2023年北京市高考理科数学试题及答案3

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学〔理〕〔北京卷〕

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一局部(选择题共40分)

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项。

(1)集合P=｛无辰4]｝,M=伍｝.假设尸[M=p，那么a的取值范围是

(A)(-oo,-l](B)[l,+oo)(C)[-1,1](D)(―oo,-1]1[l,+oo)

⑵复数上心

1+2/

43.

(A)/(B)—i(C)-------1CD)--+-Z

5555

(3)在极坐标系中，圆P=-2sin6的圆心的极坐标是

(B)(1，-9

(A)呜)(C)(1,0)(D)(1,1)

(4)

⑸

给出以下三个结论：

①AD+AE^AB+BC+CA；

②AFAG=ADAE.

其中，正确结论的序号是

(A)①②(B)②③

(C)①③(D)①②③

--r=,XVA

yJX

(6)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为/(x)=

7X'X-A

(A,c为常数)。工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟,

那么c和4的值分别是

(A)75,25(B)75,16(C)60,25(D)60,16

(7)某四面体的三视图如下图，该四面体四个面的面积中

最大的是

(B)672

(D)872

(8)设A(0,0),8(4,0),C(r+4,4),£>(f,4)记N(f)为平行四边形内

部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，那么函数NQ)

值域为

(A){9,10,11}(B){9,10,12}(C){9,11,12}(D){10,11,12}

第二局部(非选择题共110分)

二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

7T

(9)在AA8C中，假设b=5,N8=—，tanA=2f那么sinA=；a-o

(10)向量a=(J5,l),/?=(0,-l),c=(k,5,假设a-力与，共线，那么女=。

(11)在等比数列｛q｝中，假设q=万，％=-4,那么公比q=；

|q|+1a?I+•+141=。

(12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个。

(用数字作答)

(13)函数/(x)=，'X~2过关于x的方程/*)=k有两个不同的实根，那么实数k

(九—1)\X<2

的取值范围是。

(14)曲线C是平面内与两个定点6(-1,0)和名(1,0)的距离的积等于常数的点

的轨迹，给出以下三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③假设点P在曲线C上，那么居的面积不大于//；

其中，所有正确结论的序号是。

三'解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题共13分)

7T

函数/(%)=4cosxsin(x+—)-1,

6

(I)求/(x)的最小正周期；

(II〕求/(X)在区间［-2，生］上的最大值和最小值;

64

(16)(本小题共14分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，Q4_L平面A8C。，底面ABC。

是菱形，A6=2,ZB4O=60°。

⑴求证：平面PAC

(II)假设Q4=A5,求QB与AC所成角的余弦值；

(III)当平面PBC与平面POC垂直时，求Q4的长；

(17)(本小题共13分)

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有T

无法确认，在图中以X表示。

9甲科04组89

1110

(I)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

(II)如果X=9,分别从甲、乙两组中山机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵

数y的分布列和数学期望；

注：方差$2=匕&一元)2+(十一君2++(/一元)2］,其中元为石,巧,，%的平均数

n

(18)(本小题共13分)

X

函数/(%)=(%-&)21。

(I)求/(X)的单调区间；

(II)假设对于任意的XG(0,+O0),都有求上的取值范围:

e

(19)(本小题共14分)

椭圆G:土+丁=1,过点(小,0)作圆/+,2=1的切线i交椭圆G于A,8两点，

4

(I)求椭圆G的焦点坐标及离心率；

(II)将|A8|表示为根的函数，并求|AB|的最大值；

(20)(本小题共13分)

假设数列4：%,4，(〃22)满足4|=1优=1,2,—1),那么称A,,为

E数列，记S(A)=q+。2++a„■>

(I)写出一个满足q=%=0,且S(4)>0的E数列4；

(II)假设％=12,〃=2000,证明E数列A“是递增数列的充要条件是4=2011；

(III)对任意给定的整数22),是否存在首项为0的E数列A“，使得S(A“)=0,

如果存在，写出一个满足条件的E数列A“；如果不存在，说明理由。

2023年北京市高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共8小题，每题5分，总分值40分)

1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C

二、填空题(共6小题，每题5分，总分值30分)

9.2遮2-J1Q.10.111.-2,on~1-1

52

12.1413.(0,1)14.②③

三、解答题(共6小题，总分值80分)

aTT

15.解：(I)f(x)=4cosxsin(x+--)-1

6

=4cosx(乎sinx+/cosx)-1

=V3sin2x+2cos2x-1

=A/§sin2x+cos2x

=2sin(2x+—)

