函数项级数的一致收敛性

函数项级数的一致收敛性第一页，共三十页，编辑于2023年，星期日一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为和函数该和函数在x＝1间断.机动目录上页下页返回结束第二页，共三十页，编辑于2023年，星期日因为对任意x都有:所以它的收敛域为(－∞,+∞),但逐项求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分机动目录上页下页返回结束第三页，共三十页，编辑于2023年，星期日定义.设S(x)为若对都有一个只依赖于的自然数N,使当n>N时,对区间I上的一切x都有则称该级数在区间I上一致收敛于和函数S(x).在区间I上的和函数,任意给定的>0,显然,在区间I上一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项一致收敛于0机动目录上页下页返回结束第四页，共三十页，编辑于2023年，星期日几何解释:(如图)当n>N时,曲线总位于曲线之间.机动目录上页下页返回结束第五页，共三十页，编辑于2023年，星期日例1.研究级数在区间[0,+∞)上的收敛性.解:机动目录上页下页返回结束第六页，共三十页，编辑于2023年，星期日余项的绝对值:因此,任给>0,取自然数则当n>N时有这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于机动目录上页下页返回结束第七页，共三十页，编辑于2023年，星期日例2.证明级数在[0,1]上不一致收敛.证:取正数对无论多么大的正数N,因此级数在[0,1]上不一致收敛.机动目录上页下页返回结束第八页，共三十页，编辑于2023年，星期日说明:对任意正数r<1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上任给>0,欲使只要因此取只要即级数在[0,r]上一致收敛.机动目录上页下页返回结束第九页，共三十页，编辑于2023年，星期日维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间I上满足:则函数项级数在区间I上一致收敛.简介目录上页下页返回结束第十页，共三十页，编辑于2023年，星期日证:由条件2),根据柯西审敛原理,当n>N时,

对任意正整数p,都有由条件1),对x∈I,有故函数项级数在区间I上一致收敛.证毕机动目录上页下页返回结束第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日推论.若幂级数的收敛半径R>0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:则对[a,b]上的一切x,都有由阿贝尔定理(第三节定理1)级数绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕

机动目录上页下页返回结束第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日例3.证明级数在(－∞,+∞)上一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(－∞,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在[0,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日二、一致收敛级数的基本性质定理1.若级数证:只需证明由于机动目录上页下页返回结束第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日因为级数一致收敛于S(x),使当n>N时,有对这样选定的n,从而必存在>0,从而得证毕机动目录上页下页返回结束第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数在x=1处不连续.机动目录上页下页返回结束第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日定理2.若级数则该级数在[a,b]上可逐项积分,且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.证:因为机动目录上页下页返回结束第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日所以只需证明对任意

一致有根据级数的一致收敛性,使当n>N时,有于是,当n>N时,对一切

有因此定理结论正确.证毕机动目录上页下页返回结束第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期日说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以但是①为什么对级数①定理结论不成立?分析它是否满足机动目录上页下页返回结束第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期日定理2条件.级数的余项可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.机动目录上页下页返回结束第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日定理3.若级数且可逐项求导,即证:先证可逐项求导.根据定理2,机动目录上页下页返回结束第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日上式两边对x求导,得再证根据定理2,而机动目录上页下页返回结束第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.证毕机动目录上页下页返回结束第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日例4.证明函数对任意x有连续导数.解:显然所给级数对任意x都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数故级数②在(－∞,+∞)上一致收敛,故由定理3可知②再由定理1可知机动目录上页下页返回结束第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日定理4

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若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理1,2立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动目录上页下页返回结束第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日证:则由比值审敛法知级数故故存在M>0,使得由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知再证级数的收敛半径由前面的证明可知若将幂级数机动目录上页下页返回结束第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得幂级数(－R,R)内有任意阶导数,且有其收敛半径都为R.推论.的和函数S(x)在收敛区间证毕作业P2371;3(2);4(2),(4),(5)第七节目录上页下页返回结束第二十九页，共三十页，编辑于2023年，星期日