2023年东莞市高中数学竞赛决赛模拟试题及答案

2023年东莞市高中数学竞赛决赛试题

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置.)

33万

1.若cosa=—，且aw(4,一),则tana=()

52

4433

A.--B.-C.-D.--

3344

2.函数/*)=111(/+1)的图象大致是()

3.已知三角形的边长为正整数，周长为24,在所有适合条件的三角形中任取一个，使得所取三角形为等

腰三角形的概率为()

4.如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是()

A.点M到A8的距离为:一

2

B.A8与跖所成角是90°

C.三棱锥C—ONE的体积是工

6

D.Eb与MC是异面直线

5.已知函数/(x)=」一+—,其中实数a<8,则下列关于/(x)的性质说法不正确的是(

)

xax~~~b

A.若/(x)为奇函数，贝ija=—。B.方程/"(x)]=()可能有两个相异实根

C.函数/(x)有两个零点D.在区间(a⑼上“X)为减函数

6.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB上异于的一

点，光线从点P出发，经8C,C4反射后又回到原点P(如图)，若光线QR经

过AABC的重心，则AP等于()

A.c2B..1C.-4D.-8

33

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）

7.方程凶+付=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积为▲

32

8.已知三棱柱ABC—AAG的六个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB±AC,A4,=12

则球。的半径是▲.

9.集合M是集合A={1,2,3,4,5}的子集，且“中至少含有一个平方数，则这种子集"的个数是

▲.

10.设出7。0,若函数/（x）=f+2ax+4b与人（x）=f+43+2匕具有相同的最小值〃，函数

力（x）=+2hx+4«与力（X）=—f+4/zv+2a具有相同的最大值v,则u+v—▲.

11.若圆Y+），2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线/:以+力=0的距离为2后，则直线I的

倾斜角的取值范围是▲.

12.在AA5C和A4ER中，8是EF的中点，AB=EF=\,BC=6,CA=底,若

ABAE+AC-AF^2,则即与前的夹角的余弦值等于▲.

答题卡

一\选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.）

题号123456

答案

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.）

7.8.9.

10.11.12.

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

13.（本小题满分12分）已知A（2,0）,3（0,2）,C（cosa,sina）,（0<cr<7t）.

（i）若灰'1=（。为坐标原点），求与的夹角；

(2)若AC_L3C,求tana的值.

14.(本小题满分12分)某学校假期后勤维修的一项工作是请30名木工制作200把椅子和100张课桌.已

知一名工人在单位时间内可制作10把椅子或7张课桌.将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制

作椅子，两组同时开工.设制作课桌的工人为x名.

(1)分别用含x的式子表示制作200把椅子和100张课桌所需的单位时间；

(2)当x为何值时，完成此项工作的时间最短？

15.(本题满分12分)

如图，在三棱柱中，M，底面ABC,N84c=90°,AB=AC=2,A4,=£.M,N

分别为BC和CR的中点，P为侧棱SB1上的动点.

⑴若尸为线段的中点，求证：〃平面APM；

(2)试判断直线BG与平面是否能够垂直.若能垂直，求总的值；若不能垂直，请说明理由.

16.(本题满分14分)设函数〃x)=3s讥x+2cosx+l.

（1）求/（X）的最小正周期;

（2）若实数a、仪C使得（x）+歹（x-c）=1对任意实数x恒成立，求（/+6）tan]-?的值.

17.（本题满分14分）设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条

件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线/：x-2），=0的距离最小的圆的方程.

18.（本题满分14分）已知函数/（x）=|lnx|,设玉力/且/（司）=/（々）.

（1）证明：&-1）（入2-1）＜0，且中2=1；

（2）若西+&+/（2）+/（工2）〉”对任意满足条件的X，/恒成立，求实数M的最大值.

2023年东莞市高中数学竞赛决赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置.）

题号123456

答案BABDCC

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）

7.128.—9.24

---------------------2------------

兀5乃2

10.011.12.

3

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

13.（本小题满分12分）

解：（1）VOA+OC=（2+coscr,sincr）................................2分

又I砺

(2+cosa)2+sin2a=1,cos。=—..............................4分

2

7T71

又a£（0,兀），即NAOC=—,

33

TT71

又4408=—，与的夹角为三.....................6分

26

(2)AC=(cosa—2,sina),BC=(cosa,sina-2),

AAC-BC=0,可得cosa+sina=工，①

由AC，5C,8分

2

213

(cosa+sincr)=—,2sinacosa=——.............................9分

44

./兀

*/aG(0,7i)，..ae(5,兀)，

2

又由(cosa-sina)二1-2sinacosa=—，cosa-sina<0,

4

・•.cosa—sine=———，②.............................11分

由①，②得cosa=^—―5亩。=11^,从而tana=—匕自.

