五年级下册数学知识总结思维导图-五下数学思维导图总复习借鉴

五年级下册知识点汇总（数学）

目录（按住ctrl并单击鼠标直接转到相应单元）TOC\o\h\z\u第一单元图形的变换 1第二单元因数与倍数 3第三单元长方体和正方体 8第四单元分数的意义和性质 14第五单元分数的加法和减法（简略，具体详见另文“分数加减法常见题型解析”） 24第六单元统计 25第七单元数学广角 27

第一单元图形的变换图形的变换：本单元所说的“图形的变换”包括图形的平移、对称和旋转三种。对应点：图形中的某一点通过变换后形成的新的点，叫做这点的对应点。如三角形ABC关于直线a的对称图形是三角形A’B’C’，其中A点的对应点是A’，以此类推。轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后左右两侧能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。这条直线就是这个轴对称图形的一条对称轴。常见轴对称图形及其对称轴的数量：常见的对称图形有：正方形（4条），长方形（2条），等腰三角形（1条），等边三角形（3条），正五边形和五角星（5条），圆形（无数条）。汉字、字母及其他常见图形中的轴对称图形：除了我们所学过的规则的多边形外，还有许多图形也是轴对称图形，如某些汉字、字母和特殊的图形。注意它们的对称轴也可以是横着的或是倾斜的，但只要满足轴对称图形的条件，就是轴对称图形。轴对称图形的特征：轴对称图形中，对应点到对称轴的距离相等。也就是说，一对对应点（如A和A’）到对称轴所作的垂直线段的长度是相等的。作对称图形的方法：我们可以利用轴对称图形的特征来作一个图形的对称图形。如要作四边形ABCD关于直线a的对称图形，步骤如下：（1）选取关键点因为“两点可以确定一条直线”，四边形ABCD只需要四个顶点就能确定，所以选择四个顶点ABCD作为作图的关键点。一般来说，多边形的关键点是其顶点，其他图形的关键点是线段的交点。（2）作关键点关于对称轴的对称点（对应点）因为对称图形A’B’C’D’中四对对应点到对称轴（直线a）的距离都分别相等，可以分别作ABCD四点到直线a的垂线段，再分别延长一倍，得到的点就是ABCD的对应点A’B’C’D’。（3）连结相应的对应点对照原图形中的关键点，将对称图形中的对应点分别连结，形成对称图形四边形A’B’C’D’。旋转：一个物体绕着某一点或轴运动的方式叫做旋转。如钟面中，时针、分针、秒针都绕着同一个中心旋转；又如风车、电风扇的叶片绕着中心轴旋转。钟面指针旋转问题：钟面被平均分为12个点钟，因此每两个点钟之间的角度是360°÷12＝30°。如指针（时针、分针或秒针）从3点绕钟面中心O点顺时针旋转60°到5点，从5点绕O点顺时针旋转120°到9点。而逆时针旋转和顺时针旋转类似，同一结果如方法不同那么角度相加得360°，如顺时针旋转90°相当于逆时针旋转270°，逆时针旋转150°相当于顺时针旋转210°结合相应的钟面时间，可以考察不同指针的变化。如从4:30到5:30，时针绕O点顺时针旋转了30°，分针绕O点顺时针旋转了360°。作旋转图形的方法：要作一个图形关于某点（旋转中心）旋转一定角度后的图形，相当于有若干个指向每个关键点的指针同时进行旋转后的结果。如要作四边形ABCD绕着O点顺时针旋转90°后的图形，则作图步骤如下：（1）选取关键点因为“两点可以确定一条直线”，四边形ABCD只需要四个顶点就能确定，所以选择四个顶点ABCD作为作图的关键点。一般来说，多边形的关键点是其顶点，其他图形的关键点是线段的交点。（2）连结关键点和对称中心，形成“指针”，旋转后确定各关键点的对应点因为旋转前后图形中四个关键点到对称中心的距离都不变，可以分别连结ABCD四点和对称中心，再分别绕O点进行旋转，得到的点就是ABCD的对应点A’B’C’D’。注意，需要选择其中一个“指针”形成的夹角，标上角度，以表示整个图形的旋转角度。（3）连结相应的对应点对照原图形中的关键点，将对称图形中的对应点分别连结，形成对称图形四边形A’B’C’D’。旋转“元件“与旋转角度利用旋转可以作出许多美丽的图形。由基本图形“元件”通过旋转形成中心对称图形时，要注意旋转角度的确定（转的角度＝360°÷单元件个数）和旋转“元件”的多样性。如紫荆花，有5个花瓣，旋转角度是360°÷5＝72°，既可以看成是由一个花瓣旋转而成的，也可以看成是、、甚至是旋转而成的。旋转角度和次数可以是72°转5次，也可以是144°、216°、288°甚至是360°转4、3、2次，等等。再如，既可以看成是由旋转360°÷8＝45°或135°、225°、315°等，也可以看成是绕着图形中心旋转45°或其倍数若干次形成的。元件不止一种。轴对称与剪纸剪纸技巧中常运用对折的手法剪出轴对称图形，我们也可以根据折痕（对称轴）的先后次序推导出裁剪前图形与展开后图形的联系。例题，课本P9第5题：答案就是第一行中间的那个。其它的怎样剪成？自己尝试吧！设计镶嵌图案参考课本P11，可以利用可平铺图形进行改造，设计出其它也可以平铺的不规则图形。原理：拆东补西，在有限范围内肯定不能铺满，但在数学理想的无限状态下可以“平铺”。第二单元因数与倍数因数与倍数“因数”与“倍数”是一对相互的概念，是在整数乘法或除法算式中两个整数之间的关系。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。例如：2×6＝12，我们就可以说，12是2和6的倍数，2和6是12的因数。24÷3＝8，我们就可以说，24是3和8的倍数，3和8是24的因数。概念辨析及要点：倍数与“倍”倍数是与因数相对应的概念，是在整数乘法算式中才有的概念，而“倍”是乘法算式当中的概念，只要有乘法算式，积就是其中一个因数的若干“倍”（另一个因数一般要大于等于1）。例如：3.2×5＝16，我们可以说16是3.2的5倍，或者说16是5的3.2倍，但不能说16是3.2或5的倍数！0是任何数的倍数吗？因为0乘以任何数（包括0本身）都得0，那么是否可以说0是任何整数的倍数呢？上面已经说到了，为了方便研究，简化问题，在研究因数和倍数问题的时候，一般不包括0，也就是说，这时候0已经被排除在外，不考虑了。类似“除数不能是0”的情况。一个数的因数一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身，因为1乘以任何数本身等于它本身。因此，一个数的因数的个数是有限的。一个数的因数的求法：以18为例乘法算式法：将一个数写成两个整数相乘的形式。18＝1×18,18＝2×9,18＝3×6，因此18的因数有1,2,3,6,9,18这6个。分解质因数法（详见后面“分解质因数”说明）：18＝2×3×3因此，18＝2×（3×3）＝2×918＝3×（2×3）＝3×6将18的所有质因数及它们的积的形式从小到大排列，就能求出所有的因数了。当然，1和18本身也是18的因数，不要忘记掉。方法比较：乘法算式法比较容易理解，分解因数法掌握后求因数比较全面，各有千秋，关键都是要对数字比较了解，培养数感。这需要一定的练习。一个数的因数的表示方法：集合圈（韦恩图）将所有因数写在一个椭圆形或圆形的集合圈内。集合用大括号的形式列出所有因数。如18的因数＝{1,2,3,6,9,18}简记（常用于草稿）用一条横线将相乘积是18的两个数分开，简单记录。如注意：如36、49、81等平方数，由于它们可以由两个相同的数相乘得来，因此它们的因数不是一对一对出现的（因数个数是奇数）。平方数：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400，…一个数的倍数一个数的倍数中，最小的是它本身（即它的1倍），没有最大的倍数。因此，一个数的倍数的个数是无限的。