中考数学二轮复习压轴题精讲专题5：二次函数与平行四边形 (含答案详解)

二次函数与平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是对角线时，那么有（2）当边AC是对角线时，那么有（3）当边BC是对角线时，那么有1.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．【解析】

【分析】

（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．

（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可进行解答；

（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

【详解】

解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，

将，，三点代入函数解析式得：，

解得，

所以此函数解析式为：；

（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，

∴点的坐标为：，

∴

∵，

当时，有最大值为：．

答：时有最大值．

（3）设．

当为边时，根据平行四边形的性质知，且，

∴的横坐标等于的横坐标，

又∵直线的解析式为，则．

由，得，

解得，，．（不合题意，舍去）

如图，当为对角线时，知与应该重合，．

四边形为平行四边形则，横坐标为4，

代入得出为．

由此可得或或或．

【点睛】

本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．2.抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A．B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m：

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；抛物线的对称轴是：x=1；（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②．【解析】

【分析】

（1）对于抛物线解析式，令y=0求出的值，确定出A与B坐标，令x=0求出的值确定出坐标，进而求出对称轴即可；

（2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出，利用平行四边形的判定方法确定出的值即可；

②连接，设直线与x轴交于点M，求出的长，根据，列出

关于的二次函数解析式．

【详解】

解：(1)对于抛物线

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到，即(x?3)(x+1)=0，

解得：x=?1或x=3，

则A(?1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线对称轴为直线x=1；

(2)①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

把B(3，0)，C(0，3)分别代入得：

解得：k=?1，b=3，

∴直线BC的解析式为y=?x+3，

当x=1时，y=?1+3=2，

∴E(1，2)

当x=m时，y=?m+3，

∴P(m，?m+3)

令中x=1，得到y=4，

∴D(1，4)，

当x=m时，

∴线段DE=4?2=2，

∵0<m<3，

∴线段

连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由，得到m=2或m=1(不合题意,舍去)，

则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF，设直线PF与x轴交于点M,由B(3，0)，O(0，0)，可得OB=OM+MB=3，

3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由.

(3)已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.【答案】(1)；(2)点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大，理由见解析；(3)

点P和点Q的坐标为P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).【解析】

【分析】

（1）将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入解析式即可解答

（2）令x＝0，y＝﹣1，得出C的坐标，再利用对称轴的性质得出C1，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入直线C1B解析式，得出直线C1B的解析式，设M(t，)，则E(t，0)，F(0，)，根据矩形的面积公式即可解答

（3）根据题意可分情况讨论①当C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，求出m即可解答；②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)，求出m即可

【详解】

(1)将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：

∴该抛物线的表达式为：.

(2)在中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)

∵点C关于x轴的对称点为C1，

∴C1(0，1)，设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入得，解得，

∴直线C1B解析式为，设M(t，)，则E(t，0)，F(0，)

∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t()＝﹣(t﹣1)2+，

∵﹣＜0，

∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M(1，)；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大.

(3)由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：

①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，

∴|()﹣(m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，

P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)

②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，

∴PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)

∴(m+1)+()＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，

∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；

综上所述，点P和点Q的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).

【点睛】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值4.综合与探究

如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；

(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法进行求解即可；

(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD=，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1=8，由此即可求得答案.

【详解】

(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，

∴，

解得，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，

∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，

由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，

∴S△OAC=，

∵S△BCD=S△AOC，

∴S△BCD=，

设直线BC的函数表达式为，

由B，C两点的坐标得，解得，

∴直线BC的函数表达式为，

∴点G的坐标为，

∴，

∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，

∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，

∴S△BCD=，

∴，

解得(舍)，，

∴的值为3；

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，

以BD为边时，有3种情况，

∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，

当点N的纵坐标为时，如点N2，

此时，解得：(舍)，

∴，∴；

当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，

此时，解得：

∴，，

∴，；

以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，

∵，D(3，)，

∴N1D=4，

∴BM1=N1D=4，

∴OM1=OB+BM1=8，

∴M1(8，0)，

综上，点M的坐标为：.

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），

当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=AB=×4=2，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，

综上所述，P点的横坐标为4或或；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，

设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

解方程组得，则M1（，﹣）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），

∵3=

∴x=，

∴M2（，﹣）.

