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文档简介
2023年高考数学第一次模拟考试卷
数学•全解全析
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时、将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知集合4={疝<》<2},8=卜|》2,,1},则408=()
A.[-1,2)B.S,2)
C.[-1,3)D.[-1,2]
【答案】A
【分析】由一元二次不等式解得8={xl-L.xJ},再根据集合并集运算即可解决.
【详解】由题知,/={疝<x<2},8={x|X:,1},
由X:1,即(x-l)(x+l)”0,解得-13X,1,
所以8={x|-kx,1},
所以4uB={x|-L,x<2}.
故选:A.
2.(3-2i)(2-i)=()
A.8+7iB.8-7iC.4+7iD.4-7i
【答案】D
【分析】根据复数乘法公式,即可计算结果.
[详解](3_2i)(2_i)=6_4i_3i_2=4_7i.
故选:D
3.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图所示,将1,2,3,....9填入3x3的方
格内,使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一个3阶幻方;一般地,将连续的
正整数1,2,3..../填入〃xw个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,这
个正方形叫作〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为S",如S?=45,那么
10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为()
洛书幻方
A.555B.101C.505D.1010
【答案】C
【分析】利用等差数列求和公式得到品)=5050,进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的
数的和.
【详解】由题意得:*=1+2+3+…+100=出当空分=5050,
故1()阶幻方福行、每列、每条对角线上的数的和均为5050+10=505.
故选:C
4.己知)=(2,-1),B=(x+1,4),且一〃,则忸+可=()
A.V5B.2亚C.V10D.2M
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解x=l,进而根据模长公式即可求解.
【详解】由1=(2,-1),月=(x+L4),得无在=2(X+1)-4=0=X=1,
所以24+1=(6,2),忸+*,62+22=2布,
故选:D
5.某市新冠疫情封闭管理期间,为了更好的保障社区居民的日常生活,选派6名志愿者到甲、乙、
丙三个社区进行服务,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有()
A.540种B.180种C.360种D.630种
【答案】A
【分析】首先将6名志愿者分成3组,再分配到3个社区.
【详解】首先将6名志愿者分成3组,再分配到3个社区,可分为3种情况,
第一类:6名志愿者分成1+2+3,共有C:C;C:A;=360(种)选派方案,
第二类:名志愿者分成共有写4A;
61+1+4,=90(种)选派方案,
C2c2c2
第三类:6名志愿者分成2+2+2,共有士产A;=90(种)选派方案,
所以共360+90+90=540(种)选派方案,
故选:A.
已知-1,则cos[2a+g)=(
6.sin[a+^)=)
3
72
A.——BC.D
9-43-?
【答案】D
【分析】利用倍角公式cos2a+01=l—2sin21c
即得.
【详解】因为sin(a+t)=2
3
所以cos(2a+W=1-2sin2fa+—\=1-2xi=—
\6/99
故选:D.
7.如图,在三棱锥力-BCD的平面展开图中,四边形8CEZ)是菱形,BC=l,BF=g,则三棱锥
4-BCD外接球的表面积为()
GG4)
B.2兀C.4兀D.8兀
【答案】B
【分析】画出三棱锥4-8C。的直观图,由已知数据可得BC±AC,据此得到45的
中点。为三棱锥4-88外接球的球心,求出外接球的半径,代入球的表面积公式即可得解.
【详解】三棱锥"-BCD的直观图,如图所示,
则BC=8D=/C=4)=1,4B=C,
所以=介,BC2+CA2=AB2,则BC1AC,
取N8的中点O,连接O。,OC,则O/=O8=OC=。。,
所以。为二棱锥A-BCD外接球的球心,半径R=LN8=也,
22
故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4成2=2兀.
8.若对Vx,yeR.有八x+y)=/(x)+/(j,)-4,则函数g(x)=—1+/(x)在[-2018,20网上的最大
X+1
值和最小值的和为()
A.4B.8C.6D.12
【答案】B
【分析】根据原抽象函数的关系,通过合理赋值得到/(x)+/(r)=8,设具有奇函数性质的新函数
h(x)=f(x)-41再证明双幻=』为奇函数,根据奇函数十奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇
x+1
函数性质得>=奴工)+/外,再利用函数图像的平移得到最终最值和为8.