一个数的倍数的求法：以12为例将12分别乘以除0以外的自然数1,2,3，…可以得到12的倍数12×1＝12,12×2＝24,12×3＝36,…，因此12的倍数有12,24,36,48，…一个数的倍数的表示方法：集合圈（韦恩图）将所有因数写在一个椭圆形或圆形的集合圈内。集合用大括号的形式列出所有倍数。如12的倍数＝{12,24,36，…}注意：在一个数的所有倍数中，最小的是它本身，没有最大的倍数，因此表示一个数的倍数时，一般都要用小省略号“…”表示个数是无限的（除非说明了所要求的倍数的范围）。附：“倍数的范围”因为一个数的倍数的个数是无限的，所以在求一个数的倍数时，常会要求写出这个数在一定范围内的倍数即可。如24的倍数（100以内）是24,48,72,96。请比较下列两题，体会“以内”和“包含”的用法50以内10的倍数有：10、20、30、4050以内（含50）10的倍数有：10、20、30、40、50因数与倍数的关系（1）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身（2）一个数，是它所有因数的倍数（3）一个数，是它所有倍数的因数（4）一个数，几个它的倍数的和仍然是它的倍数（5）“含有因数3”也可以说成“是3的倍数”，还可以说成是“可以被3整除”（6）一个数，是两个数乘积的倍数，那么它分别是这两个数的倍数（如84是2和3的倍数，那么84也会是2×3＝6的倍数，再如15的倍数肯定也是3和5的倍数）（7）1是任何非0整数的因数，因数只含有1的数就是1本身完全数与相亲数完全数：如果一个非0整数除去它本身之外的所有因数之和正好是它本身，那么这样的数叫做完全数。如6的因数有1,2,3,6,除去6以外的因数之和1＋2＋3＝6。再如28的因数有1,2,4,7,14,28，除去28以外的因数之和1＋2＋4＋7＋14＝28。此外还有496、8128等相亲数：如果有两个非0整数，其中一个数除去它本身之外的所有因数之和正好是另一个数，另一个数除去它本身之外的所有因数之和也正好是第一个数，那么这样的两个数叫做相亲数。如220和284是最小的一对相亲数。220的因数有1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220而1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的因数有1,2,4,71，142，284，而1＋2＋4＋71＋142＝220。数字倍数的特征（快速判断方法）（1）2的倍数个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。如24,308,790都是2的倍数。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做数。0是自然数中最小的偶数，2是非0自然数中最小的偶数，1是自然书中最小的奇数。因为自然数的个数是无限的，因此没有最大的偶数或奇数。（2）5的倍数个位上是0或5的数，是5的倍数。如25，980,7065都是5的倍数。既是2的倍数，又是5的倍数，这样的数个位上只可能是0。（3）3的倍数一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如12（1＋2＝3）,741（7＋4＋1＝12,1＋2＝3）,3078（3＋7＋8＝18,1＋8＝9）都是3的倍数。快速判断方法：因为3、6、9本身都是3的倍数，而任何数加上0还是本身，因此只要计算其他数字的和就可以了，此外2和7、5和4、1和8搭配都是9，也可以不用算。要判断算出的和是否是3的倍数，可以继续用这种方法。如判断94835027是不是3的倍数，9、3、0不看，4、5、2、7不看，得8，不是3的倍数。既是2和5的倍数，又是3的倍数，就一定是2×3×5＝30的倍数，即个位要是0而且能被3整除的数。（4）9的倍数一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。如27（2＋7＝9），126（1＋2＋6＝9），8073（8＋0＋7＋3＝18,1＋8＝9）都是9的倍数。原理证明：设一个两位数十位和个位上的数字是a和b，那么它的数值大小是a×10＋b，而a×10＋b＝9a＋a＋b，9a一定是9的倍数，只要a＋b是9的倍数，那么这个数就是9的倍数了，因此两位数十位和个位数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。以此类推，请自己证明三位数、四位数等情况。快速判断方法：因为9本身是9的倍数，而任何数加上0还是本身，因此只要计算其他数字的和就可以了，此外3和6、2和7、5和4、1和8搭配都是9，也可以不用算。要判断算出的和是否是9的倍数，可以继续用这种方法。如判断3518264702889是不是9的倍数，9、0不看，4和5、2和7、3和6、1和8两两不看，剩下2、8、8加起来是18，18中1＋8＝9，是9的倍数，所以刚才那个数就是9的倍数。（5）4的倍数后两位能被4整除的数，是4的倍数。如224，732，84908等。快速判断方法：100÷4＝25，因此百位及更高位的数字都不用看，而20÷4＝5，因此被20整除的部分也不用看。可以先看后两位数字，然后除以20，剩下的余数再看能否被4整除。如判断289042762是不是4的倍数，直接看后两位62，再除以20，余2，不是4的倍数。（6）6的倍数同时是2和3的倍数的数，是6的倍数。如324，6744,75048等快速判断方法：先看个位是否是偶数，再看是否是3的倍数。（7）8的倍数百位上是奇数，后两位加4（或百位上是偶数，后两位）能被8整除的数，是8的倍数。如648,952,3336等快速判断方法：1000÷8＝125，因此千位及更高位的数字都不用看，而200÷8＝25，因此被200整除的部分也不用看，又有40÷8＝5，因此可以先看后三位数字，然后除以200，剩下的余数再除以40，再看余数能否被8整除。如判断234242784是不是8的倍数，直接看后三位784，再除以200，余184，再除以40，余24，是8的倍数。也可以先除以2，然后再看得数是否是4的倍数。（8）7的倍数7的倍数不好找，不用硬记，可以除以7看能否整除。（9）其它数的倍数常考的一般是2、3、5、6、9、10、15等的倍数（同时是2和5的倍数的数就是10的倍数，同时是3和5的倍数的数就是15的倍数），其它的如11、13、17的倍数都不用硬记，可以用与7类似的方法，分别除以这些数看能否整除就可以了。平时在做计算题的时候留个心眼，看看数字相乘的得数，把一些好玩有趣的记一下（如37×9＝333等），有助于培养对数字的感觉，对提高计算能力是有帮助的，有兴趣的同学可以看看我写的两位数乘法口算方法的文章。偶数与奇数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。也就是说，非0偶数都含有因数2，奇数都不含有因数2。因此，偶数与奇数有下列性质：（1）偶数＋偶数＝偶数偶数＋奇数＝奇数奇数＋奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数偶数－奇数＝奇数奇数－奇数＝偶数口诀：奇偶相加减，同性得偶数，异性得奇数。（2）偶数×偶数＝偶数偶数×奇数＝偶数奇数×奇数＝奇数口诀：奇偶相乘，有偶得偶，全奇得奇。例题：把36个小球放在13个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数，对吗？解答：利用“反证法”，假设13个盘子里放的都是奇数个小球，那么奇数加奇数得偶数，12个盘子两两相加得偶数，最后一个盘子里放的是奇数，相加肯定也是奇数，不可能是36。因此“把36个小球放在13个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数”这句话是对的！