√(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)√因为(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，复数代数形式的除法运算

二问题3类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？提示

复数除法的法则：求解过程：(1)设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi.∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.实际过程中一般采用下面的过程：知识梳理复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝_______________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数.

(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为A.3＋5i B.3－5iC.－3＋5i D.－3－5i例2√∵z(2－i)＝11＋7i，－2＋i复数的除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.反思感悟跟踪训练2√在复数范围内解方程

三例3(课本79页例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).(1)求b，c的值；∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.(2)试判断1－i是否为方程的一个根.由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根.延伸探究若将条件中的“1＋i”改为“1＋ai”，判断a与c之间的关系.因为实系数复数方程的两根互为共轭复数，所以另一根为1－ai，所以(1＋ai)(1－ai)＝c，即1＋a2＝c.故a与c之间的关系为1＋a2＝c.反思感悟解决复数方程问题的方法与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.跟踪训练3

已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.课堂小结1.知识清单：(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.(3)在复数范围内解方程.2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.随堂演练

12341.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