向量的数乘运算

6.2.3

向量的数乘运算课标阐释思维脉络1.理解向量数乘的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880000v2.对于880000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?激趣诱思知识点拨知识点一、向量的数乘运算

定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ<0λa的方向与a的方向相反规定当λ=0或a=0时,λa=0名师点析

(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.激趣诱思知识点拨微练习

激趣诱思知识点拨知识点二、数乘向量的运算律1.数乘向量的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.激趣诱思知识点拨微练习已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;

(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨知识点三、共线向量定理1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.名师点析

该定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立.激趣诱思知识点拨微练习若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有

.(填序号)

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.答案:①②③探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的线性运算例1(1)化简下列各向量表达式:(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,试用a,b表示x,y.分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=

,b=

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测用已知向量表示未知向量

探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

用已知向量表示其他向量的一般步骤

探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量共线问题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

1.证明或判断三点共线的方法2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解决三角形的四心问题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(

)A.a与λa的方向相同 B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|解析:因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.答案:C2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与