质数与合数在非0自然数中，按照因数个数的多少，分为1、质数和合数。（以下所说的数，都是非0自然数，因为谈及“因数”或“倍数”时都必须是非0整数）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。如2,3,5,7都是质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。1既不是质数，也不是合数。质数与合数相关知识（1）100以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。这些数必须记住。（2）最小的质数是2，既是偶数又是质数（偶质数）的也只有2。（3）最小的合数是4，既是奇数又是合数（奇合数）的最小的是9，20以内的还有15。（4）连续的两个数是质数的只有2和3。（5）20以内的数中，连续三个数是合数的有8,9,10和14,15,16。（6）20以内的数中，加上2还是质数的质数有3,5,11,17。分解质因数分解质因数就是将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。如18＝2×3×3，每个质数都是这个合数的因数，因此叫做“质因数”。常用的表示方法：可以用乘法算式法，也可以用连线分解法，我推荐的是“短除法”。在后面学习最大公因数和最小公倍数时，使用短除法非常简单。有空多练习吧。哥德巴赫猜想德国数学家哥德巴赫最先提出：“所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和”，这就是“哥德巴赫猜想”，被称为“数学王冠上的明珠”。中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者可表示为两个质数的乘积。”通常这个结果表示为“1+2”。这是目前解决“哥德巴赫猜想”问题的最佳结果。我们在平时的学习中，也可以练习将一个大于2的偶数表示成两个质数的和，以提高自己对质数的熟悉程度。如：12＝5＋7，18＝5＋13＝7＋11，20＝7＋13，24＝5＋19＝7＋17＝11＋13。有些数还可以表示成三个质数的和，这时要注意加数的奇偶，注意2是唯一的偶质数。如：12＝2＋5＋5＝2＋3＋7，18＝2＋5＋11，23＝3＋7＋13＝5＋5＋13＝5＋7＋11。第三单元长方体和正方体长方体、正方体是立体形状，长方形、正方形是平面图形，要区分开来。它们都是几何图形。生活中有许多物体的形状可以近似地看成是长方体或正方体。长方体定义：长方体是由6个长方形围成的立体图形。特殊情况下，可以有2个相对的面是正方形。特征：在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱（的长度）分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高各有4条，分别相互平行且相等。分别两两垂直。正方体定义：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。特征：在一个正方体中，6个面完全相同，12条棱长度相等。正方体与长方体的联系正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。其它异同点见下表：注意：（1）当长方体有两个相对的面是正方形时，另外4个面就一定是完全相同的长方形。因此，长方体最多有8条棱可以相等。已知：a＝24cmb＝12cm已知：a＝24cmb＝12cmh＝9cm求：C长TC长T＝4（a＋b＋h）＝4×（24＋12＋9）＝180（cm）答：纸巾盒棱长总和180cm。长方体与正方体的棱长总和已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C长TC长T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C长TC长T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4＝370（m）答：工人叔叔至少需要370m长的彩灯线。例，课本P31第1题：纸巾盒长24cm，宽12cm，高9cm，求棱长总和。例，课本P32第6题：为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知工人俱乐部的长90m，宽55m，高20m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12×10＝120（cm）答：它的棱长总和是120cm。正方体有12条相等的棱，因此：正方体棱长总和＝棱长×12，用a表示棱长，则字母表达式为C正T＝12a。例，课本P31第2题：棱长为10cm的正方体粉笔盒，棱长总和是多少？在求长方体、正方体棱长总和（以及后面的面积）时，要注意包含哪几条棱（哪几个面），用相应的公式去计算。长方体与正方体的表面积长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。因为长方体（或正方体）相对的面完全相同，因此只要算出3个面（上或下、前或后、左或右）再扩大到2倍就可以了。注意：长方体每个面的面积构成（请理解后记忆）情况一：假设长面对着我们，则前面（后面）的面积是“长×高”，左面（右面）的面积是“宽×高”，上面（下面）的面积是“长×高”。情况二：假设宽面对着我们，则前面（后面）的面积是“宽×高”，左面（右面）的面积是“长×高”，上面（下面）的面积是“长×高”。因此，上、下面（底面）的面积都是“长×宽”，侧面四周都和“高”有关。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S长TS长T＝2（ab＋ah＋bh）已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S长TS长T＝2（ab＋ah＋bh）＝2×（50×40＋50×78＋40×78）＝2×（2000＋3900＋3120）＝18040（cm²）答：做邮箱至少需要18040平方厘米的铁皮。例，课本P36第3题：光华街口装了一个新的铁皮邮箱，长50cm，宽40cm，高78cm。做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？例，课本P34做一做：亮亮家要给一个长0.75m，宽0.5m，高1.6m的简易衣柜换布罩（没有底面）。至少需要用布多少平方米？已知：a＝0.75mb＝0.5mh＝1.6m求：S布罩S已知：a＝0.75mb＝0.5mh＝1.6m求：S布罩S布罩＝2（a＋b）h＋ab＝2×（0.75＋0.5）×1.6＋0.75×0.5＝2×1.25×1.6＋0.375＝4.375（m²）答：做布罩至少需要用布4.375平方米。附：不完全表面积公式只有侧面四周，也叫烟囱（或者叫上下通风管，还叫商标纸）：S侧＝2（a＋b）h没有下面：S布罩＝2（a＋b）h＋ab没有上面：S鱼缸＝2（a＋b）h＋ab左右通风管：S左右通＝2（b＋h）a前后通风管：S前后通＝2（a＋h）b已知：a＝3dm求：S已知：a＝3dm求：S鱼缸S鱼缸＝5a²＝5×（3×3）＝45（m²）答：制作这个鱼缸至少需要玻璃45平方米。正方体的表面积＝（棱长×棱长）×6字母表达式为S正T＝6a²。例，课本P35做一做：一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长3dm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米？（鱼缸的上面没有盖。）