2023年高考第一模拟试题：数学（新高考Ⅱ卷A卷）（全解全析）

2023年高考数学第一次模拟考试卷

数学•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时、将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合4={疝＜》＜2},8=卜|》2,,1},则408=（）

A.[-1,2）B.S，2）

C.[-1,3）D.[-1,2]

【答案】A

【分析】由一元二次不等式解得8={xl-L.xJ},再根据集合并集运算即可解决.

【详解】由题知，/={疝＜x＜2},8={x|X：,1},

由X：1,即（x-l）（x+l）”0,解得-13X,1,

所以8={x|-kx,1},

所以4uB={x|-L,x＜2}.

故选:A.

2.（3-2i）（2-i）=（）

A.8+7iB.8-7iC.4+7iD.4-7i

【答案】D

【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.

[详解]（3_2i）（2_i）=6_4i_3i_2=4_7i.

故选：D

3.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,....9填入3x3的方

格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的

正整数1,2,3..../填入〃xw个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这

个正方形叫作〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为S"，如S?=45,那么

10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为()

洛书幻方

A.555B.101C.505D.1010

【答案】C

【分析】利用等差数列求和公式得到品)=5050,进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的

数的和.

【详解】由题意得：*=1+2+3+…+100=出当空分=5050,

故1()阶幻方福行、每列、每条对角线上的数的和均为5050+10=505.

故选：C

4.己知)=(2,-1),B=(x+1,4),且一〃,则忸+可=()

A.V5B.2亚C.V10D.2M

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解x=l,进而根据模长公式即可求解.

【详解】由1=(2,-1),月=(x+L4),得无在=2(X+1)-4=0=X=1,

所以24+1=(6,2),忸+*，62+22=2布,

故选：D

5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、

丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有()

A.540种B.180种C.360种D.630种

【答案】A

【分析】首先将6名志愿者分成3组,再分配到3个社区.

【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况,

第一类：6名志愿者分成1+2+3,共有C：C；C：A；=360（种）选派方案,

第二类：名志愿者分成共有写4A；

61+1+4,=90（种）选派方案,

C2c2c2

第三类：6名志愿者分成2+2+2,共有士产A；=90（种）选派方案,

所以共360+90+90=540(种)选派方案,

故选：A.

已知-1,则cos[2a+g)=(

6.sin[a+^)=)

3

72

A.——BC.D

9-43-?

【答案】D

【分析】利用倍角公式cos2a+01=l—2sin21c

即得.

【详解】因为sin（a+t）=2

3

所以cos(2a+W=1-2sin2fa+—\=1-2xi=—

\6/99

故选：D.

7.如图，在三棱锥力-BCD的平面展开图中，四边形8CEZ）是菱形，BC=l,BF=g,则三棱锥

4-BCD外接球的表面积为（)

GG4)

B.2兀C.4兀D.8兀

【答案】B

【分析】画出三棱锥4-8C。的直观图，由已知数据可得BC±AC,据此得到45的

中点。为三棱锥4-88外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可得解.

【详解】三棱锥"-BCD的直观图，如图所示，

则BC=8D=/C=4)=1,4B=C，

所以=介，BC2+CA2=AB2,则BC1AC,

取N8的中点O,连接O。，OC,则O/=O8=OC=。。，

所以。为二棱锥A-BCD外接球的球心，半径R=LN8=也，

22

故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4成2=2兀.

8.若对Vx,yeR.有八x+y)=/(x)+/(j，)-4,则函数g(x)=—1+/(x)在［-2018,20网上的最大

X+1

值和最小值的和为()

A.4B.8C.6D.12

【答案】B

【分析】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到/(x)+/(r)=8,设具有奇函数性质的新函数

h(x)=f(x)-41再证明双幻=』为奇函数，根据奇函数十奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇

x+1

函数性质得>=奴工)+/外，再利用函数图像的平移得到最终最值和为8.

