2023年广州市调研模拟数学试题及答案理科数学

2023年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学

注意事项：

i.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的.

(1)若全集U=R,集合A=H1<2"<4},B={X|X-1>0},则AI率8=

(A){x[l<x<2}(B){x[0<x«l}(C){x[0<x<l}(D){邓<x<2}

(2)已知a,beR,i是虚数单位，若a—i与2+历互为共轨复数，贝i」(a+0i)2=

(A)3+4i(B)5+4i(C)3-4i(D)5-4i

(3)下列说法中对的的是

(A)“/(0)=0”是“函数/(x)是奇函数”的充要条件

(B)若p:三叫)£R,X；—x()—1>0,则—ip:VxeR,x2-x-1<0

(C)若〃八乡为假命题，则p,均为假命题

TT1TTI

(D)命题“若。=4,则sina=2”的否命题是''若aw乙，则sinaw上”

6262

(4)已知/(%)在R上是奇函数，且满足/(x+4)=/(x),当XG(O,2)

时,〃x)=2d,则〃7)=

(A)2(B)-2

(C)-98(D)98

(5)执行如图所示的程序框.图,，输出的结果为

(A)(-2,2)(B)(Y,0)

/输出(X,W

(C)(-4,-4)(D)(0,-8)

(6)各项均为正数的等差数列｛2｝中，4a9=36,则前12项和号2的最小值为

(A)78(B)48

(C)60(D)72

(7)一个几何体的三视图如图所示,

的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径,

几何体的体积为

侧视图

(A)将(B)与(C)3

(D)

64

IXH

3ITt

(8)己知sine=g，且夕£|展71,函数/(x)=sin(<yx+°)(<y>0)的图像

5

的相邻两条对称轴之间的距离等于则的值为

(A)一|(B)q4

(c)i(D)

2x-y-2<0,

X

(9)若实数满足约束条件・2x+y-4>0,则土的取值范围是

y

y42,

(A)—,2(B)J.2(C)2(D)[1,2]

32,2r

(10)过双曲线1-与=1(。>0,b>0)的一个焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为点A,与另一条渐

ab"

uuuu

近线交于点8,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为

(A)A/2(B)A/3(C)2(D)石

(11)将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1

人，则不同的保送方法共有

(A)150种(B)180种(C)240利।(D)540种

(12)已知AABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(夜,0),(0,-2),O为坐标原点，动点P满

UH'uuruunuun

足CP=1,则0A+08+0P的最小值是

(A)5/3—1(B)dll—1(C)73+1

(D)vn+i

第n卷

本卷涉及必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题〜

第24题为选考题，考生根据规定做答.

填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13)已知向量a,万满足|力|=4,a在〃方向上的投影是,，则。访=.

2

(14)已知cos(e+7t)=—g,则sin(26+^)=.

(15)(五+乌)展开式中的常数项为180,则。=.

(16)已知y=〃x)为R上的连续可导函数,且V(x)+/(x)>0,则函数g(x)=V(x)+l(x>0)

的零点个数为.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算环节.

(17)(本小题满分12分)

设S”为数列｛4｝的前〃项和，已知q=2,对任意〃eN*,都有25“=("+1)4,.

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

(II)若数列4---------卜的前〃项和为7；,求证：一W7；<L

储&+2)12

(18)(,本小题满分12分)

如图，在三棱柱A6C—4月。中，侧棱44,_L底面ABC,AB=AC=2A4,,N84C=120°,D,Dt

分别是线段BC，4C的中点，过线段AO的中点P作8C的平行线，分别交AB,AC于点M,N.

（I）证明：政7，平面4。04；

（II）求二面角A-AM—N的余弦值.

（19）（本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年

入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，局限性80的年份有

2023,不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率

作为相应段的概率，并假设各年的年入流量互相独立.

（I）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（II）水电站希望安装的发电机尽也许运营，但每年发电机最多可运营台数受年入流量X限制，并有

如下关系；

年入流量X40<X<8080<X<120X>120

发电机最多可运营台数123

若某台发电机运营，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运营，则该台发电机年亏损

800万元，欲使水电站年总利润的均值达成最大，应安装发电机多少台？

（20）（本小题满分12分）

226

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：5r+/=1（。＞人》1）的离心率0=券，且椭圆C|上一点

M到点Q（0,3）的距离的最大值为4.

（1）求椭圆G的方程;

（II）设N为抛物线G：y=r上一动点，过点N作抛物线的切线交椭圆G于8,

C两点，求AA3C面积的最大值.

(21)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=e*—or(e为自然对数的底数，a为常数)在点(0,1)处的切线斜率为—1.

(J)求a的值及函数/(x)的极值；

(II)证明:当x>0时，x2<ev；

(III)证明：对任意给定的正数c,总存在与，使得当xe(xo,+8)，恒有f<ce".

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图NACB=90。，CDLA6于点。，认为8。直径的圆。与交于点E.