此题当中鱼缸没有盖，只有5个面。注意：“平方”的运算是第三级运算，优先于乘除法。但乘法有结合律，不影响计算结果。（长方体、正方体）组合图形的表面积由若干正方体、长方体组合而成的立体图形的表面积计算方法：根据五年级上册第3单元“观察物体”的原理（相对面看到的外形相等，面积相等），计算出3个面能看到的面积，再扩大到2倍。例，丛书P21第3题，算出下列用1立方厘米的小正方体搭成的图形的表面积。因为这个图形是不规则图形，要算出它的表面积比较困难，要数出有几个面积是1平方厘米的小正方形。可以用“观察物体”的方法：从正面可以看到6个面，从右面可以看到4个面，从上面可以看到5个面，因此总共可以看到15个面，而从反面、左面、下面三个相对的面看到的也分别相同，所以共有15×2＝30个面，表面积就是30平方厘米。窍门：因为本来看这个图形就能看到3个面，只要数出能“看到”的面的个数，再扩大到2倍即可——根本不用“观察物体”那么麻烦！例，课本P37第9题：颁奖台如右图，前后面涂黄色油漆，其它露出来的面涂红色油漆，求涂两种油漆的面积各是多少？求黄色油漆的面积略，求出3个长方形的面积加起来，得数再扩大到2倍（前后都有）即可。而计算红色油漆的一般方法是一面面地算出面积，再进行加和，比较麻烦。可以运用“观察物体”的方法：已知：a＝120cmb＝40cm已知：a＝120cmb＝40cmh＝65cm求：S上左右S上左右＝ab＋2bh＝120×40＋2×40×65＝10000（cm²）答：涂红色油漆的面积是10000平方厘米。规律：只要从某一方向看形状不变，那么从那一方向上所看到的表面积也不变。长方体和正方体的体积（一）体积物体所占空间的大小叫做物体的体积。（二）体积单位计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以分别写成cm³，dm³和m³。棱长是1cm的正方体，体积是1cm³。一个手指尖的体积大约是1cm³。棱长是1dm的正方体，体积是1dm³。一个粉笔盒的体积大约是1dm³。棱长是1m的正方体，体积是1m³。1m³的空间大约能容纳10个同学（是一个比较大的体积单位）。在工程上，“1m³”的土、沙、石等均简称“1方”。棱长是1mm的正方体，体积是1mm³。一粒砂子的体积大约是1mm³。附：身边物体的体积及其单位橡皮的体积约是10cm³，课本的体积约为150cm³，魔方的体积约为1dm³，影碟机的体积约是4dm³，讲台桌的体积约为1.5m³，集装箱的体积约是40m³，教室的体积约为134m³。（三）长方体和正方体的体积可以用小正方体拼组成长方体的方法来求长方体的体积。如：用棱长为1cm的小正方体拼成长4cm，宽3cm，高2cm的长方体，长需要4个，宽需要3个，高需要2个，共24个，因此推出：长方体的体积＝长×宽×高V长T＝abh而正方体可以看成是长宽高都相等的长方体，所以：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V正T＝a³例，课本P43做一做第一题，计算长方体和正方体的体积。已知：a＝5dm求：已知：a＝5dm求：V正TV正T＝a³＝5³＝5×5×5＝125（m³）答：正方体的体积是125立方米。已知：a＝8cmb＝3cmh＝4cm求：V长TV长T＝abh＝8×3×4＝96（m³）答：长方体的体积是96立方米。注：一般“＝5×5×5”可以略去不写。已知：a＝5mS已知：a＝5mS左＝0.06m²求：V长TV长T＝S左·a＝0.06×5＝0.3（m³）答：长方体木料的体积是0.3立方米。长方体（或正方体）的体积＝底面积×高用字母S表示底面积，公式可以写成：V＝Sh而长方体有3个不同的面，公式可推广为V长T＝S底h，V长T＝S左a，V长T＝S前b已知：S底＝4dm²已知：S底＝4dm²h＝6dm求：V长TV长T＝S底·h＝4×6＝24（dm³）答：这个长方体纸盒的体积是24立方分米。例，有一个长方体纸盒，底面为4平方分米的正方形，高为6分米，求它的体积是多少？（四）用小正方体拼大正方体因为大正方体的棱长是小正方体的倍数，而V正T＝a³，体积的倍数等于棱长的倍数的三次方，因此要拼成棱长是2倍的大正方体就需要小正方体2³个，即8个。所以，用小正方体拼大正方体时所需要的小正方体的个数分别是：2³、3³、4³…，推荐记住10以内（包括10）的数的立方：1,8,27,64,125,216,343,512,729，1000。例，把棱长为8cm的正方体分割成棱长为2cm的小正方体，可以分成几个？解答，大正方体棱长是小正方体的8÷2＝4倍，所以体积是4³＝64倍，即可以分成64个小正方体。也可以直接写出综合算式：(EQ\F(8,2))³＝4³＝64（五）体积单位间的进率从正方体可以推出，1dm³的正方体可以分成10×10×10＝1000个1cm³的小正方体，以此类推，得出相邻两个体积单位间的进率是1000。与长度单位、面积单位的关系见下表：单位类型单位名称相邻两个单位间的进率长度m、dm、cm10面积m²、dm²、cm²10²＝100体积m³、dm³、cm³10³＝1000图形切割前后棱长总和、表面积和体积的增减已知：a＝8m求：S已知：a＝8m求：S增、C增S增＝2a²C增＝8a＝2×（8×8）＝8×8＝128（m²）＝64（m）答：分割后表面积增加了128平方米，棱长总和增加了64米。想象：“一刀切”长方体（或正方体）为两个长方体（或正方体），多出了2个面,多出了4条边（也就是棱）。可以根据切割的次数来计算增加的表面积和棱长总和。例，把一个棱长为8m的正方体分成两个完全相同的长方体，问表面积和棱长总和各增加了多少？例，课本P37第11题，将27个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面积减少了多少？已知：a＝1cm求：S增a已知：a＝1cm求：S增a’＝3a＝3（cm）S增＝12a’²＝12×（3×3）＝108（cm²）答：分割后表面积增加了108平方厘米。容积和容积单位（一）基本概念箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。（容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。）计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。1L＝1000ml1L＝1dm³1ml＝1cm³1m³＝1000dm³＝1000L＝1,000,000ml长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。也就是说，容积也是一种体积，容积单位也是体积单位，只不过当容器容纳的物体是液体时，一般使用液体的体积单位（L和ml）。（二）常见容器容积固体：粉笔盒1dm³，微波炉12dm³，集装箱40m³液体：口服液10ml，矿泉水600ml，大瓶饮料2.5L，食用油5L（三）用“排水法”求不规则物体的体积形状不规则的物体，可以用它们完全浸入水中时所排出的水的体积来计算它们的体积。V物体＝V排出的水，根据容器形状的不同所采用的公式不同。一般考查长方体容器，公式为物体体积＝排出的水的体积＝容器长×容器宽×水面升高的高度V增＝abh增＝ab（h’－h）已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cm已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cmh’＝7cm求：V4个鸡蛋V4个鸡蛋＝ab（h’－h）＝15×10×（7－5）＝300（cm³）300÷4＝75（cm³）答：平均每个鸡蛋的体积是75立方厘米。