信息光学第一章常用函数

信息光学第一章常用函数第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六2光学一．课程简介应用光学

几何光学物理光学量子光学也称为波动光学光的电磁理论光的叠加和分解光的干涉光的衍射光的偏振及光在各向异性的媒质中传播时所表现出的现象光的散射、色散和吸收光的产生光的接收第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六3本课程为《物理光学》教材：谢敬辉、赵达尊、阎吉祥，《物理光学教程》；北京理工大学出版社，2005年1月参考书：1、梁铨廷《物理光学》，电子工业出版社，2008.5第3版版；2、刘晨主编《物理光学》，合肥工业大学出版社2007.5；3、赵凯华、钟锡华《光学》，北京大学出版社2001.6；4、潘笃武、贾玉润、陈善华《光学》，复旦大学出版社1997.12；5、Hecht·ZajacOptics

Addison-WesleyPublishingCopmpany1974.2第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六4主要讲述的内容：1．光的电磁波性质2．光的叠加和分解3．光的干涉特性4．光的衍射特性5．光的偏振特性(贯穿在课程当中)6．傅立叶光学的一点点基础知识(贯穿在课程当中)第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六5二．标准形式的一维非初等函数

1．矩形函数

——又称门函数，记为rect(x)或Π(x)其定义如下：在光学上，常用矩形函数表示狭缝形孔径和矩形光源等。图1矩形函数由图形可以看出，矩形函数曲线下面积为1，即：第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六62．三角形函数

三角形函数记为tri(x)或Λ(x)。或者是：

其定义为：第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六7图2x三角形函数也具有曲线下的面积等于1的性质，即满足：第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六83．符号函数符号函数又称为正负号函数，记为sgn(x)。

其定义为：图3第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六94．阶跃函数阶跃函数又称为海维塞德(Heaviside)函数，记为step(x)或H(x)。其定义为：

在光学上，常用阶跃函数表示刀口或直边衍射物体；在电子学中，则经常用来表示一个开关信号。图4step(x)的图形第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六105．sinc函数

sinc函数记为sinc(x)其定义为：如果将自变量换乘角度，则可以写成：

这种形式比较常用。第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六11sinc函数的图形由宽度为2的中央主瓣和一系列宽度为1的旁瓣组成。图5sinc函数sinc函数也具有曲线下面积为1的性质，即满足：第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六126．sinc2函数sinc2函数的定义直接由sinc函数的定义给出，对于常用的sinc函数定义，有：第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六13图6sinc2函数在光学上，sinc2函数表示单缝夫琅和费衍射的强度分布。第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六147．高斯函数高斯函数记为Gaus(x)，其定义为：图7高斯函数Gaus(x)第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六15高斯函数在概率论和数理统计中表示正态分布事件的分布函数。在线性系统分析中，高斯函数是很有用的数学工具，它具有一些特殊的性质：*其次，高斯函数是一个自傅立叶变换函数，即它的傅立叶变换仍然是个高斯函数。*首先，它的各阶导数都是连续的，因此是一个良好的平滑函数；第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六16七种非初等函数的定义；严格来讲其中的sinc函数和高斯函数并不属于非初等函数，但是它们在描述光场及其变换的作用与其它非初等函数类似；在某些非初等函数的定义式中，给出了间断点处的函数值，规定它等于该间断点处左、右极限的平均值，在实际运算中，可以不考虑间断点处的函数值，即可以将这些点看作连续点。如对rect(x)进行积分，其积分域可取为：小结：第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六17在描述复杂的物理过程时，常常需要将标准形式的非初等函数进行比例缩放、平移、反射或四则运算，构成复杂的函数形式。

