湖南省衡阳市耒阳市马水中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市马水中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若数列满足,且,则使的值为【

】.

A.

B.

C.

D.参考答案：D因为，所以，所以数列是首项为15，公差为的等差数列，所以，由，所以使的值为23.2.已知，，，则下列不等关系正确的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D，，故，选D.

3.已知集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：D

依题意；化简集合，，利用集合的运算可得：.故选D.4.若函数在上有最小值，则的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A5.已知等于

（

）

A．

B．7

C．

D．-7参考答案：答案：A6.给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是；②设，且，若，则；③若，则是偶函数．其中不正确命题的序号是A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③参考答案：B7.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角为，则A．

B．

C．

D．4参考答案：答案：A8.给出下列命题①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③?x0∈（3，+∞），x0?（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

分析： 对于①，考虑直线与平面平行的判定定理；对于②，考虑平面与平面垂直的性质定理；对于③，考虑两个集合间的包含关系；对于④，考虑充要条件中条件与结论的互推关系．解答： 解：对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有，故错误；对于②，符合平面与平面垂直的性质定理，故正确；对于③，考虑两个集合间的包含关系（2，+∞）?（3，+∞），而x0∈（3，+∞），比如x=4，则4∈（2，+∞），故错误；对于④，由a2＜2a可以得到：0＜a＜2，一定推出a＜2，反之不一定成立，故“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件，此命题正确．综上知②④中的命题正确，故选C．点评： 本题考查直线与平面的平行关系的判定，面面垂直的性质定理，集合间的关系以及充要条件概念等，抓住概念的内涵与外延，是解决本类综合题的关键．9.已知为两个单位向量,那么

（

）

A．

B．若,则

C．

D．参考答案：D10.设曲线f（x）=在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（）A．e B． C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数的导数f′（x）==，则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=，则切线方程为Y﹣=（X﹣x），令X=0，则Y=?（﹣x）+，即b=?x+=，则b′===，当x＞1时，lnx＞0，由b′=＜0得1＜x＜e2，此时函数单调递减，由b′=＞0得x＞e2，此时函数单调递增，故当x=e2时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b==，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________.

参考答案：12.dx=_________．参考答案：略13.设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为

．参考答案：

14.已知则向量与的夹角是___________参考答案：15.已知i为虚数单位，则复数i（1﹣i）=

．参考答案：1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数i（1﹣i）=i+1，故答案为：1+i．16.在平面直角坐标系中定义点之间的交通距离为.若C(x,y)到点A(1,3)、B(6,9〉的交通距离相等,其中，实数x、y满足，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为__________参考答案：17.已知，且，则____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．参考答案：解：（Ⅰ）C:（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得因为

由题意知，代入得略19.已知函数(为常数，为自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上极值点的个数；（Ⅱ）当，时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）时，，记，则，，当时，，时，，所以当时，取得极小值，又，，，所以（ⅰ）当,即时，，函数在区间上无极值点；（ⅱ）当即时，有两不同解，函数在区间上有两个极值点；（ⅲ）当即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；（ⅳ）当即时，，函数在区间上无极值点；（Ⅱ）当时，对任意的都有，即，即记，，由，当时，时，，所以当时，取得最大值，又，当时，时，，所以当时，取得最小值，所以只需要，即正实数的取值范围是．20.如图，平面ABCD平面是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，（1）求证平面AGC平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值。

13分参考答案：21.（本题满分14分）已知函数，设函数在区间上的最大值为．（Ⅰ）若，试求出；（Ⅱ）若对任意的恒成立，试求的最大值．参考答案：（Ⅰ）当时在区间上是增函数，则是和中较大的一个，

………2分又，，则

…4分（Ⅱ）（i）当时，在区间上是单调函数，则而，，则，可知

……………6分（ii）当时，函数的对称轴位于区间之内，此时，又，

…………8分①当时，有，

则

………10分②当时，有，则

…………12分综上可知，对任意的、都有而当，时，在区间上的最大值，故对任意的、恒成立的的最大值为

………14分22.（本小题满分12分）在椭圆C：，中，F1，F2分别为左右焦点A1，A2，B1，B2分别为四个顶点，已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面个积分别为4和2.（1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点A2作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点P，Q，试判断直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案：（1）依题意知：，解得，即椭圆.

……5分(2)解法1：由题意知，直线与直线的斜率均存在且不为，设，,设直线的方程为：,直线的方程为：由联立消去整理可得：，容易知恒成立，所以，由韦达定理得：，所以，代人可得：，所以，同理可得：,当轴时，，解得，此时直线方程为，知直线过点；当直线与轴斜交时，直线的方程为：，化简可得：知直线过定点.综上知,直线恒过定点.

……12分解法2：显然符合条件的直线存在，且斜率不为，设直线，，，则由及得

化简得

①即依题意，即，代入①得

化简得，解得或（