思考过程：先求四个鸡蛋共排出水的体积（运用长方体），再求一个鸡蛋平均排出水的体积，也就是一个鸡蛋的体积。常考题（棱长、棱长总和、表面积与体积的转换，等等）类型一：用铁丝围（棱长总和不变）已知：a正已知：a正＝5ma＝6mb＝5m求：hC正＝12a正h＝C÷4－a－b＝12×5＝60÷4－6－5＝60（m）＝4（m）答：围成的长方体的高是4米。思考过程：同样的铁丝长度相等，也就是棱长总和相等，先算出正方体棱长总和，再根据公式求长方体的高的长度。已知：a正＝9dm已知：a正＝9dma＝4dmb＝3dm求：hV正＝a正3h＝V÷a÷b＝9³＝729÷4÷3＝729（dm³）＝60.75（dm）60.75dm＝6.075m答：锻造成的钢块的高是6.075米。把一块棱长9dm的正方体钢坯锻造成一个长为4dm，宽为3dm的长方体钢块，则这个钢块的高是多少米？思考过程：锻造不改变钢材体积（不考虑锻造损耗），所以先算出正方体体积，再根据公式求长方体的高度。注意，这题当中，问题问的是“多少米”，而给的条件是分米，所以在计算之后，要进行单位转化。已知：a＝10m已知：a＝10mb＝8mh＝30dm＝3m求：S教室S教室＝2（a＋b）h＋ab＝2×（10＋8）×3＋10×8＝108＋80＝188（m²）粉刷面积：188－23＝165（m²）粉刷价钱：165×4＝660（元）答：粉刷面积是165平方米，一共需要660元。类型三：局部粉刷求价钱（部分表面积）粉刷一间长10m，宽8m，高30dm的教室，要求粉刷教室的屋顶和四面墙壁，除去们窗的黑板的面积23平方米，问粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米的粉刷成本是4元，一共需要多少钱？思考过程：要先弄清楚粉刷的面积，也就是要明确粉刷表面积的哪几个面，最后再计算价钱，注意单位不统一时要先化成同一单位才能计算。类型四：切割后成为正方体时的面积增减（增减了几个面）一个长方体，高减少5dm，正好成为一个正方体，这时表面积减少了200dm²，求原来的长方体的体积是多少？已知：h变＝5dmS四个面＝200dm²已知：h变＝5dmS四个面＝200dm²求：V长方体S变＝S四个面÷4＝200÷4＝50（dm²）a＝S变÷h变＝50÷5＝10（dm）h＝a＋h变＝10＋5＝15（dm）V长T＝abh＝10×10×15＝1500（dm³）答：原来长方体的体积是1500立方分米。类型五：由长方体的表面积求高一个游泳池表面积236m²，已知这个游泳池长24m，宽5m，那么这个游泳池有几分米深？已知：S游泳池＝236m已知：S游泳池＝236m²a＝24mb＝5m求：hS侧＝S游泳池－S底h＝S侧÷2÷（a＋b）＝S游泳池－ab＝116÷2÷（24＋5）＝236－24×5＝2（m）＝116（m²）＝20（dm）答：这个游泳池深20分米。最后注意单位转换。第四单元分数的意义和性质分数的产生在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。比较小数的概念：“当测量物体时往往会得到的不是整数的数，就可以用小数来表示。”说明分数和小数是相互联系的（详见后面），都是用来补充整数的。分数的意义、读写法和分数单位一个物体、一些物体等都可以看做一个整体（可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”），把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。这就是分数的意义。分数的写法：先写分数线表示“平均分”，再写分母表示总的分成几份，最后写分子表示取其中的几份。分数的读法：先读分母，然后把分数线读作“分之”，最后读分子。如，EQ\F(3,10)读作“十分之三”，EQ\F(2,3)读作“三分之二”。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。如EQ\F(2,3)的分数单位就是EQ\F(1,3)，EQ\F(3,10)的分数单位就是EQ\F(1,10)。最大的分数单位是EQ\F(1,1)，没有最小的分数单位。在研究一个分数时，必须时刻注意分数的意义，要结合实际情境来说分数的意义。而在说分数的意义的时候，特别要注意的是单位“1”，要明确分数表示的单位“1”是哪个或哪些数量。例，说出下面分数的意义：课本P63第2、3题每个茶杯是这套茶杯的EQ\F(1,3)。单位“1”是“这套茶杯”，要求的分量是“每个茶杯”。分数的意义：把这套茶杯平均分成3份，每个茶杯占其中的1份，是这套茶杯的EQ\F(1,3)。每块月饼是这盒月饼的EQ\F(1,8)。单位“1”是“这盒月饼”，要求的分量是“每块月饼”。分数的意义：把这盒月饼平均分成8份，每块月饼占其中的1份，是这盒月饼的EQ\F(1,8)。每袋粽子是这些粽子的EQ\F(1,4)。单位“1”是“这些粽子”，要求的分量是“每袋粽子”。分数的意义：把这些粽子平均分成4份，每袋粽子占其中的1份，是这些粽子的EQ\F(1,4)。每种颜色的跳棋是这盒跳棋的EQ\F(1,6)。单位“1”是“这盒跳棋”，分量是“每种颜色的跳棋”。分数的意义：把这盒跳棋（的跳棋棋子）平均分成6份，每种颜色的跳棋占其中的1份，是这盒跳棋（的跳棋棋子）的EQ\F(1,6)。课本P64第7题头部的高度约占身高的EQ\F(1,8)。分数的意义：把身高平均分成8份，头部的高度占其中的1份，是身高的EQ\F(1,8)。长江干流约EQ\F(1,5)的水体受到不同程度的污染。分数的意义：把长江干流（的水体）平均分成5份，受到不同程度污染的水体占其中的3份，是长江干流（的水体）的EQ\F(1,5)。死海表层的水中含盐量达到EQ\F(3,10)。分数的意义：把死海表层的（盐）水平均分成10份，盐占其中的3份，是死海表层的（盐）水的EQ\F(3,10)。课本P68第6题（分量有具体数量的要在最后说明）先找准单位“1”：“这盒橙子”、“这板电池”分数的意义：把这盒橙子平均分成5份，每袋橙子占其中的1份，是这盒橙子的EQ\F(1,5)，有3个橙子。分数的意义：把这板电池平均分成4份，每对电池占其中的1份，是这板电池的EQ\F(1,4)，有2个电池。分数与除法根据分数的意义（将单位“1”平均分成若干份，取其中的一份或几份），而平均分成几份就是除以几，取几份就是乘以几，因此发现了分数与除法的关系：被除数÷除数＝EQ\F(被除数,除数)或a÷b＝EQ\F(a,b)（b≠0）因为在除法中除数不能为0，因此分数中分母也不能为0。根据分数与除法的关系，可以有以下三方面的应用：1、算出一个分数的具体数值，将分数转化成小数如，EQ\F(1,5)＝1÷5＝0.2，EQ\F(3,10)＝3÷10＝0.3，EQ\F(4,9)＝4÷9＝0.，EQ\F(18,6)＝3。2、将小数转化成特殊的分数，利用其进行单位转换例，课本P67第3题9cm＝dm将单位是cm的整数转化成单位是dm的分数，就要以“1dm”为单位“1”，将1dm平均分成10份（每份就是1cm），9cm占其中的9份，是1dm的EQ\F(9,10)，也就是EQ\F(9,10)dm。因此9cm＝EQ\F(9,10)dm79dm＝m将单位是dm的整数转化成单位是m的分数，就要以“1m”为单位“1”，将1m平均分成10份（每份就是1dm），79dm占其中的79份，是1m的EQ\F(79,10)，也就是EQ\F(79,10)m。因此79dm＝EQ\F(79,10)m比较以上题目，发现：将单位较小的整数数量，转化成单位较大的分数数量，分数的分母就是这两个单位的进率，分数的分子就是原来那个整数。这也可以由口诀“低聚高，除以进率”得到（详见“四年级知识点汇总”）——整数除以进率，就是把这个整数当做分子，把进率当做分母得到分数。