毕业设计(论文)-一阶微分方程的初等解法

PAGEPAGE15提供全套，各专业毕业设计目录摘要……………1关键词…………………………1Abstract………………………1Keywords……………………1引言……………11变量分离微分方程与变量代换……………11.1变量分离方程……………11.2可化为变量分离方程的类型……………22线性微分方程与常数变易法………………53恰当微分方程与积分因子…………………83.1恰当微分方程……………83.2积分因子………………104可解出y（或x）的方程的解法…………11结论…………………………14致谢…………………………14参考文献……………………14一阶微分方程的初等解法数学与应用数学专业学生指导教师摘要：主要对一阶微分方程的初等解法及其与若干应用进行了研究，把微分方程的求解问题化为积分问题，应用到实际中，用理论指导实践，由抽象总结出具体规律，加深对所学知识的理解.对于一般的一阶微分方程没有通用的初等解法，仅对若干能有初等解法的方程类型及求解的一般方法进行了调查，这是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.讨论的主要类型有：变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法．关键词：变量微分方程恰当微分方程常数变易法积分因子.TheElementarySolutionofFirst-orderDifferentialEquationsStudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematicsXiaoShanshanTutorFenGuanghuiAbstract：Somerelatedsolutionsofthefirst-orderdifferentialequationsanditsseveralapplicationsaremainlydiscussed,throughdifferentmethodstosolvethisimportanttechnologyfortheapplicationofintegration.Theoriestoguidepractice,fromtheabstractintoconcretelaws,soastoenhancetheunderstandingoftheknowledge.Inmostofthefirstorderdifferentialequations,therearenotgeneralelementarymethods.Firstlythebasicconceptofdifferentialequationsareintroduced.onsuchabasis,thesolutionsofthefirst-orderdifferentialequationsareintroducedincludingthemaintypessuchasvariableandseparableequations,theequationswhichcanbetranslatedintothevariableandseparableequations,homogeneousequationsandthefirst-orderlineardifferentialequations.Tosolvesuchtypesoffirst-orderdifferentialequations,themethodscanbeused:variableseparationandtheconstantvariationoffirst-orderlineardifferentialequations．Keywords:separableequations；exactequations；constantvariation；integratingfactors引言一阶微分方程的解法有很多，而且技巧性也很强，仅对一些简单的方法和其应用惊醒了研究.如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1变量微分方程与变量代换变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方法求解的微分方程类型，对一般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换，将其化为变量分离微分方程来求解1.1变量分离微分方程形如（1.1）的方程，称为变量分离微分方程，其中分别是的连续函数.如果，方程改写为：（1.2）如果是方程的解，且，则在解的定义域内满足（1.3）两边积分得（1.4）则是由隐函数方程（1.5）所确定的函数，对一切允许值，都将是方程的解，即（1.5）实际给出了方程的通解公式.如果有实根（k=1,2,3，…,m）,则可以验证（k=1，2,3，…，m）也能是方程的解.有时可以通过扩大常数C的取值范围，使其包含于通解表达式中.例1求微分方程的通解.解：方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分得从而又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程的通解1.2可化为变量分离方程的类型对于方程（1）如果，则称为齐次微分方程作变量代换，则，于是从而，，分离变量得两端积分得求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的通解.例2. 解：原式可化为，令=，则，于是分离变量两端积分得即故方程通解为（2）形如（1.6）的方程称为线性分式方程，这里均为常数.当时，方程（1.6）是齐次方程，当不全为零时，如何化为某种已知的可解类型？当的情形设，则方程可以写成（1.7）令，方程就化为变量分离微分方程（1.8）当时解方程组（1.9）设所求得的解为作坐标平移变换（1.10）将方程（1.6）变成齐次方程（1.11）经过变换将方程（1.11）化为变量微分方程.求解所得变量微分方程后，逐步代回原来的变量，求得原方程的解例3求解方程（1）解解方程组得令代入方程（1），则有（2）再令即则（2）化为两边积分，得因此记并代回原变量，就得此外，易验证即也就是（2）的解.因此方程（1）的通解为其中为任意的常数.2线性微分方程与常数变易法我们把一阶线性方程通常写成其标准形式：（2.1）其中，为连续函数，当时，方程成为：（2.2）称方程（2.2）为方程（2.1）对应的齐次线性方程，而称（2.1）为非齐次线性方程.齐次线性方程（2.2）是变量分离微分方程，可求其通解为：（2.3）为了求（2.1）的解，设想用两个新的未知函数的乘积表示原来的未知函数，即：（2.4）代入方程得（2.5）将其整理得：（2.6）设为齐次方程的解，则方程变成（2.7）这是一个变量分离微分方程，很容易求得其通解为;(2.8)最后得到非齐次线性方程的通解（2.9）以上这种方法被称为常数变易法例4求方程的通解. 