【详解】解：“，ywR.有/(x+v)=/(x)+/(y)-4,

取产尸0,则/(0)=/(。)+/(0)-4,故/(0)=4,取九="则/(0)=/(")+/(t)-4,故〃x)+/(-x)=8,

令力(x)=/(x)-4,则力(工)+6(-乃=/1)-4+/(-工)-4=8-4-4=0,故%(x)为奇函数，

2Y2x

gW=——r+/W>设=

x+1x~+1

则g(x)i(x)+〃(x)+4,"(r)=_77rMx),故火x)为奇函数，故…(x)+A㈤为奇函数，故函

数V在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是0,

而g(x)是将函数夕的图像向上平移4个单位，即在［-2018,2018］上最大值和最小值均增加4,

故函数g(x)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故选：B.

【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性，我们需要构造新函数使其具有奇偶性，然后

再利用平移的特点，得到最终最值之和.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知a+2b=ab,则下列表达式正确的是()

A.a>2,b>\B.a+b的最小值为3

C.必的最小值为8D.("2)2+(b-l)2的最小值为4

【答案】ACD

21

【分析】对A,通过用。表示6以及川6表示“，即可求出。,6范围，对B,对等式变形得三+；=1,

利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出必最小值，对

D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.

【详解】对A选项，Va,b>0,a+2b=ab,即6(“-2)=a,贝1照=3,

a-2

则二>0,且解得。>2,

a-2

•;a+2b=ab,则—=2"则。=~~->0,R./>>0,解得人>1,故人正确；

b-\

21

对B选项，-ayb>0,a+2b=ab,两边同除必得=+7=1,

ab

则4+6=(〃+/2+"=3+@+%3+2他⑤=3+2也，

yab)ba\ba

当且仅当:=叁，且2+：=l,即a=2+也,6=0+1时等号成立，故B错误；

baab

对C选项，a+2h=ah>2y/2^h,-：a,b>0,解得疝Z2&，故

当且仅当a=26,且出>=8,即。=4,6=2时等号成立，故C正确;

2

对D选项，由人选项6=，^代入得（。一2）2+3-1）2=（〃一2）2+（，一一11

a-21〃-2）

=（"2）WW（i，T（i号一

4

当且仅当（。-2）2=（“_2/，。>2,即a=2+0时，此时6=&+1时，等号成立，

故D正确.

故选：ACD.

10.设圆0“2+必=4,直线/:2x+y+5=0,尸为/上的动点.过点P作圆。的两条切线〃，PB,

切点为4B,则下列说法中正确的是（）

A.直线/与圆。相交

B.直线恒过定点卜|,-g）

C.当P的坐标为（-2,-1）时，NAPB最大

D.当1Poi-MBI最小时，直线Z8的方程为2x+y+4=0

【答案】BCD

【分析】求出圆心。到直线/的距离d=6.对于A：由d>r直接判断；对于B：设尸（切,-2加-5）.

求出以。尸为直径的圆。的方程，得到直线”：-m（》+2y）+5y+4=0.证明直线恒过定点

对于C：先判断出

2

要使“4尸5最大，只需NOPZ最大.在直角△。尸/中，由sin/O&=而.求出OP最小时P（-2,-1）,

即可判断；对于D：利用面积相等得到要使|尸。“工团最小，只需|尸。|最小，即OPJJ时，得到P

的坐标为（-2,-1）,求出直线工员

【详解】圆0:》2+/=4的半径r=2.

设圆心O到直线/：2x+y+5=0的距离为d,则d=-M==旧.

V22+l2

对于A：因为d=JI>r，所以“线/与圆。相离.故A错误:

对于B：尸为，：2x+y+5=0上的动点，可设尸（加,一2加一5）.

因为以，P8为过点P作圆。的两条切线，所以P4上。4PBLOB.

所以0,4尸,8四点共圆，其中OP为直径.

设OP的中点为-竽），则囱=J（2+1雪彳,

所以圆°为口一5J+（ve）即/-加x+V+（5+如）J，=0.

所以直线为圆。和圆。的相交弦，两圆方程相减得：-加x+（5+2机）y+4=0.

即直线AB：一加（x+2歹）+5y+4=0.

8

x=—

x+2y=0

由5尸4=0解得：所以直线Z8恒过定点故B正确；

y=-

5

对于C：因为AOR4和ZkOPB为直角三角形，且10Pl=|。尸|,|04|=|03|,所以40以装0匠8,

所以N0PA=N0PB,所以NAPB=2Z0PA.