(I)求证：BCCE=ADDB；

(II)若3E=4,点N在线段BE上移动，4)NF=骄,

N/与e。相交于点F,求NF的最大值.

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

x=t+l,[x=acos

在平面直角坐标系中，已知曲线G：\(，为参数)与曲线G：\(。为

[y=l-2l[y=3sin。

参数，〃>0).

(I)若曲线a与曲线G有一个公共点在x轴上，求。的值；

(H)当。=3时，曲线G与曲线G交于A,8两点，求A,B两点的距离.

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知定义在R上的函数m|+|x|,meN*，存在实数无使/(x)<2成立.

(I)求实数加的值；

41

(II)若a,。21,f(a)+于=4,求证：—I—23.

aB

2023年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学答案及评分参考

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可根据试题的重要考察内

容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的限度决定后继部分的给分，但不得超过该部分对的解答应得分数的一半；假如后继部分的解答

有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表达考生对的做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.选择题不给中间分.

选择题

(1)C(2)A(3)D(4)B(5)B(6)D

(7)A(8)B(9)B(10)C(11)A(12)A

填空题

_7

(13)2(14)(15)2或一2(16)0

9

(其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分)

三.解答题

(17)证明：(I)由于2s,=(〃+l)a”,

当〃N2时，2s“_]=na『i

两式相减，得2a“=(n+l)a„-na„_,,

即(〃-l)a“=雁*,

所以当时，组=也.

nn-\

所以％=色.

n1

由于q=2,所以〃“=2〃.

4

(II)由于。〃=2〃，bn--------,〃£N*,

q4+2)

4111

所以b〃=

2n(2n+2)〃(〃+1)n〃+1

所以北=4+为+.••+”

11

nn+1

/1+1H+1

由于」一＞(),所以1一一L＜i.

〃+1〃+1

由于/(〃)=」一在N*上是单调递减函数,

n+1

所以1--!一在N*上是单调递增函数.

n+\

所以当〃=1时，7；取最小值;.

所以gw7；＜l.

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(18)(I)证明：由于AB=AC,。是BC的中点，所以，BCLAD.

由于M,N分别为A3,AC的中点，所以MN〃BC.

所以MNLAD.

由于A&_L平面ABC,MNu平面48C,所以

又由于AQA4,在平面ADD,4内，且A。与相交,

所以MN_L平面AZ）AA.

（II）解法一:连接过A作尸于E,

过E作E/于b,连接AF.

由（【）知，平面AEA，

所以平面AEAJ_平面AMN.

所以AEJ_平面AMN,则AM±AE.

所以RMJ.平面AEF,则AyM1AF.

故NAEE为二面角A-A.M-N的平面角（设为0）.

设A4=1,则由AB=AC=2A41,/射。=120",有/84。=60,AB=2,AD=1.

又P为AO的中点，则〃为A8的中点，所以AP=LAM=L

2

在RtA441P,4尸=手，在RIAAAM中，AM=日

AA.-AP石AA.-AM正

从而4E=-------=——,AF=-------=——.

4P52

Grrl.aAEy/lO

所以sin夕=——=---.

AF5

由于NAPE为锐角，

所以cos6=Jl—sin2®=『半=孚.

故二面角A-A"-N的余弦值为率.

解法二：设A41=1.如图，过劣作平行于4G,认为A坐标原点,分别以乖，福，M的方向

为x轴，y轴，z轴的正方向,建立空间直角坐标系。一孙z（点0与点4重合）.

则4（0,0,0），A（o,o,l）.

由于P为A£＞的中点，所以M,N分别为AB,AC的中点,

45

x

出1.

故1

MT(2TT

所以丽'=3：,v=(0,0,1),W=(V3,0,0).

设平面AA|M的法向量为％=(x，y,zj,

故有«'%zj•佟,9)=0'

则m竺:n.•AM=0,

即{L

nJ_44/•AA=0,

}(Xi，X，Z]”(0,0,l)=0.

近1-A

从而(亍x5，+ZLQ取Xi=1,则y=S,

^4=0.

所以“=(1,—G,o)是平面441M的一个法向量.

设平面AMN的法向量为〃2=(9,%，Z2)，

“也即小・2=0,故有⑸3)[彳，川-0,

1W；]〃,•丽=0,I.、/厂\

(x2,y2,z2)*(V3,0,0j=0.

,,----XH必+Z)—0,

从而彳2722722取%=2,则Z2=—l,

\[?>x2=0.

所以叼=(0,2,—1)是平面的一个法向量.

设二面角A-A.M-N的平面角为氏又。为锐角，

则cos8=J।।-[

|闻・同

N，O)・(O,2,T)[岳

2*75一5-

故二面角A-A,M-N的余弦值为率.

