新同步学案数学必修第一册版

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课时学案4.2

指数函数4.2.1

指数函数的概念y＝ax答：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．1

1②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝2，4，…，该函数无意义．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.2．指数函数的解析式有什么特征？答：①a>0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.课时学案题型一

指数函数的概念例1

(1)给出下列函数：①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx.其中为指数函数的有

①⑤

(填所有正确的序号)．【解析】本题主要考查指数函数的概念．②不是指数函数，因为底数不能是自变量；对于③，－4x是－1与4x的乘积，故③不是指数函数；对于④，－4<0，故④不是指数函数；对于⑥，指数不是自变量x，而是x的函数x2，故⑥不是指数函数；对于⑦，底数x不是常数，故⑦不是指数函数．由指数函数的概念可知，①⑤是指数函数．(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(

C

)A．(0，1)∪(1，＋∞)

B．[0，1)∪(1，＋∞)2C.

，1∪(1，＋∞)1

1

2D.

，＋∞【解析】

依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，2解得a>1，且a≠1.探究

1

(1)判断一个函数是否为指数函数的根据就是定义，与定义相符就是，否则就不是．(2)指数函数y＝ax中，a>0

且a≠1，切记！思考题

1

(1)给出下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(

)A．0C．2B．1D．4B【解析】①中，3x

的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1

的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x

的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3

的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，－2<0，不是指数函数．(2)若函数

f(x)＝(a2－3a＋3)ax

是指数函数，则(

C

)A．a＝1或a＝2C．a＝2【解析】

由指数函数的定义，得B．a＝1D．a>0且a≠1a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1，解得a＝2.题型二

指数函数解析式例

2

(1)若函数

f(x)是指数函数，且

f(2)＝2，则

f(x)等于(

A

)A．(

2)x

B．2xC.

1xD.

2

2x2【解析】

由题意，设

f(x)＝ax(a>0，且

a≠1)，则由

f(2)＝a2＝2，得

a＝

2，所以

f(x)＝(

2)x.

1

2(2)若指数函数

f(x)的图象过点(3，8)，则

f－2＝

2

．【解析】

设

f(x)＝ax(a>0，且

a≠1)，则由

f(3)＝8

得

a3＝8，∴a＝2，∴f(x)x

11

2＝2

.∴f－2＝2－2＝

2

.探究

2

(1)求指数函数解析式，一般采用待定系数法．(2)求函数值先确定解析式．思考题212x12(1)若函数

f(x)＝

a－3·a

是指数函数，则

f

的值为()A．2C．－2

2B．－2D．2

2D【解析】

因为函数

f(x)是指数函数，所以1

－3＝1，2a所以a＝8，x121所以

f(x)＝8

，f

＝82＝22.1(2)若指数函数

y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则

f(－1)＝

2

.【解析】

设

f(x)＝ax(a＞0，且

a≠1)，∵f(x)的图象过点(2，4)，∴4＝a2，解得

a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(－1)＝12.题型三

指数函数模型的应用例

3

甲、乙两城市现有人口总数都为

100

万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3

万．试解答下面的问题：写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；计算10年，20

年，30

年后两城市的人口总数(精确到0.1

万人)；对两城市人口增长情况作出分析．参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.【解析】

(1)1

年后甲城市人口总数为

y

甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2

年后甲城市人口总数为

y

甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3

年后甲城市人口总数为y

甲＝100×(1＋1.2%)3；…；x

年后甲城市人口总数为y

甲＝100×(1＋1.2%)x.x

年后乙城市人口总数为y

乙＝100＋1.3x.(2)10年，20

年，30

年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示．10

年后20

年后30

年后甲112.7126.9143.0乙113126139(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．探究3

解决有关增长率问题的关键和措施：解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4

个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N

为基础数，p

为增长率，x

为时间)的形式．思考题

3

(1)春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的

2

倍，若荷叶

20

天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了

19

天．【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y

与生长时间x

的函数关系为y＝2x－1，当x＝20

时，长满水面，所以生长19

天时，荷叶布满水面一半．(2)某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018

年退耕8

万公顷，以后每年比上一年增加

10%，那么

2023

年需退耕

．8×1.15万公顷【解析】

根据题意，2018年退耕

8

万公顷，以后每年比上一年增加

10%，即是上一年的1＋10%＝1.1

倍，则2019

年退耕8×1.1

万公顷，2020

年退耕8×1.12万公顷，…，2023

年退耕8×1.15

万公顷．课后巩固1．碳

14的半衰期为

5730年，那么碳

14的年衰变率为(

C

)A.

1

5730B.

215

73021

1

C.

5

730

1

D．145

730解析

设碳

14

的年衰变率为

m，原有量为

1，57301221

1

则

m

＝

，解得

m＝

5

730，21

1

所以碳

14

的年衰变率为

5

730.2．若函数

y＝(m2－m－1)·mx

是指数函数，则

m

等于(

C

)A．－1或

2

B．－1C．2

D.12解析

依题意，有m2－m－1＝1，m>0且m≠1，解得m＝2(舍m＝－1)．ABD解析

由于

y＝ax>0(a>0，且

a≠1)，所以

A、B、D

都不正确．故选

ABD.1ax4．已知函数

f(x)＝

，a

为常数，且函数的图象过点(－1，2)，则

a＝2

1

，若

g(x)＝4－x－2，且

g(m)＝f(m)，则

m＝

－1

．解析

因为函数的图象过点(－1，2)，

所以21－a＝2，所以a＝1，21x－m

－m

－m所以

f(x)＝