2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试数学（理）

2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

（1+i）z=-

1.已知复数Z满足>,则在复平面内复数Z对应的点在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

2.已知数列四/的前〃项和是〃2,则为+%=()

A.20B.18C.16D.14

3.设全集“=”叶(66)《。},集合"El*},八MM},贝FcQ/)=(

A.忆4}B,8"

»c.{I*}D.{024,6}

71兀

4,函数歹=(3'一歹加》在区间_2’2」的图象大致为()

—一

_2L\0/2LXO2Lx

222

A.B.

rx,一

_匹\切\

,22LO\7/JL2x2Vyv/4x

c.

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（)

2

1

主视图左视图

俯视图

2£8-加—

8

-TB.3C.3D.3

6.已知命题p：在中，若cos/〉cos8,则4<8；命题伏向量值与向量B相等的充要条件是

同=网且々〃在下列四个命题中，是真命题的是（）

A.PZB.（「P）A（F）C.GP）MD.PA（F）

/（x）=/sir）3x+夕）A>0,a）>0,|^|<—

7.已知函数12J的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

A.直线》=乃是函数/（“）的图象的一条对称轴

（7t0]

B.函数/（“）的图象的对称中心为1122'）,keZ

3兀117T

C.函数/（“）在L2’6」上单调递增

71

D.将函数/（*）的图象向左平移F个单位长度后，可得到一个偶函数的图象

8,数列也｝中，％=2,对任意外〃6叱4+““应，若%+*+…+%。=2叫一2',则

()

A.2B.3C.4D.5

9.2020年，由新型冠状病毒（SARS-CoV-2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID-19）在国内和其他国

家暴发流行，而实时荧光定量PCR（RT-PCR）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是C。以LM9的确诊

方法，实时荧光定量尸CR法，通过化学物质的荧光信号，对在尸扩增进程中成指数级增加的靶标。取

实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，0M4的数量X"与扩增次数〃满足

lgX,一〃lg（l+p）=lgX。，其中°为扩增效率，X）为。色的初始数量已知某样本的扩增效率

夕"0.495,则被测标本的大约扩增（）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：

10g|.4955B4）

A.10B.11C.12D.13

10.设a=2e5,b=&,，一3（其中e是自然对数的底数），则（）

斡a<b<cB.c<a<bQh<a<cQc<b<a

11.已知正三棱柱'8C-44G的所有顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为48%,则正三棱柱

ABC-的体积的最大值为（）

A12GB.15Gc246D.48G

12.已知的三个顶点都在抛物线V=4x上，点"（2，°）为△48C的重心，直线力8经过该抛物线

的焦点，则线段的长为（）

A.8B.6C.5D.4.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13,已知向量」』满足，卜向=旧+'=1,则1％.

14.在二项式1X）的展开式中，各项的系数之和为512,则展开式中常数项的值为.

22

「一匕=1（〃>0）"p

15.已知双曲线CQ3的左、右焦点分别为“，尸2,点尸是双曲线。的右支上一点，若

tanN尸耳£=—△尸产F

3,且八"苦2的面积为3,则双曲线。的焦距为

/(x)=<e"2

16.已知函数1一尸工“<0,若关于工的方程尸(》)=2加[/卜)-2]有8个不同的实数解，

则整数机的值为.(其中e是自然对数的底数)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答，

17.已知”，b,c为“8c的内角/,B,C所对的边，向量而=(a_b,c_a))=(sin8,sin4+sinC),

且〃2_L〃

(1)求角C

(2)若sin8<sinC,b=4,。为8c的中点，4D=屈,求的面积.

18.全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽

取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中加的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人,

再从这11人中随机抽取3人，记4为3人中成绩在[80,90)的人数，求4的分布列和数学期望：

19.如图，四棱柱44GA中，底面488是矩形，且Z°=2CO=2,"4=2,

71

ZA'AD~3,若O为4)的中点，且

4Di

B

(1)求证：4°，平面48C°；

兀

(2)线段BC上是否存在一点尸，使得二面角。一4”一尸的大小为3?若存在，求出6P的长；若不存

在，说明理由.

