第四章平面向量数系扩充与复数引入

第1平面向量的线性运算与基本定1．01法则(或几何意义ab的相反向量－bλ时，λaaλ＜0时，λaa的方向相λ＝0时，λa3.a(a≠0)bλb＝λa.λ1，λ2a＝λ1e1＋λ2e2.e1，e2叫做表示5．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ B＝(x2－x1，y2－y1)，|B|＝(3)A＝A－B.(√)a－bb－a向量与向量DA，B，C，D(7)a，bb＝λa，反之成立．(√)(8)同一向量在不同基的表示是相同的．(×)考点一[例 ＝Ca＝b，b＝c④a＝b的充要条件是|a|＝|b|其中正确命题的序号是 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入大一轮复习数学(理 解析：B＝C，∴|B|＝|C|∥C.又A，B，C，D是不共线的四点，ABCD反之，若四边形ABCD为平行四边形，∥C|B|＝|C|＝C.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c[方法引航 4非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量③λa＝0(λ为实数)λ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 解析：a＝0λλ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，ab

考点二[例 C＝a，D＝b， 解析：如图，＝D＋FF＝1→

→1→

1 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点C＝λ＋，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ 解析：在平行四边形中，有C＝＋DE、FCD、BC

→

→＝2→2

∴λ＝μ＝2 4＋ ＋cC＝0， 解析：G为△ABC的重心知A＋B＋C＝0C＝－A－Ba→

3→

3 ＋bGB＋3c(－GA－GB)＝a－3cGA＋b－3cGB＝0，又GA，GB 3 3

所以a－3c＝b－3c＝0，即a＝b＝3c.由余弦定理得cos

2×326＝302×326π[方法引航]用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再在本例(1)中已知条件不变，求Fab解：∵ABCD∴B＝1 F＝1 中，C＝13E＝x·B＋y·D， 3解析：C＝D＋C＝D＋1EBC∴E＝1→＋C)＝1

所以

将本例(3)改为若点M是△ABC所在平面内的一点且满足5M＝＋3C，则△ABM与△ABC的面积比为 M＝＋3C3M－3C＝2D－2M，3M＝2D.D＝3所以△ABM与△ABC的面积之比为3考点三[例 (1)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且B＝a，C＝b，D＝( 2 2A.2a－1＋2 B．－2a＋1＋2 2

2C．－2a＋1－2 D.2a＋1－2 －45°＝90°B为原点，ABx轴，BCy轴建立如图所并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得 2＝2A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D2，1＋2

∴AB＝(－1,0)，AC＝(－1,1)，AD＝2－1，1＋2，令22

λ＝－则有

，得

22 2

μ＝1＋∴AD＝－2a＋1＋2 (2)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( 解析：a＝(2,4) 解析：∴B＝(3，－4)，∴|B|＝5，

解析：B.c＝λ1a＋λ2b，则，解得 c＝1 考点四[例 解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、DBa＝(m,4)b＝(3－2)a∥b 解析：∴a＝(m,4)，b=(3，－2)，a∥b，－2m－12＝0A＋＋C＝，则点P与△ABC的关系为( A．P在△ABC内 B．P在△ABC外C．P在边AB D．P在边ACA＋＋C＝＝－A2A＋C＝0P＝2A∴C、P、A 要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.若在本例(1)中，A，B，C，De1＋e2e2解：A，C，DA组e1＋e2＝(1,2)＝e2，C组 ，D组＝0e2b＝(3，－2)a∥b，且|a|＝13a解： 9λ2＋4λ2＝∴13|λ|＝13，|λ|＝13，∴λ＝±∴a＝13(3，－2)a＝－A＝(12)B＝(a1)C＝(－b,0)a＞0b＞0O

三点共线，则a＋b 解析：D.B＝B－A＝(a，－1)－(1，－2)＝(a－1,1)，C＝C－A＝(－b,0)－(1，－2)＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴B∥C，

4ab 4a当且仅当4a＝b2a＝b＝1 [思想方法3[典例 给定两个长度为1的平面向量A和B，它们的夹角为2π.如图所示，3C＝xA＋yB[解 以O为坐标原点A所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示 3A(1,0)，B－2，2 3由cos 3sinx＝cosα＋3sin

2，sin，x＋y＝cosα＋3sin

33α＝π时，x＋y3[回顾 根据向量相等，建立实数方程(组)，把变量表示为函数求最值[高考体验1．(2014·高考卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( 解析：选B.由于a＝(1,2)，b＝(3,1)，于是b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B. C＝(－4，－3)，C＝( 解析：A.C(x，y)，∵A(0,1)，C＝(－4，－3)，

∴C(－4，－2)C＝(－7，－4) 卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点C＝3D则 A.D