解:这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解，(1)，（2），（3） 用常数变易法.把换成，即令，（4）则有，代入（1）式中得，两端积分，得.再代入（4）式即得所求方程通解. 另解我们可以直接应用（2.9）式得到方程的通解，其中，，代入积分同样可得方程通解，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（2.9）式求解形如（2.10）的方程称为伯努利方程，将方程（2.10）两边同时除以，方程变成由于即关于y的导数恰好为的1-n（常数）倍，于是方程化为令伯努利方程化为了线性方程求得此线性方程的通解，代回原变量，就可得到伯努利方程的通解.此外，如果n>0，则y=0显然也是伯努利方程的解例5

解： 这是n=3时的伯努利方程.两边同除以得令=由一阶线性方程的求解公式==3恰当微分方程与常数变易法恰当微分方程是另一种既简单又基本的可积方程类型，一般的方程可以通过求得其积分因子，乘以积分因子而化成全微分方程求解，这是一阶微分方程初等积分方法的第二种有效途径.3．1恰当微分方程我们讨论一阶对称形方程(3.1)而且约定,在所考虑的单连通区域G都具有一阶连续偏导数.如果其左端恰好是一个恰当微分，即存在一个可微的二元函数，使得,（3.2）则称这个方程为恰当微分方程，称为左端恰当微分的一个原函数.根据数学分析中关于线积分与路径无关的几个等价命题及全微分方程的定义，方程（3.1）为恰当微分方程的充分必要条件是：在所考虑的单连通区域G内有（3.3）如果方程（3.2）是恰当微分方程，设是使得条件（3.3）成立的可微函数，则方程（3.2）就成为.设函数y=(x)是方程（3.2）的解，则(3.4)从而(3.5)这里C是某个常数.这表明，恰当微分方程（3.2）的解是由隐方程(3.6)所确定的隐函数.反之，对于保证隐方程（3.6）有解的任意常数C，方程（3.6）确定的隐函数是则，于是(3.7)这表明是恰当微分方程（3.2）的解.总而言之，恰当微分方程(3.2)的解是由隐函数方程（3.6）所确定的隐函数，反之由方程（3.6）所确定的隐函数也是必然是恰当微分方程(3.2)的解.求出方程(3.2)左端微分式的原函数成为解恰当微分方程的关键.利用与路径无关的线积分化为定积分求这个原函数的方法，不失一般性，取，有（3.8）最后得到恰当微分方程(3.2)的通解为，这里C为任意常数.例6求解解：令，则此方程为恰当微分方程.于是通解为3．2积分因子下面我们看这样一个简单的方程它显然不是恰当微分方程，但只要分别乘以下列因子方程就分别化为这些都是恰当微分方程，相应得到方程的通解分别为由此可见，非恰当微分方程可以通过乘以某个非零因子而化为全微分方程，并且这样的因子还不是唯一的，相应于方程乘以不同的这样的因子化成的全微分方程所得到的通解在形式上还可以是多样的.如果存在连续可微的函数使得（3.9）成为一个恰当微分方程，则称为方程(3.2)的一个积分因子.显然，方程（3.9）与方程(3.2)是同解的.为了求方程(3.2)的积分因子，首先需了解作为方程(3.2)的因子所具备的条件.根据积分因子的定义及恰当微分方程的充要条件（3.3），为方程(3.2)的积分因子当且仅当即（3.10）这意味着要求一般方程(3.2)的积分因子，需要一个一阶线性偏微分方程（3.10），这比解方程(3.2)本身反而困难得多.尽管如此，我们可以考虑求某些特殊形式的积分因子，以简化条件（3.10）使其求解成为可能.例7解：这里方程有积分因子：两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：4可解出y或x的方程的解法接着我们讨论一阶隐方程.如果可以将从方程中解出，求解方程就归结到一个或几个显示微分方程的求解问题1.首先讨论形如（4.1）的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数.引进参数，则（4.1）变为（4.2）将（4.2）两边对x求导数，并以代入，得到（4.3）方程（4.3）是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是我们可以按照前面的方法给出解.若已求得（4.3）的通解的形式为：，（4.4）代入（4.2）得（4.5）若已求得（4.3）的通解的形式为：（4.6）则得到（4.1）的参数形式的通解为（4.7）其中p为参数，c为任意常数.若已求得（4.3）的通解的形式为：（4.8）则得到（4.1）的参数形式的通解为：（4.9）其中p为参数，c为任意常数.例8解：令，则，从而=，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.2.形如：（4.10）的方程的求解方法与方程（4.1）的求解方法完全类似，这里假设函数有连续偏导数.引进参数则（4.10）变为：（4.11）将式（4.11）两边对y求导数，然后以代入，得到（4.12）方程（1.44）是关于的一阶微分方程，但是它的导数已解出，可按照之前的方法求解.设求得通解为：（4.13）则（4.10）的通解为：（4.14）例9解：令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为结论一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型致谢本论文完成之际，我要由衷感谢刘爱晶老师在课题设计和论文写作上的悉心指导，同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱.参考文献：[1]王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2007:30-67.[2]杨继明.常系数线性微分方程组的解法[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）,2001.[3]石瑞青,闫晓红.常微分方程全程导学及习题全解[M].3版.北京:中国时代经济出版社,2007:12-27.[4]伍卓群，李勇.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社，2004.[5]杨继明,蔡炯辉.常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）,2001（1）.[6]丁同仁.常微分方程教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用基于ATmeg