大学物理第13章 静电场中的导体与电介质

课程指导课二第13章静电场中的导体与电介质§1导体的静电平衡§2电介质的极化电极化强度§3电位移矢量电介质中的静电场§4电容与电容器§5静电场的能量教师：郑采星大学物理2021/5/91基本要求教学基本内容、基本公式第13章静电场中的导体与电介质理解导体的静电平衡条件及平衡时导体上的电荷分布、电场和电势分布。理解静电屏蔽。理解电介质的极化、电极化强度；电位移矢量。理解D、E、P三个矢量之间的关系，电介质中的高斯定理。掌握电容器电容的计算。理解电场能量，电场能量密度并会进行简单计算。1.导体的静电平衡静电感应：在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。导体内部和表面无自由电荷的定向移动，——导体处于静电平衡状态。导体静电平衡的条件导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。导体2021/5/922.电介质极化（1）极化强度与极化电荷的关系介质外法线方向（2）电介质极化特点：内部场强一般不为零。空间任一点总电场（3）有电介质时的高斯定理电位移

通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和–––有介质时的高斯定理2021/5/933.电容与电容器计算电容的一般方法：

先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。理论和实验证明

C—充满介质时电容r—

相对介电常数(相对电容率）C0—真空中电容平板电容器圆柱形电容器球形电容器几种常见电容器及其电容2021/5/944.静电场的能量电容器是一种储能元件，在电路中用于调谐、滤波、耦合、旁路、能量转换和延时。

以平行板电容器为例能量密度电场能量对电场空间积分2021/5/95分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷-QA,外表面带电荷QA+QB，电荷在导体表面均匀分布（图(a)），由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。1.在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm，R3=10.0cm。设球A带有总电荷QA=3.010-8C

，球壳B带有总电荷QB=2.010-8C。（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。

o2021/5/96解：（1）由分析可知，球A的外表面带电3.010-8C，球壳B内表面带电-3.010-8C，外表面带电5.010-8C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为外表面带电荷QA+QB，电荷在导体表面均匀分布（图(a)），由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势o2021/5/97（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷

与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电-QA

（图（b））。再将球A接地，球壳内表面带电-QA？断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应-qA，外表面带电qA-QA（图（c））。此时球A的电势可表示为

由

UA=0

可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。

2021/5/98解：（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为

解得

此时球A的电势可表示为

由

UA=0

可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。

导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。2021/5/992.一平行板电容器中充满相对介电常量为er的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电荷面密度为±s′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：

(A)．(B)．(C)．(D)．

[](A)参考解答：本题可做类比法处理（空气）平板电容器极板上自由电荷面密度.电介质极化后边缘出现极化电荷面分布，在本例中为均匀面分布，设极化电荷面密度为′，其产生的电场可由类比法得到。2021/5/9103.C1和C2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)、500V(耐压值)和300pF、900V．把它们串连起来在两端加上1000V电压，则

(A)C1被击穿，C2不被击穿．(B)C2被击穿，C1不被击穿．

(C)两者都被击穿．(D)两者都不被击穿．

[](C)

参考解答：电容器串连，总电容电容器串连，电量相同：所以，把它们串连起来在两端加上1000V电压时，其端电压分别是：所以C1首先被击穿，然后1000V电压全部加在C2上，超出其耐压值（900V），C2也被击穿。2021/5/9114.一平板电容充电后极板上电荷面密度为0=4.510-5Cm-2。现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为r=2.0的电介质插人两极板之间。此时电介质中的D、E和P各为多少？

解：介质中的电位移矢量的大小

介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。

由有电介质的高斯定理2021/5/9125.某介质的相对电容率r=2.8，击穿电场强度为18×106V·m-1

，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047F，而耐压为4.0kV的电容器，它的极板面积至少要多大。

解：介质内电场强度

电容耐压Um=4.0kV，因而电容器极板间最小距离

要制作电容为0.047F的平板电容器，其极板面积

显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。2021/5/9136.如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2(R2＜2R1)，其间充有相对介电常量分别为er1和er2＝er1/2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度EM相同，问：(1)当电压升高时，哪层介质先击穿？(2)该电容器能承受多高的电压？

OR1R2Rer2er1解：(1)设内、外筒单位长度带电荷为＋l和－l．两筒间电位移的大小为D＝l/(2pr)在两层介质中的场强大小分别为

E1=l/(2pe0

er1r)，E2=l/(2pe0

er2r)

在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即

E1M=l/(2pe0

er1R1)，E2M=l/(2pe0

er2R)

可得E1M/E2M=er2R/(er1R1)=R/(2R1)已知R1＜2R1，可见E1M＜E2M，因此外层介质先击穿．

2021/5/9146.如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2(R2＜2R1)，其间充有相对介电常量分别为er1和er2＝er1/2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度EM相同，问：(1)当电压升高时，哪层介质先击穿？(2)该电容器能承受多高的电压？

OR1R2Rer2er1解：(1)E1M=l/(2pe0

er1R1)，E2M=l/(2pe0

er2R)

R1＜2R1，可见E1M＜E2M，因此外层介质先击穿．

(2)当内筒上电量达到lM，使E2M＝EM时，即被击穿，lM=2pe0

er2REM

此时．两筒间电压(即最高电压)为：2021/5/9157.电容为C0的平板电容器，接在电路中，如图所示．若将相对介电常量为er的各向同性均匀电介质插入电容器中(填满空间)，则此时电容器的电容为原来的______倍，电场能量是原来的______倍．

答案：er

，er8.思考题：电势能、电容器存贮的能量、电场的能量三者之间有什么区别和联系？参考解答:电势能是电场中相对于电势零点的电势高低而具有的能量，其具体大小与势能零点的选择有关；电容器存贮的能量是由充电过程中非静电力克服静电力做功而储存在电容器中的能量；电场的能量是以场的形式储存在电场空间中的能量。电势能、电容器存贮的能量归根结底都是电场的能量。2021/5/9169.思考题：用力F把电容器中的电介质板拉出，在下述两种情况下，

(1)充电后断开电源；(2)维持电源不断开。电容器中储存的静电能量是增加，减少还是不变？参考解答：(1)充电后断开电源，然后用力F把电容器中的电介质板拉出前后，电容器两极的电荷没有发生变化，但由于电介质的抽出会使其电容量减少，根据电容器的储能公式：

其储存的能量将增加，这部分能量来源于外力所作的功。(2)维持电源不断开，用力F把电容器中的电介质板拉出前后，电容器两端的电势差维持不变，但由于电介质的抽出仍然会使其电容量减少，根据电容器的储能公式：

其储存的能量将减少，这是由于在介质抽出的过程中为维持其两极板电势差不变，电场力作了功的缘故。2021/5/91710.如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为e1和e2．当电容器带电荷±Q时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为e1的介质板抽出，试求外力所作的功．

解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为串联后的等效电容为带电荷±Q时，电容器的电场能量为

将e1的介质板抽去后，电容器的能量为

外力作功等于电势能增加，即+Q-Qde1e22021/5/91811.如图所示，将两极板间距离为d的平行板电容器垂直地插入到密度为r、相对介电常量为er的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U不变，试求液体上升的高度h．解：设极板宽度