2023年经济数学基础积分学综合练习

综合练习

一、单项选择题

1.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点（1,4）的曲线为（A）.

A.y=x2+3B.y=%2+4C.y=2尤+2

D.y=4JC

对的答案：A

2.下列等式不成立的是（).

A.e'dx=d(eA)B.-sinxdr=d(cosv)»

C.-\=dx=dVxD.Inxdx=d(—)

2yjXX

对的答案：A

X

3.若Jf(x)dx=-e5+c,则尸*）=（）.

X«Xi_£i_£

12

A.-e-2B.-e-C.-eD.--e2

244

对的答案：D

4.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.

A.jcos(2r+l)dxB.Jx71-x2dx

C.Jxsin2xdxD.f—^-dx

J1+x2

对的答案:C

1_

5.若//(犬)6"&=-6*+。,则/(入)=().

AC-V《

A.—1B.—n—1D.

XX

对的答案:C

6.若F（x）是/（x）的一个原函数，则下列等式成立的是（）.

A.=F(x)B.f7(x)ck=FW-F(a)

rbtb

C.[F(x)dx=f(b)-f(a)D.[f'(x)dx=F(b)-F(a)

JaJa

对的答案：B

7.下列定积分中积分值为0的是().

1A-t

Afe-e1

A.-------axBR.f-♦--+-?~—~一ax

2JT2

C.f(x3+cosx)d¥D.f(x2+sinx)dx

J一4J-n

对的答案：A

8,下列定积分计算对的的是().

AJ12Adr=2B.J：dr=15

C.j|sinx|dr=0D.sinAdx=0

~2J-n

对的答案:D

9.下列无穷积分中收敛的是().

0+oor+oof+<X>1P+001

A』InxdxB.J。evdxC.IFtUD.[〒心

AX2>电C

对的答案:C

10.无穷限积分「”［改=(

).

X

A.0B.--C.-D.oo

22

对的答案:C

二、填空题

1.dje*dr=

应当填写:

2.函数/(x)=sin2x的原函数是

应当填写：-上cos2x+c(c是任意常数)

2

3.若/'(X)存在且连续，则[J4(x)]'=.

应当填写:/'(x)

4.若jf(x)dx=(x+1尸+c,则/(x)=.

应当填写：2(x+l)

5.若J/(x)dx=F(x)+c,则Je-x/(e-v)ck=.

应当填写：-F(e-*)+c

6.—[ln(x2+l)dx=.

dxJl--------

应当填写：0

7.积分「一「一7dx=0b.

JT(x2+l)2----------

应当填写：0

8.无穷积分「8」丁也是。。。。.(判别其敛散性)

J。(x+1)2

应当填写：收敛的

9.设边际收入函数为R(g)=2+3/且R(0)=0,则平均收入函数为

3。・

应当填写：2+2q

2

三'计算题

1.dr

Jx+2

解J-——=|(x-2)dx=-^x2-2x+c

.1

sin一

2.计算J—^dx

sinl

解(―=-fsin—d(—)=cos—+c

JxJxxx

3.计算

j，

解

xsinxdx

解xsinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+c

5.计算j(x+l)lnxdr

解f(x+l)lrLrdx△(尤+["十。dr

J22Jx

j,一

—一(x~+2x)lnx--------尤+c

24

6.计算

1

7.

1xjl+lnx

解f—,—f—,=d(l+Inx)—2Jl+In-2(V3—1)

xVl+InxVl+lnx11

8.2xcos2Mr

Jo

乃乃

r生1R1r-15

解：J[o2xcos2Adx=—xsin2x--|2sin2Adr=—cos2x~=

2I。2」。402

9.「ln(x+l)dx

J0

解法一Joln(x+l)dx=xln(x+1)|0-1-J):产=e-l-£'(1---

=e-l-[x-ln(%+l)]|*-1=lne=1

解法二令〃=x+l,则

J；'ln(x+l)dx=J；Inudu=MIn；-J：〃—d«=e-“;=e—e+I=l

四'应用题

1.投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为C（x）=2x+40（万元/

百台）.试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成

本达成最低.

解当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

AC=J：（2x+40）dx=（x2+40x）：=100（万元）

J；C'(X)CU+CO_X2+4OX+36

x+40+理

XXX

----'36

令C(x)-1-2―-0,解得x=6.

x1

x=6是惟一的驻点，而该问题的确存在使平均成本达成最小的值.所以产量为6

百台时可使平均成本达成最小.

2.已知某产品的边际成本C（x）=2（元/件）,固定成本为0,边际收益”（X）

=12-0.02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利

润将会发生什么变化？

解由于边际利润

L'(x)=R(x)-C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令L'(x)=0,得*=500

龙=500是惟一驻点，而该问题的确存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最

大.

当产量由500件增长至550件时，利润改变量为

「550|550八八「〜一、

02

AL=j；oo(lO-O.O2x)dx=(lOx-O.Olx)|5(i()=500-525=-25(兀)

即利润将减少25元.

3.生产某产品的边际成本为C'(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=l00-

2x(万元/百台)，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大?从利润最大时的产量再生

产2百台，利润有什么变化？

解L'(x)=R'(x)-C'(x)=(100-2x)-8AT=100-10AT

令L'(九)=0,得光=10(百台)

又*=10是L(x)的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故x=10是〃x)的最大

值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.

又L=J：L'(x)dx=J：(l00-10x)dx=(100x—5/).=一20

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.。。

4.已知某产品的边际成本为。'(/=钠-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固

定成本为18(万元)，求最低平均成本.

解:由于总成本函数为

C(q)=J(4q-3)dq=2/-3^+c

当4=0时,C(0)=18,得c=18

即C(q)=2q2-3q+18

又平均成本函数为

他)=逊吗-3+羽