1→4B.D 1→4C.D 4→1D.D 4→1D＝C＋D＝C＋1＝C＋1

4．(2016·高考卷)设a，b是向量则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( 选取＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.数λ＝ 解析：λa＋ba＋2bμ∈Rλa＋b＝μ(a＋2b)，即－μ)a＋(1－2μ)b＝0a，bλ－μ＝0,1－2μ＝01 卷)在△ABC中，点M，N满足M＝2，N＝C.若xB＋yC， ＝＋N＝1→－C)＝1＝xB＋yC

答案 A 基础演 解析：选B.∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.A＝(2,3)，A＝(4,7)，C 解析：A.由于A＝(2,3)，A＝(4,7)，所以C＝A＋C＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．在△ABCPBC上，且＝2CQAC的中点，若A＝(4,3)，Q＝(1,5)，C 解析：B.C＝3C＝3(2Q－A)＝6Q－3A＝(6,30)－(12,9)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，F＝( 1→11→11→11→2＝C＋F.C＝1F＝2F＝1C＋2A＝1

2AB－3AD已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( 解析：D.∵a＋bc共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②

，即 解析：，P＝xA＋yB，＝2A，

＝3，

＝3，

＝4，

＝4，P＝B＋＝2AP＝B＋2→＝B＋2－B)＝2

8 8C1＝k1a＋k2b，C2＝h1a＋h2bC1＋C2＝ma＋nb，则实数 C1＋C2＝(k1＋h1)a＋(k2＋h2)b＝ma＋nb答案 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的 解析：u∥v3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝1B 能力突设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的( 解析：C.a＝(4,2)，则|a|＝25a∥b都成立；因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝25，知∴a＝(4,2)因此“a＝(4,2)”是“a∥b”B＝λa＋bC＝a＋μbλμ∈RC三点共线的充要条件为( 解析：D.∵A、B、Ct，满足λa＋b＝ta＋μtba，b

已知△ABC中，点D在BC边上，且D＝2BD＝rB＋sC则r＋s的 33 33 D.∵D＝2→－C) ＝2→2又D＝rB＋sC，∴r＝2，s＝－2， ∴r＋s＝0A＝(1－3)B＝(2－1)C＝(k＋1k－2)点能构成三角形，则实数k应满足的条件是 解析：A，B，C则向量，C∵B＝B－A＝(2－1)－(1－3)＝(1,2)C＝C－A＝(k＋1k2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0k为何实数时，ka－ba＋3b解：(1)a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)， 72＋32＝58.因为ka－b与a＋3b平行，3(k－2)＋7＝0 a＋3b＝(7,3)a＋3b＝－3(ka－b)，a＋3bka－b第2平面向量的数量积及应A＝a，B＝bbθababb的数量积(或内积)a·ba·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数00·a＝0.a·ba的长度|a|ba的方向上的投影|b|cosθa＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θa，b数量积：a·b＝|a||b|cos11模：|a|＝a·a＝11＝夹角：cosθ＝ ＝ 1 11

a⊥b|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立 x2＋y2· 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向a·b＝0a＝0a⊥ba·b＞0aba·b＜0ab的夹角为钝角．(×)＝CC·D＝0(9)因|e|＝1a·e＝e·a＝1.(×)(10)在△ABC中，与C考点一[例1] (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·C等于( 解析：法一：B·C＝(B－A)·(－A)＝－B·A＋A2＝16.法二：∵BCAC，∴B·C＝|C|2＝16.(2)(2017·河北石家庄质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则·的最大值为

→ z＝2x＋1

C(2,1)时，取最大值9

根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中的数量积a·b，有以出向量a，b；第二，根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.P＝λBQ＝(1－λ)C，222C.1±2

＝－2

λ等于

2B.1±222 解析：选A.因为Q＝Q－B＝(1－)C－B，P＝P－C＝λB－CQ·P＝－3，∴[(1－λ)C－B](λB－C)＝－3， ∴(1－λ)λC·B－λB2－(1－λ)C2＋B·C＝－2∴(λ－λ2)2×2cos22△ABC4λ2－4λ＋1＝0λ＝12ABCD1EAB边上的动点，则E·B ；E·C的最大值 ABADy，设E＝(t，－1)，B＝(0，－1)，E·B＝(t，－1)·(0，－1)＝1.C＝(1,0)E故E·C的最大值为1.E点在哪个位置，E在B∴E·B＝|B|·1＝1，EBE在CDC＝1(E·C)max＝|C答案

考点二→ 3 → [例 丙卷)已知向量BA＝2，2，BC＝2

3 3

2×2＋2 3解析：由两向量的夹 ，可得cos∠ABC＝→→

＝2C|B|＝3，|C|＝2.P＝λ＋C⊥C， ⊥CP·C＝0，即＝(λ－1)B·C－λB2＋C2 [方法引航[方法引航 求两非零向量的夹角时，要注意夹角的范3若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角 36666