20.已知曲线C上的任意一点到点'(一1'°)的距离和它到直线/：x=T的距离的比是常数万，过点尸作

不与x轴重合的直线与曲线C相交于Z,8两点，过点4作N尸垂直于直线/,交直线/于点P,直线尸8

与x轴相交于点

(1)求曲线C的方程；

(2)求△力8M面积的最大值.

m\x\x+n

21.已知函数."x在(L/°))处的切线方程为kL

(1)求实数加和〃的值；

(2)己知'3/(")),'("/⑹)是函数/(X)的图象上两点，且/(“)=/("),求证：

In(〃+〃)<In(")+1

1

x=­t

<2

y=-y/3+-^-t

22.在平面直角坐标系xQy中，已知直线/的参数方程为〔2(f为参数)，以坐标原点。为

极点，x轴的非负半轴为极轴(取相同的长度单位)，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若点尸的极坐标为I'2直线/与曲线0相交于8两点，求归川归倒的值.

23.已知函数/（、月2》+1卜卜+卜1,加为不等式/。）<0的解集

（1）求集合M；

（2）设a,beM,求证：|2。+1|-口一2同<|2ab+2|

2022-2023学年度上期高2023届II月半期考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

(l+i)z=-

1.已知复数Z满足i则在复平面内复数Z对应的点在（)

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

【答案】B

2.已知数列{%}的前〃项和是〃1则4+%=

()

A.20B.18C.16D.14

【答案】C

3.设全集八上昨（＞6）40},集合人{1,3,5},5={0,2,4}；则爪口）=（

A24}B82,4}cUSD

【答案】A

717t

4.函数V=（3，-3）osx在区间［于5_|的图象大致为（）

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

2

1

主视图左视图

俯视图

2£8-加—

B.3C.3D.3

【答案】A

6.已知命题p：在A/BC中，若cos4>cos8,则Z<8；命题伏向量"与向量石相等的充要条件是

同=忖且£〃瓦在下列四个命题中，是真命题的是（）

A.PZB.（/）△（「"）口.P八（F）

【答案】D

/（%）=ZsinQx+e）A>0,69>0,|^|<—

7.已知函数I2J的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

A.直线》=乃是函数/（'）的图象的一条对称轴

1—工+竺o]

B.函数/（X）的图象的对称中心为I122'J,左eZ

3乃1\TI

C.函数/（X）在L2’6」上单调递增

D.将函数/G）的图象向左平移12个单位长度后，可得到一个偶函数的图象

【答案】B

8,数列他}中，％=2,对任意m,n&N」a“,+“=a”,a“，若%+…+%。=2"4,则

k=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

9.2020年，由新型冠状病毒（SARS-Co5感染引起的新型冠状病毒肺炎（COHD-19）在国内和其他国

家暴发流行，而实时荧光定量PCR（RT-PCR）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COHD-19的确诊

方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在尸CR扩增进程中成指数级增加的靶标。心1

实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量X"与扩增次数〃满足

lgX„-Mlg（l+p）=lgX0）其中p为扩增效率，X。为。Ml的初始数量.已知某样本的扩增效率

2"0.495,则被测标本的ov/大约扩增（）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：

1呜.4955R4）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

c~~

10.设a=2e5,b=&，c一3（其中e是自然对数的底数），则（）

a<h<cB.c<a<bQh<a<cQc<b<a

【答案】D

11.已知正三棱柱"C-44G的所有顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为48%，则正三棱柱

ABC-A}B}C}的体积的最大值为（）

A12百B1573c24^3D4873

【答案】C

12.已知的三个顶点都在抛物线V=4x上，点“（2,0）为AZBC的重心，直线经过该抛物线

的焦点，则线段15的长为（）

A.8B.6C.5D.4.

【答案】B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13,已知向量"/满足1"口回=1"+村=1,则分石=.

【答案】2

,+4”

14.在二项式IX)的展开式中，各项的系数之和为512,则展开式中常数项的值为___________.

【答案】135

・一・=1(。>°)FF

15.已知双曲线C：a-3的左、右焦点分别为I2,点尸是双曲线。的右支上一点，若

tan/.PFF=—/\pfp

X13,且八"芦2的面积为3,则双曲线C的焦距为.

【答案】2出

f(x)=<6X

16.已知函数1一尸〃1<0,若关于*的方程尸。)=2心(x)-2］有8个不同的实数解，

则整数m的值为.(其中e是自然对数的底数)

【答案】5

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答，

17.已知a,b,C为“8c的内角48,C所对的边，向量/=伍一女。一。)，］=(sin8,sin4+sinC),

且加_L〃

(1)求角C

(2)若.8<5由。力=4,。为80的中点，AD=yfUt求AMC的面积.