6

所以函数的最小正周期为n

(ni-2E<x<2L,

64

--<2x+—<m

663

，当2X+H=H,即x=H时，f（x）取最大值2

626

当2X+E=-H时，即x=-H时，f（x）取得最小值-1

666

16.解：⑴证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC_LBD,

又因为PA_L平面ABCD,所以PA_LBD,PAnAC=A

所以BD_L平面PAC

（II）设ACCBD=O,因为NBAD=60°,PA=AB=2,

所以BO=1,A0=0C=V3，

以。为坐标原点，分别以OB,0C,为x轴，以过。且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建

立空间直角坐标系O-xyz,那么

P（0,一炳,2）,A（0,一如,0）,B（1,0,0）,C（0,00）

所以而=（1,V3.-2），AC=（0,26，0）

设PB与AC所成的角为0,那么cos6=|E-gI-__产巫

IPB11ACI12&X2炳4

（no由（ID知前=（-1,弧,o）,设P（o,-M，t）（t>o）,

那么而=（-1,-a，t）

设平面PBC的法向量n=（X,y,z）

那么BJITFOBP・ir=O,

所以「十之月'令尸正，则x=3,z=9

-x+V3y+tz=0t

平面PBC的法向量所以会（3,,

同理平面PDC的法向量转（-3,《），因为平面PBCJ■平面PDC,

所以m"n=。，即-6+.3g=o,解得t=，^,

_t2

所以PA-V6-

17.解：⑴当X=8,乙组同学植树棵树是8,8,9,10

平均数是又=8+8+：+1°=华

方差为弓［（8-尊）2（8-桨2+（9-斗））（10-斗）2］吗

4444416

（II）当X=9时，甲同学的指数棵树是9,9,11,11；

乙组同学的植树棵树是9,8,9,10,

分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有4x4=16种结果，

这两名同学植树的总棵树Y可能是17,18,19,20,21,

事件Y=17,表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵,

.•lP(Y=17)=2Jp(Y=18)=lp(Y=19)=lp(Y=20]=1,P(Y=21)=1

168448

•••随机变量的期望是EY=17X-1+18x1+19X

2-k2)『

18.解(x)=2(X-k)

令f(x)=0,得x=±k

当k>0时，f(x)f(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递增区间是(-8,-k),和(k,+8),单调递减区间是(-k,k)；

当kVO时，V(x)f(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(-8,k),和(-k,+8),单调递增区间是(k,-k);

k+1

〔口)当k>0时，，-.f(k+1)=e卜>1,

e

不会有任意的xe(o,+8),都有flx)<1,

e

当k<0时，由⑴知f(x)在(0,+8)上的最大值是f(-k)=鱼/，

e

2

「•任意的x£(0,+°°),f(x)<A,4(-k)二,9七具,

eee

解得-=<k<0，

故对于任意的xW(0,+oo),都有f(x)<1,k的取值范围是

e2

19.解：⑴由题意得a=2,b=l,所以c=JW•.椭圆G的焦点坐标(-遥，0)(遥，0)

离心率e=£二

a2

(II)由题意知:|m|>l,

当m=l时，切线I的方程为x=l,点A(1,登)点B(1,-登)此时|AB|=F；

22

当m=-l时，同理可得|AB|=J5；

y=k(x-ID)

当mw±l时，设切线I的方程为：y=k(x-m),由<2=>[l+4k2)x2-8k2mx+4k2m2

T+y=1

-4=0,

222

设A(xi，yi),B(X2，y2)那么xi+X2=x<*x9=——~~

1+4储1+4—

又由I与圆圆x2+y2=l相切.・・圆心到直线I的距离等于圆的半径即/ml冰=坐!

Gk2

所以

2-2=22

IABI(XJ-X2)+(yjy2^^(1+k)[(Xj+x2)~4x1,x2]

=(]+k2).[64k41n2一4(4k2m2-4)=4五|m|,由于当m=±1时，।AB|=«,

y(l+4k2)2l+4k?m2+3

当mw±l时，|AB|=."^周,此时mW(-8,-1]U[1,+~)

ro2+3

又|AB|=2冬也=—曳4^2(当且仅当m=±F时，MB|=2),

一周+忌

所以，IAB|的最大值为2.

故|AB|的最大值为2.

20.解：(I)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列As

(口)必要性：因为E数列An是递增数列

所以ak+i-ak=l(k=l,2,1999)

所以An是首项为12,公差为1的等差数列.

所以22000=12+(2000-1)xl=2023

充分性：由于a2000-ai999Vl

91999~31998^1

92-81<1,

所以32000~ai<1999,即a2ooo«ai+199