要使4/P8最大，只需N0P4最大.

042

在直角AOP4中，sinZOPJ=-=—.

要使NOPA最大，只需|。尸|最小,所以当OPJJ时，|0P|=d=石最小,此时％•勺=-,所以％=；,

所以直线OP：y=gx.

y=­x\x=—2/、

由厂2，解得：，，即当尸的坐标为(-2,-1)时，//P5最大.故C正确；

2x+y+5=0^=-1

对于D：因为直线为圆。和圆。的相交弦，所以且48被OP平分.

所以四边形04尸8的面积为5=(归0|・|/8|.

而四边形O4P8的面积还可以表示为2%口=2x-|。才.1例力。耳2-22

所以S=；|尸。|•I4|=.2.

要使|「0卜|48|最小，只需户0|最小,即OP_L/时,得到P的坐标为(-2,-1).

所以圆£):/+2》+卜2+了=0,

两圆相减得到直线N8：2x+y+4=0.故D正确.

故选：BCD.

11.如图，正四棱锥E-Z8CD的底面边长与侧棱长均为。，正三棱锥尸-NDE的棱长均为a,()

B.正四棱锥E-Z8CQ的内切球半径为

C.E,F,A,8四点共面

D.平面"D"平面BEC

【答案】ACD

【分析】结合选项逐个验证，线线垂宜通常转化为线面垂直，锥体的内切球半径通常采用分割法求

解，四点共面借助余弦定理来判断，平面与平面平行通常借助线面平行来判断.

【详解】对于A,取4。的中点G,连接EG,FG,则4Z)，EG,ADLFG,

又EG,FGu平面E尸G,EGQFG=G,所以4D_L平面EFG,

因为EFu平面EFG,所以NOJ.EF,又ADHBC,所以EFJ.BC,故A正确.

E

对于B,设内切球半径为一，易求得四棱锥E-48C。的一个侧面的面积为5=2・/.§出色=302,

234

所以1Q2=1/./+4，.避^〃2.1，

32334

解得/=(逐一也)一故B错误.

4

对于C,取力E的中点“，连接。"，FH,BH,DB,易知AELDH,AE上BH,

所以NDHE,分别是二面角。-4E-尸，二面角。一4E—8的平面角，易求得

DH=FH=BH$a，所以cos/DHF=也箫常~

PH1+BH--DB\

cus/DHB=

1DHBH3

又NDHF,ZDHBe[O,Tt],所以NDHF与/DHB互补,所以E,F,A,8共面，故C正确;

因为E,尸，A,B共面，乂EF=4B=AF=BE,所以四边形力8M为平行四边形，所以4F//BE,

BEu平面BEC,4广工平面8EC,所以〃平面8EC,

同理〃平面3EC,又AD,4尸u平面4。尸，ADC\AF=A,所以平面E4。//平面BEC,故D

正确.

故选：ACD.

12.函数/(x)=ln(e2*+l)-x,则()

A./(x)的定义域为RB./(》)的值域为R

C./(x)是偶函数D./(x)在区间［0,+8)上是增函数

【答案】ACD

【分析】由题可得函数的定义域判断A,根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B,

根据奇偶性的定义可判断C,根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.

【详解】因为函数/(x)=ln(e2、+l)-x,

所以函数/(x)的定义域为R,故A正确；

因为/(》)=111(铲+1)-》=11112*+1卜1116*=111^~^=111g'+e"),

又1+b之2,当且仅当e'=e>即x=0取等号，所以/(x)21n2,故B错误；

因为f(-x)=ln(eT+e，)=f(x),所以/(x)是偶函数,故C正确;

因为函数七炉在［。,+8)上单调递增，且t=e-1，根据对勾函数的性质可知”=，+；在上单调

递增，

又函数V=ln〃为增函数，故函数/(x)在区间［0,+8)上是增函数，故D正确.

故选：ACD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量X~N(2Q2),若P(X>4)=0.2,则尸(0<X<2)=

【答案】忒3

【分析】根据正态分布的对称性计算可得答案.