【详解】解:“,ywR.有/(x+v)=/(x)+/(y)-4,
取产尸0,则/(0)=/(。)+/(0)-4,故/(0)=4,取九="则/(0)=/(")+/(t)-4,故〃x)+/(-x)=8,
令力(x)=/(x)-4,则力(工)+6(-乃=/1)-4+/(-工)-4=8-4-4=0,故%(x)为奇函数,
2Y2x
gW=——r+/W>设=
x+1x~+1
则g(x)i(x)+〃(x)+4,"(r)=_77rMx),故火x)为奇函数,故…(x)+A㈤为奇函数,故函
数V在[-2018,2018]上的最大值和最小值的和是0,
而g(x)是将函数夕的图像向上平移4个单位,即在[-2018,2018]上最大值和最小值均增加4,
故函数g(x)在[-2018,2018]上的最大值和最小值的和是8,
故选:B.
【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性,我们需要构造新函数使其具有奇偶性,然后
再利用平移的特点,得到最终最值之和.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知a+2b=ab,则下列表达式正确的是()
A.a>2,b>\B.a+b的最小值为3
C.必的最小值为8D.("2)2+(b-l)2的最小值为4
【答案】ACD
21
【分析】对A,通过用。表示6以及川6表示“,即可求出。,6范围,对B,对等式变形得三+;=1,
利用乘“1”法即可得到最值,对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出必最小值,对
D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.
【详解】对A选项,Va,b>0,a+2b=ab,即6(“-2)=a,贝1照=3,
a-2
则二>0,且解得。>2,
a-2
•;a+2b=ab,则—=2"则。=~~->0,R./>>0,解得人>1,故人正确;
b-\
21
对B选项,-ayb>0,a+2b=ab,两边同除必得=+7=1,
ab
则4+6=(〃+/2+"=3+@+%3+2他⑤=3+2也,
yab)ba\ba
当且仅当:=叁,且2+:=l,即a=2+也,6=0+1时等号成立,故B错误;
baab
对C选项,a+2h=ah>2y/2^h,-:a,b>0,解得疝Z2&,故
当且仅当a=26,且出>=8,即。=4,6=2时等号成立,故C正确;
2
对D选项,由人选项6=,^代入得(。一2)2+3-1)2=(〃一2)2+(,一一11
a-21〃-2)
=("2)WW(i,T(i号一
4
当且仅当(。-2)2=(“_2/,。>2,即a=2+0时,此时6=&+1时,等号成立,
故D正确.
故选:ACD.
10.设圆0“2+必=4,直线/:2x+y+5=0,尸为/上的动点.过点P作圆。的两条切线〃,PB,
切点为4B,则下列说法中正确的是()
A.直线/与圆。相交
B.直线恒过定点卜|,-g)
C.当P的坐标为(-2,-1)时,NAPB最大
D.当1Poi-MBI最小时,直线Z8的方程为2x+y+4=0
【答案】BCD
【分析】求出圆心。到直线/的距离d=6.对于A:由d>r直接判断;对于B:设尸(切,-2加-5).
求出以。尸为直径的圆。的方程,得到直线”:-m(》+2y)+5y+4=0.证明直线恒过定点
对于C:先判断出
2
要使“4尸5最大,只需NOPZ最大.在直角△。尸/中,由sin/O&=而.求出OP最小时P(-2,-1),
即可判断;对于D:利用面积相等得到要使|尸。“工团最小,只需|尸。|最小,即OPJJ时,得到P
的坐标为(-2,-1),求出直线工员
【详解】圆0:》2+/=4的半径r=2.
设圆心O到直线/:2x+y+5=0的距离为d,则d=-M==旧.
V22+l2
对于A:因为d=JI>r,所以“线/与圆。相离.故A错误:
对于B:尸为,:2x+y+5=0上的动点,可设尸(加,一2加一5).
因为以,P8为过点P作圆。的两条切线,所以P4上。4PBLOB.
所以0,4尸,8四点共圆,其中OP为直径.
设OP的中点为-竽),则囱=J(2+1雪彳,
所以圆°为口一5J+(ve)即/-加x+V+(5+如)J,=0.
所以直线为圆。和圆。的相交弦,两圆方程相减得:-加x+(5+2机)y+4=0.
即直线AB:一加(x+2歹)+5y+4=0.
8
x=—
x+2y=0
由5尸4=0解得:所以直线Z8恒过定点故B正确;
y=-
5
对于C:因为AOR4和ZkOPB为直角三角形,且10Pl=|。尸|,|04|=|03|,所以40以装0匠8,
所以N0PA=N0PB,所以NAPB=2Z0PA.
