原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 专题六 第3课时配套课件

第3课时题型三利用空间向量求空间角

[例3](2020年大数据精选模拟卷)如图6-34，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点.(1)求证：AB⊥PE；(2)求二面角A-PB-E的大小.图6-34(1)证明：连接

PD，∵PA＝PB，D为AB中点，∴PD⊥AB.∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE.(2)解：方法一，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，∴PD⊥平面ABC，则DE⊥PD，又ED⊥AB，PD∩AB＝D，∴DE⊥平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB，∠DFE为所求二面角的平面角，

故二面角A-PB-E的大小为60°.

方法二，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC.

如图6-35，以D为原点建立空间直角坐标系，

图6-35设二面角A-PB-E的大小为θ，由图知所以θ＝60°，即二面角A-PB-E的大小为60°.

【规律方法】立体几何中的直线与平面的位置关系，以及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来处理，对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直间的转化关系来证明；对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为相交直线所成的角来处理.本题主要考查立体几何中传统的平行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大，旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力.【互动探究】1.(2019年全国Ⅱ)如图6-36，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1

上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1

的正弦值.图6-36图D89题型四翻折问题

将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法.

[例4](2018年全国Ⅰ)如图6-37，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.图6-37(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，∴BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，∴平面PEF⊥平面ABFD.(2)解：作

PH⊥EF，垂足为H.由(1)得PH⊥平面ABFD.

图6-38设DP与平面ABFD所成角为θ，

【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各点间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明.【互动探究】

2.(2020年全国名校高三5月大联考)如图6-39，在矩形ABCD中，将△ACD沿对角线AC折起，使点D到达点P的位置，且平面ABP⊥平面ABC.(1)求证：AP⊥PB；P-AC-B的余弦值.图6-39

(1)证明：由四边形ABCD是矩形，得AB⊥BC，根据平面ABP⊥平面ABC，平面ABP∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ABP，则BC⊥AP，又AP⊥PC，根据BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，

又PB⊂平面PBC，因此AP⊥PB.

(2)解：过点

P作PO⊥AB于点O，由于平面ABP⊥平面ABC，所以PO⊥平面ABC，以OB所在直线为x轴，过O作y轴平行于BC，OP所在直线为z轴，建立如图D90所示的空间直角坐标系.图D90为何值时，BD⊥AC；

题型五探索性问题[例5](2020年大数据精选模拟卷)如图6-40，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点，侧棱SA和底面成45°角.

图6-40(1)若D为侧棱SA上一点，当(2)求二面角S-AC-B的余弦值大小.【互动探究】3.如图6-41，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为

(1)求证：PB＝PD； (2)若点M，N分别是棱PA，PC的中点，平面DMN与棱PB的交点为Q，则在线段BC上是否存在一点H，使得DQ⊥PH，若存在，求BH的长，若不存在，请说明理由.

图6-41(1)证明：记

AC∩BD＝O，连接PO，∵底面ABCD为正方形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝2.∵PA＝PC，∴PO⊥AC，∵平面PAC∩底面ABCD＝AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥底面ABCD.∵BD⊂底面ABCD，∴PO⊥BD.∴PB＝PD.

(2)解：以

O

为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为