3、求一个数量是另一个数量的几分之几求一个数量是另一个数量的几分之几，就是把第二个数量当做单位“1”，把它分成若干份，取其中第一个数量那几份，也就是用第一个数量除以第二个数量。用字母表示：求A是B的几分之几，就是用A除以B，就是A÷B＝EQ\F(A,B)例，课本P68第9题求一张课桌的长度是纺锤树最粗直径的几分之几，就是用一张课桌的长度去除以纺锤树最粗直径的长度。1÷5＝EQ\F(1,5)，一张课桌的长度是纺锤树最粗直径的EQ\F(1,5)。注意：这里容易把一张课桌的长度占纺锤树最粗直径的分数EQ\F(1,5)和一张课桌的长度的具体数值弄混，这是请参看此分数的意义：将纺锤树最粗直径平均分成5份，一张课桌的长度占其中的1份，是纺锤树最粗直径的EQ\F(1,5)，具体数值为5÷5＝EQ\F(5,5)或1（m）。将小数化成分数在后面比较分数和小数的定义时说到。真分数、假分数和带分数（一）概念分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。当一个分数的分母确定时，真分数的个数也随之确定，而且总比分母少1。如，以9为分母的真分数有9-1＝8个，分别是EQ\F(1,9)，EQ\F(2,9)，EQ\F(3,9)，EQ\F(4,9)，EQ\F(5,9)，EQ\F(6,9)，EQ\F(7,9)，EQ\F(8,9)。其中最小的那个就是这些分数的分数单位，即EQ\F(1,9)是这8个分数的分数单位。分数单位都是真分数。当分母确定时，最大的真分数的分子比分母少1，如，以9为分母的真分数最大是EQ\F(8,9)。分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。当一个分数的分母确定时，有最小的假分数，这时分子等于分母，分数的数值等于1。如，以12为分母的分数中，假分数最小为EQ\F(12,12)。没有最大的假分数。也就是说，当分母确定时，真分数的个数是有限的，假分数的个数是无限的。反之，当分子确定时，真分数的个数是无限的，假分数的个数是有限的（与分子相同）。由一个整数和一个真分数合成的分数叫做带分数，带分数都大于1。带分数的读法是用“又”字连结整数和分数部分，写法是将整数与分数部分紧靠。如，1EQ\F(1,5)读作“一又五分之一”，12EQ\F(312,406)读作“十二又四百零六分之三百一十二”因为带分数都大于1，是假分数（大于或等于1）的一部分，因此带分数是一部分（不能化成整数的）假分数的特殊表现形式。真分数、假分数和带分数的关系如右图：（二）假分数、带分数和整数的互相转化根据分数与除法的联系，可以将假分数、带分数和整数的互相转化。将假分数转化成带分数或整数在假分数中，当分子是分母的倍数的时候，能化成整数，就是将分子除以分母所得到的商。如：EQ\F(18,9)＝18÷9＝2，EQ\F(13,13)＝13÷13＝1，EQ\F(90,15)＝90÷15＝6在假分数中，当分子不是分母的倍数的时候，能化成带分数，将分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。如：EQ\F(16,9)＝16÷9，因为16÷9＝1……7，所以EQ\F(16,9)＝1EQ\F(7,9)EQ\F(20,7)＝20÷7，因为20÷7＝2……6，所以EQ\F(20,7)＝2EQ\F(6,7)注意：以上式子千万不能写成连等式EQ\F(16,9)＝16÷9＝1……7，不能将整数与分数混淆。联系：将假分数转化成整数或带分数的区别就在于分子是否是分母的倍数。如果是带分数，可以看成是可以整除的部分加上不能整除的部分。如，EQ\F(40,9)＝EQ\F(36,9)＋EQ\F(4,9)＝4＋EQ\F(4,9)＝4EQ\F(4,9)此外，在解题当中，为了便于查看和检查，一般也要将假分数化成带分数。（考试不要求，而且假分数和带分数的意义也不相同，请自己理解。）将带分数或整数转化成假分数将带分数转化成假分数的方法与前面类似，分母不变，将带分数的整数部分化成假分数，再与分子相加得到新的分子。如，7EQ\F(4,9)＝EQ\F(7×9＋4,9)＝EQ\F(67,9)，9EQ\F(3,5)＝EQ\F(9×5＋3,5)＝EQ\F(48,5)将整数转化成假分数，就是让假分数的分子除以分母的商是这个整数，答案有无数个，题目一般会给定分子或分母。如，2＝EQ\F(10,5)＝EQ\F(24,12)＝EQ\F(154,77)，5＝EQ\F(35,7)＝EQ\F(75,15)＝EQ\F(145,29)又如，把7转化成分子是28的分数7＝EQ\F(28,4)，转化成分母是9的分数7＝EQ\F(63,9)。不规范的带分数与假分数和整数之间的转化丛书P38第3大题中有一个小题5＝3带分数的整数部分是3，分数部分是，而这两个部分之和是5，因此这题相当于求＝5－3＝2，,6×2＝12，所以要填12。然而3EQ\F(12,6)的分数部分是假分数，不符合带分数的定义，因此是不规范的带分数。平时我们在写带分数时一定不要这么写，但如果题目有出到，我们要懂得它的意思并能解答即可。（三）图形中的真分数、假分数和带分数在习题或考试当中，常有给定图形（阴影或空白部分）写分数或给定分数涂色（阴影）的题目，关键是找到相应的单位“1”。例，课本第63页第1题单位“1”就是整个图形，把整个图形平均分成几份，涂色部分占几份，就是几分之几。答案分别是EQ\F(3,4),EQ\F(5,9),EQ\F(3,5)和EQ\F(2,4)。最后一题也可以看成是平均分成2份，答案也可以是EQ\F(1,2)。分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。根据分数和除法之间的联系，也可以把分数看成是用分子除以分母的除法算式，因此分数的基本性质也就是“把被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变”即商不变性质的另一种说法。因此我们也可以将分数的基本性质和商不变规律结合起来记忆。利用分数的基本性质，我们可以将分数化成给定分子或分母的等值分数。例，＝＝，＝＝，＝＝＝＝最大公因数概念两个数公有的因数，叫做它们的公因数。因为每个非0自然数都含有因数1，因此任意两个数的公因数都有1，它们的最小的公因数也就是1。两个数的公因数中，最大的公因数，叫做它们的最大公因数。两个数的所有公因数也都是它们最大公因数的因数。求最大公因数的方法以求18和24的最大公因数为例，介绍3种主要的方法。枚举法将两个数的所有因数写出来，找出相同的因数，即为公因数，其中最大的就是这两个数的最大公因数。18的因数有：1,2,3,6,9,1824的因数有：1,2,3,4,6,8,12,2418和24的公因数有：1,2,3,618和24的最大公因数是：6短除法要求出两个数的最大公因数，可以先找出这两个数有哪些公因数，将这两个数同时除以相同的质因数（是质数的因数），能除以的质因数的积就是最大公因数。如图更相减损法《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”——百度百科“更相减损术”简单说来，就是将两个数大数减去小数，得到的差再和小数相减，如此反复多次，直到差和减数相等为止。24－18＝6,18－6＝12,12－6＝6，这时6就是18和24的最大公因数。更相减损法可以帮助我们检验短除法等其它方法的结果。其他示例：36和4848－36＝1236－12＝2448－36＝1236－12＝2424－12＝1236的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,3648的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,4836和48的最大公因数：1298－70＝2870－28＝4298－70＝2870－28＝4242－28＝1428－14＝1498的因数：1,2,7,14,49,9870的因数：1,2,5,7,1014,35,7098的因数：1,2,7,14,49,9870的因数：1,2,5,7,1014,35,7098和70的最大公因数：14互质数公因数只有1的两个数，叫做互质数。