要使4/P8最大,只需N0P4最大.
042
在直角AOP4中,sinZOPJ=-=—.
要使NOPA最大,只需|。尸|最小,所以当OPJJ时,|0P|=d=石最小,此时%•勺=-,所以%=;,
所以直线OP:y=gx.
y=x\x=—2/、
由厂2,解得:,,即当尸的坐标为(-2,-1)时,//P5最大.故C正确;
2x+y+5=0^=-1
对于D:因为直线为圆。和圆。的相交弦,所以且48被OP平分.
所以四边形04尸8的面积为5=(归0|・|/8|.
而四边形O4P8的面积还可以表示为2%口=2x-|。才.1例力。耳2-22
所以S=;|尸。|•I4|=.2.
要使|「0卜|48|最小,只需户0|最小,即OP_L/时,得到P的坐标为(-2,-1).
所以圆£):/+2》+卜2+了=0,
两圆相减得到直线N8:2x+y+4=0.故D正确.
故选:BCD.
11.如图,正四棱锥E-Z8CD的底面边长与侧棱长均为。,正三棱锥尸-NDE的棱长均为a,()
B.正四棱锥E-Z8CQ的内切球半径为
C.E,F,A,8四点共面
D.平面"D"平面BEC
【答案】ACD
【分析】结合选项逐个验证,线线垂宜通常转化为线面垂直,锥体的内切球半径通常采用分割法求
解,四点共面借助余弦定理来判断,平面与平面平行通常借助线面平行来判断.
【详解】对于A,取4。的中点G,连接EG,FG,则4Z),EG,ADLFG,
又EG,FGu平面E尸G,EGQFG=G,所以4D_L平面EFG,
因为EFu平面EFG,所以NOJ.EF,又ADHBC,所以EFJ.BC,故A正确.
E
对于B,设内切球半径为一,易求得四棱锥E-48C。的一个侧面的面积为5=2・/.§出色=302,
234
所以1Q2=1/./+4,.避^〃2.1,
32334
解得/=(逐一也)一故B错误.
4
对于C,取力E的中点“,连接。",FH,BH,DB,易知AELDH,AE上BH,
所以NDHE,分别是二面角。-4E-尸,二面角。一4E—8的平面角,易求得
DH=FH=BH$a,所以cos/DHF=也箫常~
PH1+BH--DB\
cus/DHB=
1DHBH3
又NDHF,ZDHBe[O,Tt],所以NDHF与/DHB互补,所以E,F,A,8共面,故C正确;
因为E,尸,A,B共面,乂EF=4B=AF=BE,所以四边形力8M为平行四边形,所以4F//BE,
BEu平面BEC,4广工平面8EC,所以〃平面8EC,
同理〃平面3EC,又AD,4尸u平面4。尸,ADC\AF=A,所以平面E4。//平面BEC,故D
正确.
故选:ACD.
12.函数/(x)=ln(e2*+l)-x,则()
A./(x)的定义域为RB./(》)的值域为R
C./(x)是偶函数D./(x)在区间[0,+8)上是增函数
【答案】ACD
【分析】由题可得函数的定义域判断A,根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B,
根据奇偶性的定义可判断C,根据指数函数,对勾函数及对数函数的性质可判断D.
【详解】因为函数/(x)=ln(e2、+l)-x,
所以函数/(x)的定义域为R,故A正确;
因为/(》)=111(铲+1)-》=11112*+1卜1116*=111^~^=111g'+e"),
又1+b之2,当且仅当e'=e>即x=0取等号,所以/(x)21n2,故B错误;
因为f(-x)=ln(eT+e,)=f(x),所以/(x)是偶函数,故C正确;
因为函数七炉在[。,+8)上单调递增,且t=e-1,根据对勾函数的性质可知”=,+;在上单调
递增,
又函数V=ln〃为增函数,故函数/(x)在区间[0,+8)上是增函数,故D正确.
故选:ACD.
第n卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设随机变量X~N(2Q2),若P(X>4)=0.2,则尸(0<X<2)=
【答案】忒3
【分析】根据正态分布的对称性计算可得答案.
【详解】因为X-NQ,/),尸(X>4)=0.2,所以对称轴为x=2,
所以尸(X<0)=0.2,
二尸(0<X<2)=0.5-0.2=03
3
故答案为:—.
