现代控制理论最优控制校内讲稿演示文稿

现代控制理论最优控制校内讲稿演示文稿当前第1页\共有89页\编于星期二\12点优选现代控制理论最优控制校内讲稿ppt当前第2页\共有89页\编于星期二\12点6.9Bang-Bang控制当前第3页\共有89页\编于星期二\12点教学要求：1.学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念2.掌握利用变分法求最优控制方法3.掌握状态调节器，极小值原理重点内容：最优控制的一般问题及类型，泛函与变分，欧拉方程，横截条件。变分法求有约束和无约束的最优控制。连续系统的极小值原理。有限和无限时间状态调节器方法，Riccati方程求解。当前第4页\共有89页\编于星期二\12点2.最优控制：在系统状态方程和约束条件给定的情况下，寻找最优控制律，使衡量系统的性能指标达到最优（最小或最大）极值控制。1.最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。某一性能指标最优：时间最短，燃料消耗最少。3.主要内容：变分法、极小值原理（庞特里亚金1958）、动态规划（贝尔曼1957)6.1概述当前第5页\共有89页\编于星期二\12点例6.1.1最优分配问题。有甲乙两个仓库，分别有水泥1500和1800包，向A、B、C三个工地运送。甲库1500包乙库1800包A工地需900包B工地600包C工地1200包问题：如何发运水泥，使运费最省。当前第6页\共有89页\编于星期二\12点约束条件性能指标选择使运费:线性最优化问题不等式约束线性最优化问题静态最优化问题当前第7页\共有89页\编于星期二\12点例6.1.2飞船软着陆问题。问题：如何选择推力，使燃料消耗最少。2)末端条件边界条件1)初始条件：当前第8页\共有89页\编于星期二\12点3)控制约束（发动机最大推力）燃料最省4)性能指标选择使动态最优化问题各个变量均是时间函数基本约束条件系统状态方程控制约束控制域（取值范围）性能指标泛函求泛函极值一般形式当前第9页\共有89页\编于星期二\12点6.2研究最优控制的前提条件1.给出受控系统的动态描述（状态方程）离散系统连续系统2.明确控制域（容许控制）控制约束控制集（取值范围）6.2.1前提条件3.明确初始条件初始状态给定固定始端初始状态任意自由始端初始状态有约束可变始端若系统的初始时刻t0给定，则：当前第10页\共有89页\编于星期二\12点4.明确终端条件若系统的终端时刻给定，则：终端状态给定固定终端终端状态任意自由终端终端状态有约束可变终端5.给出性能指标1）积分型性能指标（拉格朗日问题）动态指标当前第11页\共有89页\编于星期二\12点2）终端型性能指标（梅耶问题）终端指标3）综合型性能指标（鲍尔扎问题）最优控制问题（控制集）最优控制问题的解存在条件：完全能控当前第12页\共有89页\编于星期二\12点6.2.2常见的最优控制1.最少时间控制

它要求设计一个快速控制系统，使系统在最短时间内从初态

终态2.最少燃料3.最少能量控制与消耗的功率成正比，如：通信卫星的太阳能电池。推力，如：航天器携带燃料正比于推力当前第13页\共有89页\编于星期二\12点线性调节器（状态调节器）1)有限时间：2)无限时间二次型性能指标常见便于实现（线性反馈）当前第14页\共有89页\编于星期二\12点有限时间：5.线性跟踪器线性状态跟踪线性输出跟踪无限时间当前第15页\共有89页\编于星期二\12点研究最优控制的前提条件1.给出受控系统的动态描述（状态方程）2.明确控制域（容许控制）控制约束控制集（取值范围）3.明确初始条件最优控制问题（控制集）4.明确终端条件5.