C=-

【答案】⑴3

⑵6G

【解析】

【分析】(1)根据向量垂直可得数量积为0,结合正余弦定理边角互化即可求解,

(2)根据余弦定理可求8值，进而可求“，根据三角形面积公式即可求解.

【小问1详解】

因为而,所以(a_b)xsin8+(sin4+sinC)(c_a)=0

由正弦定理得S一°)x人=伍+c)(”一c).

_a2+62-c21

2cosC=-----------二-

即。9-+"7-c=ab,由余弦定理得2ab2,

C=-

因为°<C<兀，所以3.

【小问2详解】

在三角形中，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD,

即13=16+C£)2-4CD,解得C0=1或CZ)=3,即a=2或a=6,

因为sin8<sinC,故6<C,

C=-

因为3,所以4>C>8,故a>c>6,所以a=6,

S,\ABC=—^6sinC=—x6x4x—=6>/3

所以「222

18.全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽

取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中用的值，并估计这50名学生成绩的中位数;

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人,

再从这11人中随机抽取3人，记。为3人中成绩在[80,90）的人数，求4的分布列和数学期望;

【答案】（1）m=0012,中位数68；

_9

（2）分布列见解析，U.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1,结合中位数的定义进行求解即可;

（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图的性质可得，9°°4+m+0022+°-03+0-028+0-004）x10=1,

解得加=0.012,

四届人%+“0.004x10+0.022x10+（a-60）x0.3=0.5

设中位数为a,'）解得。-06；

【小问2详解】

••・[70,80）,[80,90）,[90,100]的三组频率之比为02&

0.12：0.04=7：3：I

，从[70,80）,[80,9。）,[90,100]中分别抽取7人，3人，|人

4所有可能取值为0，1，2,3,

尸口）得嚏皆年=2）=常P6=3）=旨=+

故4的分布列为:

0123

562881

P

1655555165

E0=0x至+lx型+2X§+3X-L-

故v7165555516511

19.如图，四棱柱48co中，底面”CD是矩形，且4）=2。。=2,34=2,

71

NA^AD=—/^r\14c

3,若。为/o的中点，且

(1)求证：平面N8CZ)；

71

(2)线段8C上是否存在一点尸，使得二面角。一4“一尸的大小为5?若存在，求出8尸的长；若不存

在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.

【解析】

【分析】⑴由已知得“明。为等边三角形，再由4”CQ,能证明4名平

面/BCD.

2

(2)过。作以。为原点，建立空间直角坐标系°一型，利用向量法能求出当8P的长为3时,

二面角。_"/一尸的值为？

7t

Z-AAD——jj=AD=2

【详解】（1）证明：:X3,且44一4〃一2

，.41AD为等边三角形

...°为ZD的中点

,1AD

••，

又CO_L4。且CZ）n/Q=0,

4。J■平面Z8CO.

(2)过。作8,以。为原点，建立空间直角坐标系°一型(如图)

则4(0,TO),4(0,0,囱)

平面4，尸的法向量为々=(x/，z),

.刀=(o,i,G)17=(1,加+1,0)

%•AA}=y+\/3z=0

且nx-AP=%+(/%+1)y=0

取z=l,得"i=(/w+1),—VJ,1)

平面4NOR的_个法向量为〃2=（L°，°）

V3(/M+1)

73(W+1)2+3+1x1

由题意得

15a,12

m=——m=——BP=1——=—

解得3或3（舍去），此时33

271

・•・当BP的长为5时，二面角°一4'一产的值为3.

20.已知曲线C上的任意一点到点/（—1'°）的距离和它到直线/：尤=-4的距离的比是常数过点尸作

不与X轴重合的直线与曲线C相交于48两点，过点N作/尸垂直于直线/,交直线/于点P,直线尸8

与x轴相交于点机

（1）求曲线C的方程；

（2）求“BM面积的最大值.

*V

---1---—1

【答案】(1)43

9

（2）4

【解析】

【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解：

（2）设直线Z8的方程为"=〃少T,'（4凹），8（乙，8），表示出尸，联立直线与椭圆方程消去x,

表示出关于y的韦达定理，结合民尸求出直接尸8的方程，令y=°,求出加坐标，进而得到由

s△刖=」五Ml乂-％|

2求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.

【小问1详解】

设曲线C上的任意一点的坐标为（XJ）,

7（%+1）2+/_i《+曰=]

由题意，得卜+4|2,即43，所以曲线C的方程为43.