.............................12分

443

14.（本小题满分12分）

解：(1)制作课桌与制作椅子的人数分别为X与30—X,..............................1分

一名工人在一个单位时间内可制作10把椅子或7张桌子，

所以制作100张课桌所需的单位时间为P(x)=—................................3分

7%

而制作200把椅子所需的单位时间为。瓮)=一200一=』20一...................5分

10(30—x)30—x

(2)完成此项工作的时间为y=max{P(x),Q(x)}.

由于y=P(x)为减函数，y=Q(x)为增函数,

所以，当P(x)=Q(x)时，y最小,7分

即122=二9_,解得X=12」.

8分

lx30-x2

考虑到人数必须为整数，所以

100

-—,x41,2,…,12},

/x

y=max{P(x),Q(x)}=<10分

20

”{13,14,…,29}.

30—x

小工10025〜202025,,

由于P(12)=r=天，。(13)==，—<—'n即n儿=13<儿=1

7x1221171721

所以当x=13时，完成此项工作的时间最短..................12分

15.(本题满分12分)

证明：(1)取G片中点O,连结

由于分别为Gg,CB的中点，

所以。MAA,且£>M=AA.

则四边形4AM。为平行四边形，所以4。AM..............................2分

又4。2平面"河，AMu平面

所以A。I平面.由于D,N分别为Gg，G。的中点，

所以ONBtC.又P,M分别为的中点，

所以.则DNMP...................4分

又£WcZ平面APM,MPu平面APM,所以£W|平面APM.

由于ADcON=。,所以平面AQN|平面

由于ANu平面4DN,所以AN|平面APM..........6分

（2）假设BQ与平面APA/垂直，

由PA/u平面APM,则BC|_LPM..........7分

设P8=x,xe[(),由].当时，NBPM=NB[C]B,

所以RtaPBMRtB«B,所以殁刍

.........9分

11MBBB]

由已知==20,48]=6

匚匚x2^3,曰4A/3,4百rr

所以—；=-=----,倚％=-----.由于x=----定[0,<3],

V2333

因此直线BC,与平面APM不能垂直.....................................12分

16.（本题满分14分）

解：（1）因为/（x）=3s%x+2c0sx+l=\/risi〃（x+9）+l,

2TC

其中0满足tanQ=1,0<(p<—.4分

所以/（%）的最小正周期为2乃・5分

（2）由（1）矢口/（尢）=Vi3s山（x+°）+1,/（x-c）=Vi3sz力（x-c+°）+i,

于是6/(1)+/(工一°)=1可化为\/1^7$%(太+夕)+\/13/?5%(工一0+夕)+0+力=1,6分

上式可变为

VB(tz+Z?cosc)5/7?(^+^)->/13^sinccos(x+^)+t7+/?-1=0.8分

由已知上式对任意实数X恒成立，故须满足

a+hcosc=0(1)

<Z?sinc=0(2)11分

a+b-l=0(3)

若〃=0,由（1）知〃=0,显然不满足（3）故人。0・所以由（2）知sinc、=0,极c=k九,kez.

当c=2k7r,k£z时，cosc=1,贝ij(1)、(3)两式矛盾.故c=(24+1)肛Zwz,cosc=—l.由(1)、(3)

知Q=/7=L,

2

所以(/+Z?2)tan^|--^=^.

14分

17.（本题满分12分）

解：设圆心为尸3,3，半径为.则到轴、轴的距离分别为和.

由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为.

/.r~-2b22分

又圆截轴所得弦长为2=/+L

:.2b2=a?+14分

又P（a,b）到直线x—2y=0的距离为1=匕246分

V5

/.a—2b=±y[5d.

/.a2=4Z?2±4y[5bd+5d2.8分

将。2=2〃-1代入上式得：2b?±+5/+1=0.

上述方程有实根，故

A=8（5J2-l）>0,：.d>^-.10分

将d=手代入方程得b=±l.

又2/?2=。2+16?=±1.

由|。一24=1知、同号.

故所求圆的方程为（x―1）2+（y―1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.....................14分

18.（本题满分14分）

解：（1）当0<工<1时，lnx<0,故f（x）斗ln