第九章总复习修改

o设P0(x0,y0)o

g:DRR:g(xg(x)

f:DR2R:(x,

zf(x,

h:DR3R:(x,y,

uh(x,y,（1）极限：二元函数

fDR2RPD的聚点，若0limf(PAf在PA.（语言描述0 注意：这里的P是按任意方式(所有路径)趋近于P. （1）（2）

（3）（3）重要性质：闭区域连续函数（I）存在最大最小值（II）可取二元函数的极限 第6和7题（换元法+等价量替换、例1.1

lim(x2y2

1x2y

例1.2

sin(x2y2

x例1.3

x2y

x例1.4

x xx

例1.5求极限

xyxxf

(x,y)

f(x0x,y0)f(x0,y0

f(x,y)

f(x0,y0y)f(x0,y0

xf(x,y)x

f

x,y)f(x,yf(x,y)y

f(x,yy)f(x,

fxx(x,

fyy(x,

fxy(x,

fyx(x,4、可微和全微分称函数zf(xy在点(xy)点处的全增量zAxByo()，(x)2其中zf(xx,yy(x)2AxBy为函数的全微分，记为dz定理3.1(必要条件)zf(xy在点(xy处可微分,(xy)的偏导数z

必存在,z

f(x,y)在点(x,y)处的全微分xdzzxzy 3.2z

f(xy的偏导数zz在点(x,yx连续,则函数在该点处可微分. 求三元函数usin(xy2ez)的偏导数u,u,uxy解y和x看作常数,对x求导得ucos(xy2ez把xz看作常数,y求导得u2ycos(xy2ez把xy看作常数,对z求导得uezcos(xy2ez例

f(x,y)

2y

(x,y)(x,y)

(0,0),f

f(xy在(0,0点不连续 f(0,0)

f(0x,0)f(0,0)

00

x0fy(0,0)

f(0,0y)f

00

(0,0),f(0,0)存在.因为极限 不存在,故f(x,y)在 x0x23.1（P733）

uxsinyeyz2解由u u1cosyzeyz,uyeyz dudx1cosyzeyz)dyyeyz 求函数uxyz的偏导数和全微分z uyzxyz1z

x zuxyzzyz1lnxzz

uxyzlnxyzlnyxyzyzlnxln

yz

yzln duxdxydyzdz

dyy

lnxlnydz例 求函数uxy的所有二阶偏导数x2 例3.4.讨论函数zf(x,y)x4y2 x

0在点(0,0)

x2y2x2x2

f(xyf(0,0fx(0,0)xfy(0,0)y变形P71P1308）

22

(x,y)(0,f(x,y)x2y4, f(x,y)x

x2

x2y2

(x,y)(0,f(x,y)x2y2 (x,y) (x,y)的连续性（ x2

3 (x,y)f(xy(x2y2 (x,y)

zfdzzduzdv

u v

zf[u(x,

v(x,y)]，zzuzv

zzuzv u

v

u

v

zf[u(xyxyzfuf zfuf u 14.1

uf(x,y,z)ex2y2z2

zx2siny.

uu 2例4.2zf(exyx2y2,其中f(,有连续的二阶偏导数,z2zy,y2 设w和xz

f(xyz,

2z 2z 设zxyu,u(x,y),

x 定理1F(xyP(x0y0的某一邻域内具有连续的偏导数Fy(x0y00,F(x0y0

F(x,y0P(x0y0)能唯一确定续且具有连续导数的函数yf(x), 满足y0f(x0),

dyFx F(xy)0yf(x)dyFx 2设函数F(xyz在点P(x0y0z0的某邻域内有连续的偏导数,F(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z0)则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域能唯一确zFx

f(xy,它满足条件z0f(x0y0,zFy 简记：在一定条件下F(xyz0决定了一个函数z

fxy)zFx

zFy 定理3F(x,y,uv)、G(x,y,uv)P(x0,y0u0v0)的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又Fx0y0u0v0)0,Gx0y0u0v0)0且函数F、G

(F,G)在点Px

,u,

(u,

F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域能唯一确定一组连续且具有连偏导数的函u0u(x0,y0),v0v(x0,y0

uu(x,y),vv(x,

满足u

(F,(x,(F,G)(u,

v

(F,(u,(F,G)(u,

u

(F,(y,(F,G)(u,

v

(F,(u,(F,G)(u,（2）（见P87

zf(xyz,

zx zxy的函数对x

xyz

1z

yzxyz u

x v

v 1fu把xzyy

x1fxzyzxu v

y x

fuxzfvfuyxz的函数对z

y1fxyxzyu v

z y1fuxyfv fu zx2

5.2设x22y23z220dx 空间曲线

空间曲面Fx,y,z)0一、空间曲线的切线与法平面情形（I）xx(tyy(tzz(t)T(x(t0),y(t0),z(t0

p0(x(t0y(t0z(t0))的切向量为x0切线方程x(t0

yy(t0

zz0z(t0法平面x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)情形（II）空间曲线

yzz(x)的情形

情形（III）空间曲线

F(x,y,z)G(x,y,z) T

（P965P100二、空间曲面的切平面与法线情形（I）F(x,yz)切平面的法量为nFx(x0y0z0Fy(x0y0z0Fz(x0y0z0000000

FxM(xx0)

M(yy0)

M(zz0)00x00

yy0z0Fx0

Fy Fz情形（II）zf(x,

n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),设、、z轴正向的夹角1f1f2f

f

cos

f

1f2f1f2f 1f2f fxfx(x0y0),fyfy(x0y0

第八节zf(xy第一步求驻点，即使得函数偏导数均为零的点的全体解方程组fx(xy)0,fy(xy)0第二步f(xyA、C、BACB2的符号判定驻点是否为极值点.f(xy在极值点处的极值f(xy第一步f(xyD第二步f(xyD第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最三、条件极值日乘数法（必须掌握P166例7和8及其习题在所给条件G(x,y,z)0下,求目标函数uf(x,y,z)的极值.引进日函L(x,y,z,)f(x,y,z)G(x,y,它将有约束条件（边界条件）的极值问题化为普通的无条件的极值问题8.1（无条件极值）f(xyx3y33x23y29x的极值 先解方程组解得驻点为(1,0),(1,2),(3,0),(3,fxx(xy)6x

fxy(x,y)

fyy(x,y)6yfx(x,y)3x26x9在点(1,0)处

ACB21260又fy(x,y)3y26y

,A在点(1,2)处

(30ACB21260,故函数在这两点处没有极值在点(32ACB21260A0f(32例f(xyx22xy2yD{(x,y)|0x3,0y上的最大值和最小值解f(xyD内驻点.fx2x2y

fy2x20fD(1,1),f(111f(x,yD的边界上的最大值和最小值.如图所示.DL1L2L3L4.L1y

f