【小问2详解】

由题意,设直线”的方程为“=叼一1，，以/，必），则°（一4，%）

x=my—1,

*x2y2_

a—、37+~?=1'（3加2+4%2_6叼—9=0c,A=144佃2+1）＞0

联立方程143得IL“，则V）,

6m-9

所以"23m?+4,""3〃/+4,所以-2加M%=3（%+为）

%=第f曰（x+4）

又因为吃+4,所以直接尸8的方程为马+4

X—..&+4）=、叩防+3/：彳2」—必）_们3_5

22

令y=o,贝qy2-y1必一弘外一,,

\FM\=—

所以I2九2.

因为I乂一%|=J（乂一%了=4出+%）2-4%为=

16m¥/_9]12dm2+i

\{3m2+4J\3m2+4J3m2+4

2

=:四||乂川312,加？+19dm+1

。公ABM2

所以43加2+43m+4

&_9/_9

»△，用”_3/+「i

令/=J/«2i

+才21,则t

＜（0=-^9

又因为'+/在［L+00）上单调递减，所以当f=1时，）nwc—4,

9

故4ABM面积的最大值为a.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为&'凹）'。2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或了）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为％+%、%i%2（或乂+外、乂必）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

z、—加lnx+〃

21.已知函数，、x在（L/。））处的切线方程为歹=1.

（1）求实数加和”的值；

（2）已知'（"（"）），是函数/W的图象上两点,且/（。）=/0）,求证:

ln（Q+b）＜In（"）+1

【答案】（1）〃?="=1

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求导,由/'（1）=°J（1）=1可求对应的加和〃的值；

=0-＜a＜\＜b—fl-111—^=

（2）设0＜。＜6,由",可判断e，由°＜。＜6得aJ八〃，设

11-t—1-/In/

7A，,aW，得玉(l-lnxjf。—1114),代换整理得*r-1,原不等式要

证ln（a+6）＜ln（"）+l,只需证全部代换为关于1的不等式得（/-1）历（/+1）_//＜0

2

设S（r）=（l）ln（/+1）一叫j由导数得S'(t)=in1+-

包再证m（x+l）f放缩得

1

It）tt+1,进而得证.

【小问1详解】

m\nx+n

由"/'（》）=m-m\nx-n

x，得x2

因为函数/（X）在处的切线方程为

所以/'(1)=加一〃=0,/(1)="=1,贝甲=〃=1；

【小问2详解】

证明：由（1）可得，八）x,/（“）一下一

所以当xc（°，l）时，/（X）单调递增；

当—时,5。,/（x）单调递减

因为N（“J（a））,8（8/0））是函数/（X）的图象上两点，且=

°—<a<\<b

不妨设°＜。＜6,且，所以e

lna+1_InZ>+1

由/⑷="）,得-11—In1-lni

ab，即久b

11

、£-—=%2

设方,a

设》2=1,贝卜>1,所以玉(lTnxJ=X2(iTnx?),

1I/11-/In/

即lTnX|=，(l_ln/_lnx)故也万一”].

要证山（》）＜1“仍）+1,只需证%/＜e

即证玉+*2<e,即证C+l)X|<e,即证111(7+1)+111须<1

i/1\-l—fln,

即证n'++I<，即证(l)ln(/+l)-lnf<0

令S(/)=(-l)ln(f+l)-lnf,,>

t-I.1

5,(/)=ln(r+l)+-------1-In/=In

则r+1

证明不等式ln（x+l）«x

设〃(x)=ln(x+l)—x,贝J'(X)=77TT=77T,

所以当一1<X<0时，/（x）>°；当x>0时，/（x）<0,

所以"（x）在（T，°）上为增函数，在（&+"）上为减函数，

故”（%）皿="0）=0,所以ln（x+l）〃成立.

,八1V12

由上还不等式可得，当时，It）t'+1,故‘恒成立，

协s«）（1,+8）।+、甘n料M[S«）<S（1）=0

故'，在7t/上为减函数，则v7,

所以（I）1n（'+1）一"n，<°成立，即X+Z<e成立

综上所述，ln（"b）<ln3）+l.

.1

X——t

<2

y=~4?>+^-t

22.在平面直角坐标系宜勿中，已知直线/的参数方程为12（f为参数），以坐标原点。为

极点，x轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

.it

p=4cosl6n*-y

（1）求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程;

111

直线/与曲线C相交于48两点，求归H户4的值.

（2）若点P的极坐标为

［答案］(］)y~y/3,x2+y"—2x—2.>j3y=0