江西省吉安市县第二中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

江西省吉安市县第二中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 异面直线及其所成的角．

专题： 空间位置关系与距离．分析： 画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答： 解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC

的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评： 本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．2.已知a为实数，若复数为纯虚数，则a=(

)A.－2 B. C. D.2参考答案：A【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】，复数是纯虚数，且，得且，即，故选：A．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根的个数是

(

)A．3

B．4

C．5 D．6参考答案：A略4.若sinx+cosx=，则tan（x+）=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用诱导公式化简所求的表达式，然后求解即可．【解答】解：sinx+cosx=，可得sin（x+）=．tan（x+）=tan（x+）==±=．故选：D．5.如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=

(A)3

(B)4

(C)5

(D)不能确定

参考答案：B略6.在△中，，，，且△的面积为，则等于

（

）A．或

B．

C．

D．或参考答案：C略7.已知平面向量，，，满足||=，||=1，?=﹣1，且﹣与﹣的夹角为，则||的最大值为（）A． B．2 C． D．4参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便可得出向量与的夹角为，然后可作，并连接AC，BC，这样由此可得到，这便说明O，A，C，B四点共圆，从而当OC为圆的直径时最大．并且可以得到，这样便可得出AC=，从而在Rt△AOC中可以求出OC的值，这样即可得出的最大值．【解答】解：根据条件，；∴；∴向量夹角为；如图，作，，连接AC，BC，则：；∴；又；∴O，A，C，B四点共圆；∴当OC为圆的直径时，最大；∴此时，，；∴；∴；整理得2cos∠AOC=sin∠AOC；∴tan∠AOC=2；∴；∴；∴；即的最大值为．故选：C．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.若复数是纯虚数，其中a是实数，则

（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：C10.设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间(

)A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是__________参考答案：

12.的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果,则内角的大小为

参考答案：13.若等比数列{an}满足，且公比，则_____.参考答案：20【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【详解】，故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．14.阅读程序框图，若输入，，则输出

；

；参考答案：15.设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=

．参考答案：2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：216.设全集U={1,2,3,4,5}，若集合A={3,4,5}，则__________.参考答案：{1,2}【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集，集合，∴，故答案为．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．17.已知i是虚数单位，复数z满足，则z=

．参考答案：由题意可得：，则：.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.参考答案：（1）当时，则，整理得即，解得（2）因为对任意的，恒成立，则整理得：对任意的，，所以，则略19.（8分）如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（2）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．

参考答案：证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，-----------------2分

∵E是BD的中点，∴BE=DE，

又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，

∴BF：FC=DG：FC，

又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

则BF：FC=1：2；----------------------------4分

（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

则由（1）知BF：BC=1：3，

又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，则，则=1：5．------------8分20.（本小题满分14分）设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。参考答案：解析：因为

（1）令

或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）

令

的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。……（5分）

（2）令（舍），由（1）知，f(x)连续，

因此可得：f(x)<m恒成立时，m>e2－2

（9分）

（3）原题可转化为：方程a=(1+x)－ln(1+x)2在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根。

且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4。

所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：

2－ln4<a≤3－ln9

…（14分）21.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.参考答案：（1）是参数，；（2）【分析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；（2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且，半圆的圆心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由此能求出点的坐标.【详解】（1）由，得，所以C的参数方程为为参数（2）【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.22.在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）参考答案：考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，即可化为普通方程，将代入=0可得极坐标方程．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，