给出性能指标当前第16页\共有89页\编于星期二\12点6.2.3主要数学方法最优控制前提条件一组方程或不等式解析法数值计算法，多项式插值当前第17页\共有89页\编于星期二\12点6.3静态最优化问题的解6.3.1一元函数的极值设：上的单值连续可微函数则1)2)最小(大)值：上极小(大)值中的最小(大)值当前第18页\共有89页\编于星期二\12点6.3.2多元函数的极值设：当前第19页\共有89页\编于星期二\12点海赛矩阵为正定矩阵当前第20页\共有89页\编于星期二\12点6.3.3具有等式约束条件的极值方法转成无约束条件问题嵌入法拉格朗日乘子法设连续可微的目标函数：等式约束条件为：当前第21页\共有89页\编于星期二\12点拉格朗日乘子法设连续可微的目标函数：等式约束条件为：式中构造拉格朗日函数：当前第22页\共有89页\编于星期二\12点拉格朗日函数：则H取极值的必有条件变分法当前第23页\共有89页\编于星期二\12点6.4离散时间系统的最优控制（不考）6.4.1基本形式设离散系统n维状态矢量r维输入矢量最优控制问题：寻求输入矢量目标函数J最小动态指标终端指标1问题提出当前第24页\共有89页\编于星期二\12点注意：对应变量增加N倍离散系统如连续系统n维2.拉格朗日乘子法设目标函数：约束条件为：构造拉格朗日函数：当前第25页\共有89页\编于星期二\12点目标函数：约束条件：构造拉格朗日函数：当前第26页\共有89页\编于星期二\12点极小值的必要条件：转成无约束条件问题当前第27页\共有89页\编于星期二\12点边界条件6.4.2具有二次型性能指标的线性系统设离散时间线性定常系统当前第28页\共有89页\编于星期二\12点寻求输入矢量目标函数J最小二次型性能指标当前第29页\共有89页\编于星期二\12点边界条件当前第30页\共有89页\编于星期二\12点6.5连续时间系统最优控制的离散化处理（不考）设连续系统寻求输入矢量目标函数J最小1将系统离散化当前第31页\共有89页\编于星期二\12点2离散系统最优解3连续系统最优解当前第32页\共有89页\编于星期二\12点当前第33页\共有89页\编于星期二\12点6.6泛函及其极值－－变分法6.6.1变分法的基本概念1.泛函：例：如图求平面上两固定点间的弧长。解：当前第34页\共有89页\编于星期二\12点这里自变量仍是一个函数，故泛函也称函数的函数。宗量自变量宗量函数宗量函数的泛函设对于自变量，存在一类函数，对于每个函数，有一个值与之对应，则变量称为依赖于函数的泛函数，简称泛函，记为。1.泛函：当前第35页\共有89页\编于星期二\12点2.泛函的极值如可积若泛函在任何一条与接近的曲线上都有：泛函若则若则求泛函的极值问题称为变分问题，其方法为变分法。当前第36页\共有89页\编于星期二\12点3.泛函的变分1)函数的微分2)泛函的变分设函数则其微分：求极值必要条件：设泛函则其增量：dx的线性连续函数当前第37页\共有89页\编于星期二\12点的线性连续函数泛函的一阶变分为：例6.6.1的高阶无穷小项当前第38页\共有89页\编于星期二\12点3)泛函变分的计算a.利用定义式计算b.利用下式计算例6.6.1(续)当前第39页\共有89页\编于星期二\12点证明：的线性连续函数的高阶无穷小项当前第40页\共有89页\编于星期二\12点4.泛函的极值多元泛函的极值上达到极值的必要条件：可微泛函极小值极大值则同样其取极值的必要条件为：设多元泛函为多元泛函的变分多元函数当前第41页\共有89页\编于星期二\12点多元函数的极值设：当前第42页\共有89页\编于星期二\12点例6.6.2求泛函的变分。解：当前第43页\共有89页\编于星期二\12点6.6.2泛函极值的必要条件－－欧拉方程求极值轨线在上二次连续可微，且设泛函极值的必要条件：即泛函的一阶变分：当前第44页\共有89页\编于星期二\12点其中：uv/当前第45页\共有89页\编于星期二\12点故泛函取极值的必要条件：不受约束任意欧拉方程当前第46页\共有89页\编于星期二\12点横截条件展开上式：继续当前第47页\共有89页\编于星期二\12点求极值轨线在上二次连续可微，且设泛函极值的必要条件：即泛函的一阶变分：当前第48页\共有89页\编于星期二\12点其中：对自由始端成立，则对固定始端更是成立。欧拉方程依然成立返回当前第49页\共有89页\编于星期二\12点例：如图求平面上两固定点连线最短的曲线。