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(19)解：(I)依题意4=P(40<X<80)=2=],

35751

=P(80<X<120)=—,鸟=P(X>120)=二=一

50105010

由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为:

P=C；(1—6)4+C：”6)3A=*J+4X9、31

X——

10；10

9477

2211.=0.9477.

10000

(H)记水电站年总利润为丫(单位：万元),

由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台.

①安装1台发电机的情形:

由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运营的概率为1,

相应的年利润y=5000，EK=5000x1=5000.

②安装2台发电机的情形：

当40<X<80时，一台发电机运营，此时y=5000—800=4200,

因此P(y=4200)=P(40<X<80)=6=0.2.

当X280时，两台发电机运营，此时y=5000x2=10000,

因此P(y=10000)=P(X280)=£+6=0.8.

所以y的分布列如下：

Y420010000

p0.20.8

所以£丫=4200x0.2+10000x0.8=8840.

③安装3台发电机的情形：

当40<X<80时，一台发电机运营，此时y=5000—800*2=3400,

因此尸(丫=3400)=P(40<X<80)=8=0.2.

当80WXW120时，两台发电机运营，此时丫=5000*2—800=9200,

此时尸(丫=9200)=P(80KX«120)=鸟=0.7.

当X>120时，三台发电机运营，止匕时y=5000x3=15000,

因此P(y=15000)=P(X>120)=6=0.1.

所以y的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以£丫=3400x0.2+9200x0.7+15000x0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达成最大，应安装2台发电机.

(20)解：(I)由于e2===_——所以/=必2.

a2a24

22

则椭圆方程为。+与=1,即/+4y2=4b2.

4b2b2-

设M(x,y),则=7(x-0)2+(y-3)2=74^-4/+(y-3)2

=J3y2-6y+4.2+9=J-3(y+Ip+画+]2.

当y=—l时，|有最大值为44。+12=4.

解得=1,则々2=4.

2

所以椭圆G的方程是:+V=i.

(H)设曲线C：y=》2上的点N”,尸)，由于y'=2无,

所以直线的方程为：y—产=2f(x—)即y=2比—产.①

将①代入椭圆方程一+>2=1中整理，

4

得(1+16户)/-16/彳+4/-4=0.

则有△=(16r)2_4(1+16/)(4〃-4)=16(-Z4+16产+1).

口16f34尸—4

且X]+%2=----7，%1工2=----7.

1-1+16/1-1+16”

2

所以13cl=Jl+4r2|X]-91=71+4r.^(x,+x2)—4x,x2

_4，1+4尸-+16、+1

1+16-

设点A到直线BC的距离为d,则d=I：=，.

16,1+4产

4

CCI.—.3.01,__.,14>/l+4-JT+16厂+11+16/'

所以AA8C的面积S=一|BC|d=-----------——--------•—..

221+16〃1641+4产

二-V-r4+16r2+l=-J_(5_8)2+65<-.

888

当，=±2行时取至!1"=”，经检查此时A>0,满足题意.

综上，A4BC面积的最大值为叵.

8

(21)(I)解：/(x)=ev-ax,得/'(x)=e*-a.

由于/，(0)=1—。=一1,所以a=2.

所以/(x)=e'—2无，f\x)=ex-2.

令/(幻=0,得x=ln2.

当x<In2时，/'(x)<0"(x)单调递减；当x>In2时，/'(x)>0,/(x)单调递增.

所以当x=In2时，/(%)取得极小值,且极小值为/(In2)=eln2-21n2=2-ln4,/(x)无极大值.

(II)证明：令g(x)=e*-x2,则g，(x)=e*-2x.

由⑴得g'(x)=/(x)3/(ln2)〉0,故g(x)在R上单调递增.

所以当x>0时，g(x)>g(0)=l>0,即/〈el

(III)证明一：①若c21,则e*Wee'.

由(II)知，当x>0时，/<e".所以当x>0时，，x2<cev.

取毛=0,当xe(x0,+oo)时，恒有无2<ce'.

②若0<c<L令女=—>1,

要使不等式fvce”成立，只要e">"2成立.

而要使e'>"2成立，则只要工>ln(Ax2),只要%>21nx+lnA:成立.

2%-2

令h(x)=x—21nx-lnZ,则h'(x)=1——=------.

xx

所以当x>2时，h\x)>0,/z(x)在(2,+8)内单调递增.

取/=16左>16,所以/z(x)在(%o，+8)内单调递增.

又h(x0)=16左一2ln(l6k)-lnk=8伏一In2)+3(&-InZ)+5人，

易知k>]nk,k>\n2,5k>0.

16o

所以/z(x)>0.即存在/=一，当xG(4,+oo)时，怛有x<cex.

0C

2x

综上，对任意给定的正数c，总存在/,当xe(x0,+oo)时，恒有x<ce.

4

证明二：对任意给定的正数c,取％=7，

2士士RY7X2

由(H)知，当x>0时，e，>/,所以e'=e2・e2>2J-.

12；\2)