14.已知x>0,y>0,且x+y=6,则(l+x)(l+y)的最大值为
【答案】16
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】解:因为x>0,N>0,且x+y=6,
所以(l+x)(l+y)=l+x+v+Ay=7+^47+1^^J=16,
当且仅当x=y=3时等号成立.
故答案为:16
15.1766年,德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96........经
过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,科学家发现,新数列的
各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”、"谷神星''等行星,这个新数列
就是著名的“提丢斯-波得定则根据规律,新数列的第8项为.
【答案】19.6
【分析】分析原数列、新数列的规律,从而求得正确答案.
【详解】原数列,从第3项起,每一项是前一项的两倍,所以其第8项为96x2=192,
新数列,是将原数列的对应的项:先加4,然后除以10所得,
所以,新数列的第8项为(192+4)X0=19.6.
故答案为:19.6
16.已知椭圆马+m=1伍>6>0)与抛物线/=4用(2>0)有相同的焦点尸,点A是两曲线的一个
公共点,且轴,则椭圆的离心率是.
【答案】72-1
【分析】由尸(P,。)可得/=/+/,结合抛物线方程可得A点坐标,代入椭圆方程后,可配凑出关
于离心率e的方程,结合ew(0,1)可解方程求得结果.
【详解】由题意知:尸(p,o)是椭圆*■+£=l(a>b>0)的焦点,.•./=从+22;
•.,4F_Lx轴,,”(p,2p)或Z(p,-2p),
代入椭圆方程得:4'+丝-=1,二二+#-7=1,
a1b2a'a-p2
又椭圆的离心率e=",.•.K+#y=/+f=1,
aa一pl-e
解得:e2=3±2V2=(1±V2j,乂c£(0」),=
故答案为:y[2—\•
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
17.已知数列{凡}为公差不为0的等差数列,%=3,且log?q,log?%,1咤2%成等差数列.
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)若数列也,}满足”=三一,求数列也}的前〃项和.
【答案】(1)%="+1
n
⑵
2〃+4
【分析】(1)根据1咤2q,log2?,logZ%成等差数列以及出=3可求出首项和公差,再根据等差数
列的通项公式即可求解;
(2)先求出“=一二-一],再根据裂项相消法求和即可.
〃+1〃+2
(详解】(1)log2a,,log2a3,log2a7成等差数列,
/.2log2a}=log2%+log2a7=log,%%,
二a,2=q%,
设数列{%}的公差为d("wO),
(q+2d)~=%(q+6d),
/.+4/=6ald,
丁dwo,解得:q=2/,
ci2=q+d=3d=3,
**.t/=1,q=2d=2,
;・an=a,+(〃-l)d=2+n-\=〃+l;
,1111
(,)**b—-------=------------------=----------------
~'a,4+i(w+l)(«+2)n+\n+2'
,数列也}的前〃项和为4+&+L+D=:-:+:-!+L+」--[1n
2334〃+1/2+22〃+22〃+4
18.在中,A,B,C所对的边为a,h,c,满足从+c2_/=bc.
⑴求A的值;
(2)若4=2,B=—,则“Be的周长.
【答案】(呜;
(2)2+0+逐.
【分析】(I)根据余弦定理直接求解cos/即可求出A角;
(2)首先结合(1)可知。=乃-jr'-2Jr=看STT,然后根据正弦定理求出6,。长度,即可求出三角形
周长.
【详解】⑴由从+/-/=儿
cosZh也'卫=生」,
2bc2bc2
V^G(0,^),:.A=y.
7T5%
(2)':A-—,B=—:.C=7c~—
34f4T-T7
.c.(5万、.(717l\.71冗乃.乃V6+V2
/.smC=sin——=sin—+—=sm—cos—+cos-sin—=------
U2J(664644
2_b_c
aC
根据正弦定理=~r,得由42根+正,
sinAsin3sine
224
国毕得b=2®»e=y/2+—;
33
因此三角形周长为“+b+c=2+半+后+等2+A+芯.
19.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕,中国女篮获得亚军,时隔28年再次登上大赛领奖
台,追平队史最好成绩,中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况,某机构对某社区群
众观看女篮比赛的情况进行调查,将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”,
否则称为“非女篮球迷”,从调查结果中随机抽取50份进行分析,得到数据如下表所示:
女篮球迷非女篮球迷总计
男2026
女14
总计50
(1)补全2X2列联表,并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关?
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,然后从这6人中,随机抽
取2人,记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
n(ad-bc)~
附:K2,n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(6+力
2(八即)0.050.010.001
k。3.8416.63510.828
【答案】(1)列联表见解析,没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.