【详解】因为X-NQ,/),尸(X>4)=0.2,所以对称轴为x=2,

所以尸(X<0)=0.2,

二尸(0<X<2)=0.5-0.2=03

3

故答案为：—.

14.已知x>0,y>0,且x+y=6,则(l+x)(l+y)的最大值为

【答案】16

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为x>0,N>0,且x+y=6,

所以(l+x)(l+y)=l+x+v+Ay=7+^47+1^^J=16,

当且仅当x=y=3时等号成立.

故答案为：16

15.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,96........经

过一定的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,科学家发现，新数列的

各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、"谷神星''等行星，这个新数列

就是著名的“提丢斯-波得定则根据规律，新数列的第8项为.

【答案】19.6

【分析】分析原数列、新数列的规律，从而求得正确答案.

【详解】原数列，从第3项起，每一项是前一项的两倍，所以其第8项为96x2=192,

新数列，是将原数列的对应的项：先加4,然后除以10所得，

所以，新数列的第8项为(192+4)X0=19.6.

故答案为：19.6

16.已知椭圆马+m=1伍>6>0)与抛物线/=4用(2>0)有相同的焦点尸，点A是两曲线的一个

公共点，且轴，则椭圆的离心率是.

【答案】72-1

【分析】由尸(P，。)可得/=/+/,结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关

于离心率e的方程，结合ew(0,1)可解方程求得结果.

【详解】由题意知：尸(p,o)是椭圆*■+£=l(a>b>0)的焦点，.•./=从+22；

•.,4F_Lx轴，，”（p,2p）或Z（p,-2p）,

代入椭圆方程得：4'+丝-=1，二二+#-7=1,

a1b2a'a-p2

又椭圆的离心率e="，.•.K+#y=/+f=1,

aa一pl-e

解得：e2=3±2V2=（1±V2j,乂c£（0」），=

故答案为：y[2—\•

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.已知数列｛凡｝为公差不为0的等差数列，%=3,且log?q,log?%，1咤2%成等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列也,｝满足”=三一，求数列也｝的前〃项和.

【答案】（1）%="+1

n

⑵

2〃+4

【分析】（1）根据1咤2q，log2?，logZ%成等差数列以及出=3可求出首项和公差，再根据等差数

列的通项公式即可求解；

（2）先求出“=一二-一］，再根据裂项相消法求和即可.

〃+1〃+2

（详解】（1）log2a,,log2a3,log2a7成等差数列,

/.2log2a｝=log2%+log2a7=log,%%,

二a,2=q%,

设数列｛%｝的公差为d("wO),

(q+2d)~=%(q+6d),

/.+4/=6ald,

丁dwo,解得：q=2/,

ci2=q+d=3d=3,

**.t/=1,q=2d=2,

；・an=a,+(〃-l)d=2+n-\=〃+l；

,1111

(,)**b—-------=------------------=----------------

~'a,4+i(w+l)(«+2)n+\n+2'

,数列也｝的前〃项和为4+&+L+D=：-:+：-!+L+」--[1n

2334〃+1/2+22〃+22〃+4

18.在中，A,B,C所对的边为a,h,c,满足从+c2_/=bc.

⑴求A的值;

(2)若4=2,B=—,则“Be的周长.

【答案】(呜；

(2)2+0+逐.

【分析】(I)根据余弦定理直接求解cos/即可求出A角；

(2)首先结合(1)可知。=乃-jr'-2Jr=看STT，然后根据正弦定理求出6,。长度，即可求出三角形

周长.

【详解】⑴由从+/-/=儿

cosZh也'卫=生」,

2bc2bc2

V^G(0,^),：.A=y.

7T5%

(2)'：A-—,B=—:.C=7c~—

34f4T-T7

.c.(5万、.(717l\.71冗乃.乃V6+V2

/.smC=sin——=sin—+—=sm—cos—+cos-sin—=------

U2J(664644

2_b_c

aC

根据正弦定理=~r，得由42根+正，

sinAsin3sine

224

国毕得b=2®»e=y/2+—;

33

因此三角形周长为“+b+c=2+半+后+等2+A+芯.