解：当前第50页\共有89页\编于星期二\12点1).欧拉方程由边界条件确定。四种边界条件：a.固定端点：当前第51页\共有89页\编于星期二\12点b.两端自由：同理：当前第52页\共有89页\编于星期二\12点c.始端自由：d.终端自由：当前第53页\共有89页\编于星期二\12点6.6.2泛函极值的必要条件－－欧拉方程求极值轨线在上二次连续可微，且设泛函故：极值的必要条件：当前第54页\共有89页\编于星期二\12点故泛函取极值的必要条件：欧拉方程横截条件当前第55页\共有89页\编于星期二\12点说明：1.欧拉方程和横截条件只是泛函存在的必要条件，至于所求极值是极大值还是极小值应由充分条件来定。

2.对于多数工程问题，可根据实际问题的物理含义直接作出判断。当前第56页\共有89页\编于星期二\12点6.6.3多元泛函极值的必要条件故泛函取极值的必要条件：1.欧拉方程求极值轨线在上二次连续可微，且设泛函当前第57页\共有89页\编于星期二\12点2.横截条件分四种情况（略）例：求下述泛函的极值曲线：边界条件为：当前第58页\共有89页\编于星期二\12点例：求下述泛函的极值曲线：边界条件为：解：欧拉方程当前第59页\共有89页\编于星期二\12点解(1)(2)式得：由边界条件知为固定端点问题：当前第60页\共有89页\编于星期二\12点待求量6.6.4可变端点问题求极值轨线在上二次连续可微，已知设泛函（固定始端）拦截问题终端可沿着靶线变动，且具有连续的一阶导数。当前第61页\共有89页\编于星期二\12点故泛函取极值的必要条件：求极值轨线待求量当前第62页\共有89页\编于星期二\12点1).欧拉方程2).横截条件固定始端终端横截条件展开得：二者关系当前第63页\共有89页\编于星期二\12点二者关系终端横截条件:当前第64页\共有89页\编于星期二\12点分析：终端横截条件:a.若靶线为平行于t轴的直线，即则上式为：b.若靶线为垂直于t轴的直线，即则上式为：当前第65页\共有89页\编于星期二\12点3).若终端固定，始端沿给定曲线D(t)变动，则有a.若D(t)为平行于t轴的直线，即则上式为：b.若D(t)为垂直于t轴的直线，即则上式为：当前第66页\共有89页\编于星期二\12点4).同理对多变量泛函，有矢量形式：欧拉方程终端横截条件终端约束曲面当前第67页\共有89页\编于星期二\12点例：求从到直线距离最短的曲线。1).欧拉方程当前第68页\共有89页\编于星期二\12点3).初始条件最优轨线：最优终端时刻：2).终端横截条件:当前第69页\共有89页\编于星期二\12点6.6.5具有综合型性能泛函的情况综合型性能指标积分型性能指标终端型性能指标状态矢量泛函取极值的必要条件：1).欧拉方程2).横截条件固定始端终端条件当前第70页\共有89页\编于星期二\12点6.7用变分法求解连续系统最优控制问题－－有约束条件的泛函极值6.7.1拉格朗日问题设系统其中n维连续可微的矢量函数设性能泛函求（固定始端）终端状态自由当前第71页\共有89页\编于星期二\12点有约束条件的泛函极值分析思路：利用拉格朗日乘子法将有约束条件的泛函极值问题转换为无约束条件的泛函极值问题有约束条件的泛函极值分析方法：1.写出约束方程：2.构造增广泛函：当前第72页\共有89页\编于星期二\12点2.构造增广泛函：则：哈密顿函数式中：拉格朗日乘子矢量令：无约束条件的泛函极值问题状态方程约束当前第73页\共有89页\编于星期二\12点3.泛函极值的必要条件其中：故当前第74页\共有89页\编于星期二\12点哈密顿函数状态方程伴随方程（协态方程）哈密顿正则方程控制方程横截条件(U不受约束)受约束极小值原理故也可直接用欧拉方程推导。当前第75页\共有89页\编于星期二\12点增广泛函:欧拉方程:当前第76页\共有89页\编于星期二\12点横截条件a.固定端点：b.自由端点：终端自由当前第77页\共有89页\编于星期二\12点4.求最优控制的步骤：4)利用边界条件定解。例:已知系统性能泛函且有求1)写出哈密顿函数2)