4
(2)分布列见解析,期望是
【分析】(I)根据已知数据完善列联表后计算K?可得结论;
(2)确定6人中的男女人数,然后得出随机变量X的值,分别计算概率得分布列,由期望公式计
算期望.
【详解】(1)列联表如下:
女篮球迷非女篮球迷总计
男20626
女101424
总计302050
“250x(20x14-10x6)2/
K-=----------------—»6.464<6.635,
26x24x30x20
没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.
(2)从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,这6人中男“女篮球迷”
有4人,女“女篮球迷”有2人,
X的可能值是0,1,2,
P(X=O)=N=-!-,P(X=l)=^-=—,尸(X=2)=W=±
15《15C;5
X的分布列为:
X012
182
P
?5155
'
£,(A)=0x—+1XA+2X-=-
151553
20.如图,在四棱锥P-月5c。中,底面/BCD是矩形,。是BC的中点,PB=PC=0
(1)求证:平面尸8cl平面/BCD;
(2)求直线与平面尸8所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明;(2)利用空间向量的坐标运算求线
面角.
【详解】(1)因为尸8=PC,。是8c的中点,所以P。工BC,
在直角△POC中,PC=6OC=1,所以PO=g.
在矩形中,AB=l,BC=2,所以oo=VL
又因为尸。=2,所以在AP。。中,PD-=P(f+OD2,即PO_L。。,
而BCcOD=O,BC,ODu平面Z3CD,所以PO1平面N8CD,
而POu平面PBC,所以平面尸8c1平面/BCD.
(2)由(1)知,P。工平面N8C。,取X。中点。,连接O。,易知。0,OC,OP两两相互垂直,
如图,分别以。。,oc,OP为X,y,Z轴建立空间直角坐标系,
则/(1,一1,0),C(O,l,O),尸(0,0,近),
而=(0,2,0),CD=(1,0,0),CP=(0,-l,V2).
设平面PCD的法向量为加=(x,y,z),
mCD=O,x=0,「
则1—.叫r-令z=l,则y=0所以碗=(0,7份,1),
th-CP-0,[—y+>j2z=0,
所以直线与平面PCD所成角的正弦值为好.
3
21.已知耳,"椭圆C:£+?=l(a”>0)的两个焦点,椭圆上的任意一点P使得|3|+|「用=4,
ab
且归用的最大值为2+&.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线/与椭圆C交于4,8两点(N,8不是左右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶
点.求证直线/过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)二+乙=1
42
(2)证明详见解析,定点坐标为(|,0)
【分析】(1)根据已知条件求得a,b,c,从而求得椭圆的标准方程.
(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论,设出直线/的方程并与椭圆的方程联立,化简写出根
与系数关系,根据“以为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程,由此求得定点坐标.
【详解】⑴依题意,|W|+|P周=4=2,a=2,
由于归国的最大值为a+c=2+Vi,所以c=啦,
所以b="耳=6,所以椭圆的标准方程是[+[=1.
(2)椭圆的右顶点为。(2,0),
当直线/的斜率不存在时,设直线/的方程为X=f(-2<f<2),
x=t
t2\
27=2%
由,X2V得V=21--
一十—=1I47
I42
/、Z/
设”(/,歹0),8,,—孔),则^;=2-5,
由于以为直径的圆经过椭圆的右顶点。(2,0),
2--2
所以4.»=____2_=_p解得f=2,
t-2t-2(f-2)23
所以直线/过C,o}
当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为),=去+加,
y=kx+m
由,x2/消去y并化简得(1+2二卜?+4加x+2机2-4=0,
---卜---1
42
A=16A:2m2-4(l+2^2)(2w2-4)=32A-2-8w2+16>0,
即4k2-m2+2>0®.
-Akm24-4
设”(当,凹),8(匕,%),贝1]占+%=
1+2*x占一i+2公
III于以Z8为宜径的圆经过椭圆的右顶点。(2,0),
h
所以y2
再—2x?—2(X]—2)(工2—2)
凹为=-(%-2)(匕-2),(Ax1+ffi)(Ax2+ffi)=-(x1-2)(r2-2),
2
kx1x2+km(再+x2)+nr=2(玉+x2)-x}x2-4,
2
(左2+1)玉/+(左加一2)($4-X2)+W+4=0,
(,八2m2-4(.-4km,八
(左2+1)---------+(km—2)--------z-
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