3B＝b，D＝a366a＋ba－b的夹角为C与D的夹角 2 2a＝(k,3)b＝(1,4))所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0考点三[例

3 333∴|4a－b|＝2(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)D|D|＝1，A＋B＋D (x－3)2＋y2＝1，A＋B＋D＝(x－1，y＋|A＋B＋D|＝-3)的距离加上圆的半径， 3－12＋0＋32＋1＝7＋1，最小值3－12＋0＋32－1＝7－1，故取值范围为[7－1，答案：[7－1，[方法引航 利用数量积求解长度问题的处理方 3若|a|＝r，a＝x，y1

|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，B＝2a＋的夹角为6|D| D＝1→

|D|2＝4(a ×|D|＝2. 解析：p·q＝(2，－1)·(x,2)＝2x－2＝0∴p＋λq＝(2，－1)＋λ(1,2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p＋ 5λ2＋5≥5，∴最小值为答案：[易错警示 已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 [正解 －9＋－9＋4

－9－.λa＋ba＋λb－9＋4＝1，(λa＋b)·(a＋λb)＞0.因此，所求的实数－9＋4－9－

或 －9－ －9＋ [答案

[易误 此题易忽略λ＝1时，有λa＋b与a＋λb同向 n〉可为锐角，也可为0，m·n＜0，其〈m，n〉可为钝角，也可为π.此类题要考虑m与n共线情况．即：(1)a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0a，b(2)a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0a，b[高考体验1．(2016·高考甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则 解析：D.a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得12－2(m－2)＝0m＝82．(2015·高考课标卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( 解析：3．(2016·高考乙卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2a⊥bm＋2＝0 1→＋C)，则与C的夹角 O＝1→＋C)OC 22π5．(2013·高考课标卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，·D＝ 解析：A为原点，ABx轴．ADy轴，建立平面直角坐标系如图所示，A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴E＝(1,2)，D＝(－2,2)，∴E·D＝(1,2)·(－2,2)＝－2＋4＝2.6．(2012·高考课标卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10， 解析：∵a，b∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝ 2|2a－b|2＝4－4× ＋|b|2＝10，∴|b|＝3222A 基础演已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量

33 33 D．－解析：选B.a·b＝|a||b|cosπ，则3＋ 9＋m2·

336m＝

2 5 55 5设向量a，b满足

＝－223 2357 57 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于( 解析：A.a∥b2x＝－4，x＝－2，故a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.1 1解析：a＝(－2，－6)，得|a|＝210a·b＝|a||b|cos

210· 从而λ＝－3.B·C＝tan

ABC的面积 ＝6|B||C|cos π，|B||C|＝2，6积S＝1→

1

a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tan

解：(1)a⊥ba·b＝4×3＋5cosα×(－4tansin cosα＝4，tanα＝sincos 因此 72＋12＝5 2 2 2

sin5×2－5×2＝10＝(2sinB，－3)，n＝(cos

1)(1)B(2)b＝2S△ABC(1)mn⇒2sinB·2cos2B－1＋3cos2B＝0⇒sin2B＋3cos2B＝0 (2)cos

3

2a·c·sinB≤2×4×2＝B 能力突，B·C＋B2＝0， D.B·C＋B2＝0B·(C＋B)＝0B·C＝0所以△ABC又根据条件，不能得到|B|＝|C|.已知△C外接圆的半径为1圆心为.若A＝且2A＋＋C＝0，则A·B等于( )33332 22A＋＋C＝0(A＋B)＋(A＋C)＝0＝0OBC的中点，故△ABC为直角三角形，∠A为直角，又|OA|＝|AB|，|C|＝3，|B|＝1，AB2A＋B＋C＝0|A|＝|B|在B方向上的投影为 3 3解析：C.DBC的中点，由得∴A、O、D共线且|O|＝2|D|，O为△ABC的外心，∴AOBC∴|C|＝|B|＝|A|＝2，|D|＝1，∴|D|＝3，∴ABa＝(2－1)b＝(λ3) 2解析：a·b＜02λ－3＜0λ＜3a∥b226＝－λλ＝－6.λ＜32 答案

a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sin(1)若|a|＝|b|x解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sin|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cos＝ sin2x－2cos f(x)的最大值为第3数系的扩充与复数的引实数 纯虚数虚数b≠0非纯虚数Z在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量Z.

