初二数学反证法

反证法2021/5/91反证法的一般步骤:与已知条件矛盾假设命题结论反面成立推理得出矛盾与定理，定义，公理矛盾假设不成立即所证命题成立2021/5/92解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.

如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ACBabc一、复习引入2021/5/93探究：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠

c2

成立。ACC

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠

c2

成立吗？请说明理由。abc

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。问题：发现知识：二、探究2021/5/94本节要求必须掌握的两种反证题型：

1.角度问题

2平行问题2021/5/95三、应用新知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠

∠

CABC证明：假设

，则（）这与

矛盾．假设不成立．∴

．∠B＝

∠

CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠

∠

C小结：

反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例１尝试解决问题感受反证法:2021/5/96

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

。∴

，即

。这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！例2∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°2021/5/97例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B、∠C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；2021/5/98（1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．故原命题正确

∴等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.2021/5/99证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。

所以两条直线相交只有一个交点。小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾例4求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线a、b。求证：a与b只有一个交点。abA●A，●2021/5/910A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc例52021/5/911例6:求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设____________,那么_________.因为已知_________,这与“____________________________________”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与l2不相交.l3∥l2l1∥l2

经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,2021/5/912四。巩固新知1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。 （2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2个（5）最多有一个（6）两条直线平行。2、用反证法证明“若a2≠b2,则a≠

b”的第一步是

。3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

。

a不是实数

a小于或等于２

a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形2021/5/913五、体验反证法1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PCABCP证明：假设PB=PC。在△ABP与△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共边）