19.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖

台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群

众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”,

否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示:

女篮球迷非女篮球迷总计

男2026

女14

总计50

（1）补全2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？

（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽

取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)~

附：K2,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(6+力

2（八即）0.050.010.001

k。3.8416.63510.828

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.

4

（2）分布列见解析，期望是

【分析】（I）根据已知数据完善列联表后计算K?可得结论；

（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量X的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计

算期望.

【详解】（1）列联表如下：

女篮球迷非女篮球迷总计

男20626

女101424

总计302050

“250x（20x14-10x6）2/

K-=----------------—»6.464<6.635,

26x24x30x20

没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.

（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”

有4人，女“女篮球迷”有2人,

X的可能值是0,1,2,

P(X=O)=N=-!-,P(X=l)=^-=—,尸(X=2)=W=±

15《15C；5

X的分布列为:

X012

182

P

?5155

'

£,(A)=0x—+1XA+2X-=-

151553

20.如图，在四棱锥P-月5c。中，底面/BCD是矩形，。是BC的中点，PB=PC=0

（1）求证：平面尸8cl平面/BCD；

（2）求直线与平面尸8所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求线

面角.

【详解】（1）因为尸8=PC,。是8c的中点，所以P。工BC,

在直角△POC中，PC=6OC=1,所以PO=g.

在矩形中，AB=l,BC=2,所以oo=VL

又因为尸。=2,所以在AP。。中，PD-=P（f+OD2,即PO_L。。，

而BCcOD=O,BC,ODu平面Z3CD,所以PO1平面N8CD,

而POu平面PBC,所以平面尸8c1平面/BCD.

(2)由(1)知，P。工平面N8C。，取X。中点。，连接O。，易知。0,OC,OP两两相互垂直,

如图，分别以。。，oc,OP为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，

则/（1,一1,0）,C（O,l,O）,尸（0,0,近），

而=（0,2,0）,CD=（1,0,0）,CP=（0,-l，V2）.

设平面PCD的法向量为加=（x,y,z）,

mCD=O,x=0,「

则1—.叫r-令z=l,则y=0所以碗=(0,7份,1),

th-CP-0,[—y+>j2z=0,

所以直线与平面PCD所成角的正弦值为好.

3

21.已知耳，"椭圆C:£+?=l(a”>0)的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得|3|+|「用=4,

ab

且归用的最大值为2+&.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线/与椭圆C交于4,8两点(N,8不是左右顶点)，且以为直径的圆经过椭圆的右顶

点.求证直线/过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)二+乙=1

42

(2)证明详见解析，定点坐标为(|,0)

【分析】(1)根据已知条件求得a,b,c,从而求得椭圆的标准方程.

(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线/的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根

与系数关系，根据“以为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.

【详解】⑴依题意，|W|+|P周=4=2,a=2,

由于归国的最大值为a+c=2+Vi，所以c=啦,

所以b="耳=6,所以椭圆的标准方程是[+[=1.

（2）椭圆的右顶点为。（2,0）,

当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为X=f（-2<f<2）,

x=t

t2\

27=2%

由，X2V得V=21--

一十—=1I47

I42

/、Z/

设”（/,歹0）,8，,—孔）,则^；=2-5,

由于以为直径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

2--2

所以4.»=____2_=_p解得f=2,

t-2t-2（f-2）23

所以直线/过C，o}

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为），=去+加,

y=kx+m

由，x2/消去y并化简得（1+2二卜?+4加x+2机2-4=0,

---卜---1

42

A=16A:2m2-4（l+2^2）（2w2-4）=32A-2-8w2+16>0,

即4k2-m2+2>0®.

-Akm24-4

设”（当，凹），8（匕,%），贝1]占+%=

1+2*x占一i+2公

III于以Z8为宜径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

h

所以y2

再—2x?—2（X]—2）（工2—2）

凹为=-（%-2）（匕-2）,（Ax1+ffi）（Ax2+ffi）=-（x1-2）（r2-2）,

2

kx1x2+km（再+x2）+nr=2（玉+x2）-x}x2-4,

2

（左2+1）玉/+（左加一2）（$4-X2）+W+4=0,

（,八2m2-4（.-4km,八

（左2+1）---------+（km—2）--------z-