④除法：z

＝ 2＋

c c复数的加法满换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有复数的乘法满换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打z＝a＋bi(a，b∈R)a＝0zz1，z2z1－z2＞0(8)z＝3－2i对应点的坐标为(3，－2i)．(×)(9)B(10)虚数可以构成等比数列且通项、前n项的都适合考点 复数的概[例 (1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 ＋i的 解析：ab＝0a＝1，b＝0时，a＋ba＋b 纯虚数”(2)(2016·高考甲卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( 解析：z＋i＝3－iz＝3－2i，所以z乙卷)设(1＋i)x＝1＋yix，y是实数，则)B.C.解析：因为又∵x，y∈R所以 12＋12＝2，选[方法引航]有关复数的概念问题，一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、 i i若 i i若本例(2)改为设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( 解析：B.(z－2i)(2－i)＝5z＝5＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.∴zab∈Ria＋i＝2－bi 解析：a＝2，b＝－1，则

考点二[例 丙卷)若 zz 解析 zz

i为虚数单位，1＋i

解析 a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则(a＋bi)·i2 解析 解设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝( 解析：z＝a＋bi(a，b∈R)z·zi＋2＝2z，得

得 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式. 1＋zz＝1＋2ii是虚数单位，则＋z

·z 解析：∵z＝1＋2i，∴zz＋1z所以z

·z＝z·zz满足|z|－zi＝3＋i解：设 3 3考点三[例 解析：由a＋(b－1)i＝1＋i，a，b∈R，a＝1b－1＝1a＝1b＝2.

ai

因此ai

B量A对应的复数是 A＝B＋A＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.[方法引航]因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某iZz，则表示复数的点是( 解析：D.∴

ii

∴表示复数z设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( z2的对应点的坐标为(－2,1)[易错警示复数代数运算的转化方法——[典例1] (2015·高考课标卷Ⅱ)若a为实数且(2＋ai)(a－2i)＝－4i则a＝( [解析

a＝0.[答案 [典例 (2015·高考江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模 所以z＝2＋i或z＝－2－i，即 22＋1＝法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，

或 所以z＝2＋i或z＝－2－i， 22＋1＝5.又∵|z2|＝|z|2＝5，∴|z|＝[答案 [回顾 求解复数问题，就是利用复数相等转化为实数问题，典例2中的法一采用了配方法，方法三利用了模的性质|z1·z2|＝|z1|·|z2|z1

A 基础演1．(2016·高考卷)设i为虚数单位，则复数 解析： 卷)复数2－i 解析：A2－i＝2－i2＋i＝5z·z 5 53 3解析：A.z＝2－i，所以z∴z·z若复数2＋i的实部与虚部相等，则实数b等于 3解析：A.

∴5

3 z，则 ＝2＋2 B. 解析：D.由题意得，z＝1－32＋ 3＋i

1＋

1－3＋3＋z 2 3 3＝1－ ＝－2＋2 2－2＝－z

zz 55

解析：选A.由z2＝1－

5i是纯虚数，得a＝1z时z1＝iz2复数z＝ (i为虚数单位)，则|z|等于 5 5解析：选 所以 2＋i

的共轭复数是

解析：选

∴

法二

1－2i＝

∴

若z1＝2＋＋1)＋(2＋－4)i(∈)z2＝3－2i则“＝1”是“z1＝2”的( ) 解析：A.由

m＝－2已知 ＝1＋i(i为虚数单位)，则复数

解析：选D.

＝1＋i，得

＝－1－i B 能力突1．i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于 2 B.22C.2

2i 2

2222解析：选C.由题意知

＝2

iiM＝i，i2ii中的元素个数是

，i是虚数单位，Z 解析：B.M＝{i，－1，－i,2}，Z∴Z∩M＝{－1,2}Z∩M23．i是虚数单位，复数

a，b∈R，ia－i2＋bi互为共轭复数，则 解析：由已知得，a＝2，b＝1a＋bi＝2＋i，所以复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内则实数m的取值范围 解析：z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)，在第三象限内，故－2＜0答案 已知复数z＝1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z 3434解析：z＝－21＋3i

3

1

1 3

1 则z＝－4－4iz·z＝－4＋4i·－4 ||1||1－ 法二：z·z 2 1－ 1专题测试三(90100分a，b③向量与向量④若非零向量与D是共线向量，则A，B，C，D四点共线． 解析：选A.本题考查向量的基本概念．根据零向量的定义可知①正确；根据单BAD，B＝c，C＝b.D＝2C，D＝( 解析：选C.因为D＝2C，所以D－＝2(C－D)，得3D＝B＋2C＝c＋2b，即D＝

＋＋设向量a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( 解析：选D.本题考查向量数量积的坐标运算．依题意知，a＝(1，－2)，b＝(－|B|＝4|C|＝1ABC的值为

＝3，即

4×1×sinA＝3sinA＝2·AB·AC·sin 2B·C＝|B|·|C|·cos ＋ba－2b垂直，所以(λa＋b)·(a－2b)＝03λ＋1＋4λ＝0F＝( 1→11→11→11→1C＝1F＝1＝C＋F＝1

3△C的三个内角C所对的边分别为abc设向量p＝