因为两个互质数只有公因数1，因此它们的最大公因数也是1。两个互质数的最小公倍数是它们的乘积。运用短除法求两个数的最大公因数，除到最后剩下的结果一定是两个互质数（否则的话还可以继续除以其它不是1的因数）。公因数只有1的两个数的关系叫做“互质”，如5和7是互质数，或者说5和7互质。两个数是互质数的情况有以下几种：结论举例1和其他数字互质1和9、1和26质因数只有2的数和所有奇数互质16和37、128和253两个不同的质数互质17和37、61和89无倍数关系的合数和质数互质7和22、17和86较大数是质数的两个数互质（可以由上一条推理出来）4和19、18和97两个连续的非0自然数互质6和7、18和19相邻的两个奇数互质3和5、13和15掌握了两个数互质的情况，可以帮助我们快速判断短除法是否结束。约分（一）约分把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分的根据是“分数的基本性质”：将分子与分母同时除以一个相同的数（0除外），使得分子和分母都变得比较小的同时分数的大小不变。约分可以先约一些较小的数，反复几次完成，也可以一步到位（即同时除以分子和分母的最大公因数）。如EQEQ\F(24,30)可以在约分时这样写：（二）最简分数分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。最简分数的分子和分母互质。如右上方图，EQ\F(24,30)的分子和分母先同时除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同时除以3，得到EQ\F(4,5)，这时分子和分母只有公因数1（互质），因此EQ\F(4,5)是一个最简分数。反复约分的最终结果是一个最简分数。在约分时，分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到的约分结果就是一个最简分数。（三）约分的注意事项1、约分一般要约到最简分数，除非题目要求约到给定的分子或分母时。2、要判断是否约到了最简分数，要明确分子和分母是否还有共同因数，因此要使约分更加正确、高效，就必须对分子和分母（数字）的因数以及各个数字的倍数非常了解。常见易错数字的倍数：（请参考20×20乘积表，掌握400以内数的因数和倍数）7的倍数：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍数：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍数：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍数：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍数：29,58,87,116,145,174,203,232,261最小公倍数概念两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。两个数的公倍数中，最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。两个数的所有公倍数也都是它们最小公倍数的倍数。求最小公倍数的方法以求18和24的最小公倍数为例，介绍2种主要的方法。大数翻倍法将较大的数乘以2，3,4，…，看看它的哪个倍数也是较小数的倍数，即是这两个数的最小公倍数。24的倍数有：24,48,72,96,120,144，…其中72、144也是18的倍数，因此18和24的最小公倍数就是72。短除法要求出两个数的最小公倍数，可以先找出这两个数的最大公因数，将这两个数独有的因数和它们公有的因数相乘，就得到它们的最小公倍数。如图其他示例：36和4848的倍数：48,96,144,192,240，48的倍数：48,96,144,192,240，…36和48的最小公倍数：14498和7098的倍数：98,196,294,392,490，98的倍数：98,196,294,392,490，…98和70的最小公倍数：490（三）求多个数（三个及以上）的最小公倍数求多个数（三个及以上）的最小公倍数，如果其中有几个数字有倍数关系，那么只要考虑较大的数字和其它数字的最小公倍数即可（因为较大数字的倍数这时肯定也是较小数字的倍数），如求10,12,20的最小公倍数就只要求20和12的最小公倍数即可，6、8、12的最小公倍数就是12和8的最小公倍数，7,20,28的最小公倍数也只是20和28的最小公倍数。三个数的最小公倍数的求法和两个数的类似，只不过只要其中2个数有共同质因数，就把它们除以这个相同的质因数，第3个数字照抄，直到3个得数两两互质为止（即把可能重复的质因数都找出来为止）。如求12、15、20的最小公倍数，用短除法如下：其它示例：6、8、9以及16、24、30的最小公倍数通分（一）通分把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的根据也是“分数的基本性质”：将分子与分母同时乘以一个相同的数（0除外），使得分子和分母变成一样的同时分数的大小不变。通分一般要将异分母的分数化成以异分母的最小公倍数为公分母的同分母分数。（二）通分的应用异分母分数由于分母不同，分数单位也不同，无法进行直接的比较如右上方图，EQ\F(24,30)的分子和分母先同时除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同时除以3，得到EQ\F(4,5)，这时分子和分母只有公因数1（互质），因此EQ\F(4,5)是一个最简分数。反复约分的最终结果是一个最简分数。在约分时，分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到的约分结果就是一个最简分数。（三）约分的注意事项1、约分一般要约到最简分数，除非题目要求约到给定的分子或分母时。2、要判断是否约到了最简分数，要明确分子和分母是否还有共同因数，因此要使约分更加正确、高效，就必须对分子和分母（数字）的因数以及各个数字的倍数非常了解。常见易错数字的倍数：（请参考20×20乘积表，掌握400以内数的因数和倍数）7的倍数：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍数：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍数：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍数：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍数：29,58,87,116,145,174,203,232,261分数的大小比较真分数、假分数与带分数真分数都小于1，假分数都大于或等于1，带分数都大于1，因此假分数或带分数都大于真分数，假分数与带分数的大小比较见后面（先将带分数化成假分数再进行比较）。例：EQ\F(4,7)＜1＜EQ\F(5,3)EQ\F(3,8)＜1＜2EQ\F(4,9)两个同分母分数两个分母相同的分数，说明它们平均分成的份数相同，因此只要比较它们的分子就可以了。即“分母相同，分子大的分数大”。