2022年福建省三明市市第八中学高三数学理期末试卷含解析

2022年福建省三明市市第八中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.求证,P=(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2若a≠则一定有（）A．P＞q B．P＜qC．P、q的大小不定 D．以上都不对参考答案：B【考点】平均值不等式在函数极值中的应用．【分析】设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，将此式化成二次函数的一般形式，结合二次函数的最值即可进行判定．【解答】解：设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，则f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2当时，f（x）取得最小值，即P＜q．故选B．【点评】本题主要考查了二次函数在函数极值中的应用，解答的关键是利用函数思想结合二次函数的最值即可．2.若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．解答： 解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．点评：本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．3.复数的值是（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：D，所以，选D.4.已知当，时，，则以下判断正确的是（）A. B.C. D.m与n的大小关系不确定参考答案：C【分析】设，利用导数求得函数在单调递增，再根据，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设，则，当时，，单调递增，又由，所以，即，故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中设出新函数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．5.已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a﹣1）（a﹣b）＞0参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的性质即可求解．【解答】解：由logab＞1?logab﹣1＞0即：logab﹣logaa＞0∴loga＞loga1当a＞1时，函数是增函数．则有：，即b＞a＞1．当1＞a＞0时，函数是减函数．则有：，即1＞a＞b＞0．考查各项答案，B正确，故选：B．6.函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）参考答案：C考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答： 解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评： 本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．7.函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（

）A.2，0

B.2，

C.2，

D.2，参考答案：D8.复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）A．在复平面内复数对应的点在第一象限

B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则

D．复数的模参考答案：C9.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．10.若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的准线为

参考答案：在抛物线中，所以准线方程为。12.函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．参考答案：[﹣2，1]略13.参考答案：略14.设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=．参考答案：3﹣a4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．15.己知△ABC三边长成等比数列,公比为.则其最大角的余弦值为______.参考答案：16.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是

．参考答案：17.若二项式展开式中的常数项为60，则正实数a的值为__________；该展开式中的奇数项的系数之和为__________．参考答案：2

365【分析】利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，可得a的值，令可得与，的值，可得奇数项的系数之和为可得答案.【详解】解：可得二项式展开式中，，可得，可得二项式的常数项为，，由为正实数，可得a=2；令，可得，，可得奇数项的系数之和为，故答案：2；365.【点睛】本题主要考查二项式定理及二项式系数的性质，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．参考答案：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得，＝6，即c＋d＝6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2．解得即A＝，A的逆矩阵是．

19.（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图1）和频率分布直方图（如图2）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此解答如下问题．（注：直方图中[50，60）与[90，100]对应的长方形的高度一样）（1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在[80，90）之间应抽取多少人？（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]之间份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图求出总人数，得到分数在[80，90）的人数，然后求解成绩在[80，90）之间应抽人数．（2）分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4，得到ξ的可能取值为：0，1，2，求出概率，得到分布列，求解期望即可．【解答】解：（1）由茎叶图知分数在[50，60）的人数为4，[60，70）的人数为8，[70，80）的人数为10，由频率分布直方图知：[50，60）与[90，100]的人数都为4，故总人数为，∴分数在[80，90）的人数为：32﹣4﹣8﹣10﹣4=6，∴成绩在[80，90）之间应抽：人．（2）∵分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4，∴ξ的可能取值为：0，1，2，∵，∴ξ的分布列为ξ012P∴．【点评】本题考查茎叶图以及频率分布直方图的应用，离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20.2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可；（2）求出年龄在[25，30）和[40，45）内的频率与频数，用列举法求出对应的基本事件数，计算概率即可．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目