1．比例缩放、平移和反射

a为纵向缩放因子，确定函数fold(x)的纵向缩放比例和反射(对于对称函数而言，其反射轴为fnew(x)=b)；b为纵向平移因子；x0表示横向平移因子；fnew(x)一般形式的非初等函数fold(x)表示标准形式的非初等函数三．一维非初等函数的一般形式第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六18对于阶跃函数：和符号函数：因为其定义域无穷大，故参数L不表示横向放大，只表示函数图形以x=x0为轴的反射。这一类以x=x0为轴对称的函数，参数L只表示横向缩放比例，因而可以取绝对值；

对于L为横向缩放因子，确定函数fold(x)的横向缩放比例及反射(对于对称函数而言，其反射轴为x=x0)。第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六19例如，将标准形式的矩形函数进行比例缩放、平移和反射。一般形式的矩形函数表示为：

图8一般形式的矩形函数第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六20例1、画出函数的图形。解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成图9具体阶跃函数的作图第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六21

某些复杂的物理过程可以通过非初等函数之间的四则运算和复合来描述。10-x0x0Ll-L-2L0f(x)x图10矩形调制波例如矩形调制波可表示为：2．非初等函数的四则运算和复合第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六22四．常用二维非初等函数

1、直角坐标系中的二维非初等函数

2、极坐标系中的二维非初等函数3、二维非初等函数的一般形式

如果二维函数f(x，y)可以表示为

f(x，y)=f1(x)•f2(y)的形式，则称f(x，y)为可分离变量函数。将二维可分离变量作为一维函数来处理，可以使运算过程简化。二维物理量可以在不同的坐标系中来描述，而选择坐标系的原则是有利于简化运算，即：描写二维某物理量的二维函数→可分离变量函数，非对称性的物理量通常在直角坐标系中描述；而具有圆对称分布的物理量则最好在极坐标系中描述。例如，rect(x，y)→rect(r，θ)第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六23(1)二维矩形函数，定义式为：

图11在光学问题中，常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。二维矩形函数的一般表达式为：

它表示中心位于(x0，y0)，边长为a×b的均匀照明矩形孔的振幅透射系数。

————可分离变量函数1、直角坐标系中的二维非初等函数第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六24(2)二维三角形函数标准形式的二维三角形函数的定义为：

它的图形在x=0或y=0的截面是一维的三角形函数，在x=y的截面则是一对抛物线，构成一个曲线四棱锥图形图12第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六25(3)二维阶跃函数二维阶跃函数又称为直边函数，它的定义式为：f(x，y)=step(x)在光学问题中，常用二维阶跃函数表示无穷大半平面的振幅透射系数或刀口滤波器函数。图13第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六26(1)二维高斯函数：由于是圆对称函数，因此可以用极坐标表示：

2、极坐标系中的二维非初等函数所以二维高斯函数分布与θ无关。

第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六27圆域函数又称为圆柱函数，记为circ(r)或cycl(r)。在极坐标系中，圆域函数的定义为：圆域函数在直角坐标系中的定义为：

在光学中，圆域函数常常用来描述均匀照明圆形孔径的透射系数。图14(2)圆域函数第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六283．二维非初等函数的一般形式

*下面举例说明。*和一维非初等函数的标准形式类似，通过平移和比例缩放，上面几种二维非初等函数的标准形式可以衍生出复杂的二维非初等函数，其规则和一维的情形相同。*但是，二维非初等函数可以通过自变量的坐标线性变换，产生更复杂的函数。这在研究复杂的光学变换中是很有用处的。第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六29g(x'，y')=rect(x')令x'=ax+by+c所以方程：确定了(x，y)坐标系中该二维狭缝函数取值为1的区域。(1)二维狭缝函数的坐标变换g(x，y)=rect(ax+by+c)a>0，b<0，c<0图15xy第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六30g(x'，y')=rect(x')rect(y')(2)二维矩形函数的坐标线性变换存在方程：

这是两组相交的平行线，显然，只要a1b2-a2b1≠0，两组平行线将部分重叠。第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六31θ1=arctan(-a1/b1)xyθ2=arcta