综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．【解析】

【分析】

【详解】

解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，

∴，解得，

∴y=﹣x2+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

①如图2，，

由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=

，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），

则，

解得或，

∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．

②如图3，，

由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，

∴AM所在的直线的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则，

解得或，

∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．

③如图4，，

由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），

则

解得，

∴点P的坐标是（﹣1，）．

综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．

【点睛】

本题考查二次函数综合题．7.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；

（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；

（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①当AC＝AE时，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），

∴E（3，0），

②当AC＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③当AE＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），

∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，

∴点Q的纵坐标为4，

设Q（t，4），

将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【点睛】

此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．8.如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．

（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【解析】

【分析】

（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；

（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；

（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．

【详解】

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵A（0，1），B（，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+m，

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，

∵点F的横坐标为，

∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，

∴F点的坐标为（，﹣），

又∵点A在抛物线上，

∴c＝1，

对称轴为：x＝﹣，

∴b＝﹣2a，

∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，

∵四边形DBFE为平行四边形．

∴BD＝EF，

∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），

解得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；

（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，

则P'（n，﹣n+1），

∴PP'＝﹣n2+n，

S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，

∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．

（3）∵，

∴x＝0或x＝，

∴C（，﹣），

设Q（，m），

①当AQ为对角线时，

∴R（﹣），

∵R在抛物线y＝+4上，

∴m+＝﹣+4，

解得m＝﹣，

∴Q，R；

②当AR为对角线时，

∴R（），

∵R在抛物线y＝+4上，

∴m﹣+4，

解得m＝﹣10，

∴Q（，﹣10），R（）．

综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．9.如图1，抛物线

与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+

，最大值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．【解析】

【分析】

（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．

【详解】

解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得

，

解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直线OE解析式为y=﹣x，

由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），

∵PG∥y轴，

∴G（m，﹣m），

∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直线OE解析式为y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；

（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，

∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②当AC为对角线时，设AC的中点为K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵点N在对称轴上，

∴点N的横坐标为﹣1，

设M点横坐标为x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，

∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

考点：二次函数综合题．10.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；

（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐标为：或或或．【解析】

【分析】

（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．

【详解】

解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，

故直线l的表达式为：，

将点A、D的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：；

（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，

即：则，

设点P坐标为、则点，，故有最大值，

当时，其最大值为18；

（3）由题意得，，

①当NC是平行四边形的一条边时，

设点P坐标为、则点，

由题意得：，即：，

解得或0或4（舍去0，此时M和C重合），

则点M坐标为或或；

②当NC是平行四边形的对角线时，

则NC的中点坐标为，

设点P坐标为、则点，

N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，

即：，

解得：或（舍去0，此时M和C重合），

故点；

故点M的坐标为：或或或．

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）【解析】

【分析】

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，

代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，

∴m的值为7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴抛物线对称轴为x=2，

∴可设P（2，t），

由（2）可知E点坐标为（1，8），

①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，

∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②当BE为对角线时，

∵B（5，0），E（1，8），

∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），

设Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

考点：二次函数综合题．12.如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．【答案】（1）；（2）点坐标为；（3），【解析】

【分析】

（1）将A、C点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析式；

（2）过点作轴交抛物线于点，则，过点作交抛物线于点，设，借助，即可求得t的值，从而求得D点坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，设，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标．

【详解】

解：（1）：抛物线经过点，解得

∴抛物线的解析式为

（2）过点作轴交抛物线于点，则

过点作交抛物线于点

过点作于点，则

设点的横坐标为，则

∵点是与轴的交点，

解得的坐标为，

解得（舍去），

∴点的纵坐标为：

则点坐标为

（3）设直线BC的解析式为：，

将C（0,3），B（4，0）分别代入得，，解得，

∴直线BC的解析式为：，

设，

①当FD为平行四边形的边时，

如图，当N点在M点左侧时，

则即

整理得，即,

故，

解得：，

此时；

同理当N点在M点右侧时可得，

故，

解得，

此时；

①当FD为平行四边形的对角线时，

则,即

故，整理得，

该方程无解．

综上所述：，．

【点睛】

本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M点坐标．13.已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，

（1）求二次函数的表达式及点坐标；

（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；

（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．【答案】（1），A（-3，0）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.【解析】

【分析】

（1）把A,C点带入方程，列方程组即可求解；

（2）根据题意得出当点到直线的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；

（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.

【详解】

解：（1）将B（1，0），带入函数关系式得，，

解得：，

∴二次函数表达式为：；

（2）当点到直线的距离取得最大值时，

∵A（-3，0），，

设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，，解得：，

∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，

当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，

此时直线l的表达式为y=-x-3-m，

联立：，得：，

令△=，解得：m=，

则解方程：，得x=，

∴点D的坐标为（，）；

（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），

当OB为平行四边形的边时，

如图1，可知MN和OB平行且相等，

∴点N（-2，t）或（0，t