例：EQ\F(4,7)＜EQ\F(5,7)＜EQ\F(6,7)EQ\F(3,8)＜EQ\F(5,8)＜EQ\F(7,8)两个同分子分数两个分子相同的分数，说明它们取的份数相同，因此分得的份数越多，每份就越小，比较方法是“分子相同，分母大的数反而小”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(4,7)＜EQ\F(4,5)EQ\F(7,17)＜EQ\F(7,15)＜EQ\F(7,13)分子、分母均不相同的两个分数分子、分母均不相同的两个分数，可以运用“分数的基本性质”，将它们都转化成分母或分子（主要是分母）相同的分数，再进行比较。也可参考后面“通分”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(7,12)（通分成EQ\F(16,36)＜EQ\F(21,36)）EQ\F(7,15)＞EQ\F(14,31)（化成分子相同EQ\F(14,30)＞EQ\F(14,31)）若干个分数（小数也可以比较，见后面“小数与分数互化”）有两个以上的分数同时进行比较，也可以将它们都转化成分母相同的分数（如果通分后公分母太大就不要通分了），还可以将分数都化成小数取合适的近似值进行比较。示例见后面。分数和小数的互化分数化成小数：运用分数与除法的联系，将分数看成分子除以分母，可以算出相应的结果（整数或小数）。1、可以化成有限小数的分数：当一个最简分数的分母中只含有质因数2和5（不含有其他质因数）那么这样的分数就能化成有限小数。只含有质因数2和5的数有：2、4、8、16、……，5、25、125、……，10、100、1000、……，20、40、50、……，以这些数字为分母的最简分数一定能化成有限小数。2、常见的需要记忆的分数：EQ\F(1,2)=0.5EQ\F(1,4)=0.25EQ\F(3,4)=0.75EQ\F(1,5)=0.2EQ\F(2,5)=0.4EQ\F(3,5)=0.6EQ\F(4,5)=0.8EQ\F(1,8)=0.125EQ\F(3,8)=0.375EQ\F(5,8)=0.625EQ\F(7,8)=0.875EQ\F(1,20)=0.05EQ\F(1,25)=0.04小数化成分数：根据小数的意义，将小数看成若干个分数单位（如：0.35表示35个0.01，即35个百分之一，也就是一百分之三十五，写成EQ\F(35,100)，再约分成EQ\F(7,20)）。而当小数的整数部分不是0时，可以直接将整数部分当做化成分数的整数部分。如4.68可以看成整数部分的4和68个百分之一，即4.68＝4EQ\F(68,100)＝4EQ\F(17,25)比大小常见题目多个小数与分数比较大小例题：按从小到大的顺序排列下列各数，EQ\F(1,2)、0.4、EQ\F(3,8)、EQ\F(4,9)、EQ\F(9,20)分析与解答：观察题目数据，EQ\F(4,9)不能化成有限小数，而且通分起来公分母会很大，因此对这些分数转化成小数并取近似值（保留两位小数），EQ\F(1,2)＝0.5、EQ\F(3,8)＝0.375、EQ\F(4,9)≈0.44、EQ\F(9,20)＝0.45，因为0.375＜0.4＜0.44＜0.45＜0.5，所以EQ\F(3,8)＜0.4＜EQ\F(4,9)＜EQ\F(9,20)＜EQ\F(1,2)。工作效率的比较例题：小王5分钟打字90个，小李6分钟打字100，小陆7分钟打字120个个，问他们谁的打字速度最快，谁的最慢？分析与解答：“工作效率＝工作量÷工作时间”，在单位时间内打字字数最多的速度就快（工作效率就高），因此此题其实是在比较EQ\F(90,5)、EQ\F(100,6)、EQ\F(120,7)三个分数的大小，将它们都化成小数取近似值比较，EQ\F(90,5)＝18、EQ\F(100,6)≈16.67、EQ\F(120,7)≈17.14，因为18＞17.14＞16.67，所以EQ\F(90,5)＞EQ\F(120,7)＞EQ\F(100,6)，因此小王最快，小李最慢。第五单元分数的加法和减法（简略，具体详见另文“分数加减法常见题型解析”）分数加减法与整数、小数加减法的联系相同点：三者的含义、简算方法、验算方法都相同。例题：EQ\F(3,8)例题：EQ\F(3,8)＋EQ\F(1,8)＝EQ\F(3＋1,8)＝EQ\F(4,8)＝EQ\F(1,2)EQ\F(7,12)＋EQ\F(11,12)＝EQ\F(7＋11,12)＝EQ\F(18,12)＝1EQ\F(6,12)＝1EQ\F(1,2)EQ\F(5,6)＋EQ\F(11,6)＝EQ\F(5＋11,6)＝EQ\F(16,6)＝EQ\F(8,3)＝2EQ\F(2,3)同分母分数加、减法例题：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)例题：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)＝EQ\F(30,35)＋EQ\F(21,35)＝EQ\F(51,35)＝1EQ\F(16,35)EQ\F(13,9)－EQ\F(5,6)＝EQ\F(26,18)－EQ\F(15,18)＝EQ\F(11,18)EQ\F(5,8)＋EQ\F(7,12)＝EQ\F(15,24)＋EQ\F(14,24)＝EQ\F(29,24)＝1EQ\F(5,24)异分母分数加、减法EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(2,7)）＝EQ\F(5,7)－EQ\F(3,8)＋EQ\F(2,7)＝（EQ\F(5,7)＋EQ\F(2,7)）－EQ\F(3,8)＝1－EQ\F(3,8)＝EQ\F(5,8)例题：3EQ\F(5,7)－（EQ\F(7,8)＋EQ\F(5,7)）＝3EQ\F(5,7)－EQ\F(7,8)－EQ\F(5,7)＝（3EQ\F(5,7)－EQ\F(5,7)）－EQ\F(7,8)＝3－EQ\F(7,8)＝2EQ\F(1,8)分数加减混合运算分数加减混合运算的顺序与整数、小数加减混合运算的顺序相同，都是先算小括号里的，然后从左往右依次计算。（例题略，请参考“分数加减法混合运算的简便计算”部分）分数加减混合运算的简便计算例题2x＋EQ\F(5,8)＝3.625解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝3.625－EQ\F(5,8)2x＝3例题2x＋EQ\F(5,8)＝3.625解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝3.625－EQ\F(5,8)2x＝32x÷2＝3÷2x＝1EQ\F(1,2)（EQ\F(4,5)＋EQ\F(3,4)）－x＝EQ\F(7,10)解：EQ\F(16,20)＋EQ\F(15,20)－x＝EQ\F(14,20)EQ\F(31,20)－x＋x＝EQ\F(14,20)＋xEQ\F(14,20)＋x－EQ\F(14,20)＝EQ\F(31,20)－EQ\F(14,20)x＝EQ\F(17,20)解分数加减法方程与解整数、小数方程相同，都要运用“等式的性质”，在方程两边同时加上或减去相同的数，最后使未知数X单独出现在方程的左边。第六单元统计众数概念一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。平均数、中位数、众数的联系意义相同：三者都是为了描述一组数据而产生的统计量。计算方法不同：平均数是将所有数据的和除以数据的个数而产生的，因此一般不会和某一数据相等。平均数肯定存在，而且只有一个，它会受到本组数据中偏大或偏小数据的较大影响。中位数是将本组数据按大小排列后，取最中间一个数或最中间两个数的平均数（设本组数据个数为X，如果X是奇数，最中间的那个数就是第“（X＋1）÷2”个，如果X是偶数，最中间的两个数就是第“X÷2”和第“X÷2＋1”个数），因此它