中考数学二轮专题第06讲 动点问题专题(教师版)

一、行程问题公式路程=速度×时间，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、数轴工具1.数轴上的每一个点与实数之间的一一对应关系；2.数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；3.数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点.1.针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；2.求出所有动点在“起点、拐点、终点”对应的时间；3.可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；4.画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；5.掌握动点所经过的路程与相关线段长度之间的区别与联系.6.解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想．【例题1】（2019•大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开SKIPIF1<0处后行走的路程SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0与行走时间SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0与甲行走时间SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0的函数图象，则SKIPIF1<0．【解析】从图1，可见甲的速度为SKIPIF1<0，从图2可以看出，当SKIPIF1<0时，二人相遇，即：SKIPIF1<0，解得：乙的速度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0乙的速度快，从图2看出乙用了SKIPIF1<0分钟走完全程，甲用了SKIPIF1<0分钟走完全程，SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【例题2】已知，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．（1）如图1，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求证四边形SKIPIF1<0为菱形，并求SKIPIF1<0的长；（2）如图2，动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点同时出发，沿SKIPIF1<0和SKIPIF1<0各边匀速运动一周，即点SKIPIF1<0自SKIPIF1<0停止，点SKIPIF1<0自SKIPIF1<0停止，在运动过程中，已知点SKIPIF1<0的速度为每秒SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的速度为每秒SKIPIF1<0，运动时间为SKIPIF1<0秒，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点为顶点的四边形是平行四边形时，求SKIPIF1<0的值．【解答】（1）证明：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形．SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）显然当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上，此时SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点不可能构成平行四边形；同理SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0上或SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上、SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上时，才能构成平行四边形，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点为顶点的四边形是平行四边形时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的速度为每秒SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的速度为每秒SKIPIF1<0，运动时间为SKIPIF1<0秒，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点为顶点的四边形是平行四边形时，SKIPIF1<0秒．【例题3】将一矩形纸片SKIPIF1<0放在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发以每秒1个单位长的速度沿SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动，运动SKIPIF1<0秒时，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发以相等的速度沿SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0（秒SKIPIF1<0．（1）用含SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行？若存在，求出SKIPIF1<0值；若不存在，请说明理由．（2）求SKIPIF1<0面积的最大值．（3）如图，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0边上的点SKIPIF1<0处，且点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0从SKIPIF1<0点以每秒1个单位长的速度沿SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动，运动SKIPIF1<0秒时，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发以相等的速度沿SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动．SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0（秒SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；存在，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而增大，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【例题4】（2019春•西湖区校级月考）如图，等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0的方向以SKIPIF1<0的速度运动，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0方向以SKIPIF1<0的速度运动．（1）若动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同时出发，经过几秒SKIPIF1<0第一次垂直于SKIPIF1<0？（2）若动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的边上一点SKIPIF1<0恰能构成一个平行四边形？求出时间SKIPIF1<0并请指出此时点SKIPIF1<0的具体位置．【解析】（1）如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）如图2，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且离SKIPIF1<0点SKIPIF1<0；如图3，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且离SKIPIF1<0点SKIPIF1<0；如图4，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，不合题意舍去；综上所述：运动到第1秒或第3秒时，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的边上一点SKIPIF1<0恰能构成一个平行四边形，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，离SKIPIF1<0点SKIPIF1<0或点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，离SKIPIF1<0点SKIPIF1<0．【例题5】（2019•苏州）已知矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0．如图①，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，在矩形边上沿着SKIPIF1<0的方向匀速运动（不包含点SKIPIF1<0．设动点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点SKIPIF1<0的运动速度为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0；（2）如图③，动点SKIPIF1<0重新从点SKIPIF1<0出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，在矩形边上沿着SKIPIF1<0的方向匀速运动，设动点SKIPIF1<0的运动速度为SKIPIF1<0．已知两动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过时间SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上相遇（不包含点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相遇后立即同时停止运动，记此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①求动点SKIPIF1<0运动速度SKIPIF1<0的取值范围；②试探究SKIPIF1<0是否存在最大值，若存在，求出SKIPIF1<0的最大值并确定运动时间SKIPIF1<0值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）SKIPIF1<0时，函数图象发生改变，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0的运动速度为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0，故答案为：2，10；（2）①SKIPIF1<0两动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上相遇（不包含点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当在点SKIPIF1<0相遇时，SKIPIF1<0，当在点SKIPIF1<0相遇时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0运动速度SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；②过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图3所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0边上可取，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．【例题6】如图，已知直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0开始沿SKIPIF1<0边向点SKIPIF1<0以SKIPIF1<0的速度运动，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0开始沿SKIPIF1<0边向点SKIPIF1<0以SKIPIF1<0速度运动．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别从点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，问：（1）SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点之间的距离为SKIPIF1<0？（2）SKIPIF1<0分别为何值时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切？相离？相交？【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图1：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由勾股定理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或8；（2）当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，如图2，由相切，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时运动停止，相交SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；相离SKIPIF1<0．【例题7】如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．【例题8】已知，如图①，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝＝4，由平移的性质得MN∥AB，∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴＝，∴＝，t＝，（2）过点P作PE⊥BC于E，如图∵△CPE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴PE＝﹣t，∵PE⊥BC，∴S△QMC＝S△QPC，∴y＝S△QMC＝QC•PE＝t（﹣t）＝t﹣t2（0＜t＜4），（3）∵S△QMC：S四边形ABQP＝1：4，∴S△QPC：S四边形ABQP＝1：4，∴S△QPC：S△ABC＝1：5，∴（t﹣t2）：6＝1：5，∴t＝2，（4）若PQ⊥MQ，则∠PQM＝∠PEQ，∵∠MPQ＝∠PQE，∴△PEQ∽△MQP，∴＝，∴PQ2＝MP•EQ，∴PE2+EQ2＝MP•EQ，∵CE＝，∴EQ＝CE﹣CQ＝﹣t＝，∴（）2+（）2＝5×，∴t1＝0（舍去），t2＝，∴t＝时，PQ⊥MQ．1．（2019•营口）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒2个单位长度的速度沿SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0运动，同时点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位长度的速度沿SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0运动，当点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时停止运动．连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0运动的时间为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底的等腰三角形，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．【解析】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．2．（2019•乐山）如图1，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0沿射线SKIPIF1<0方向，从点SKIPIF1<0开始向右平移时，直线SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0的边分别相交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0向右平移的距离为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系如图2所示，则四边形SKIPIF1<0的周长是SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图象可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0的周长是：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．3．（2019•菏泽）如图，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一动点，以点SKIPIF1<0为圆心，以1个单位长度为半径作SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切时，点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4．（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【解析】（1）由图可得，小王的速度为：，小李的速度为：，答：小王和小李的速度分别是、；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，点的坐标为，设线段所表示的与之间的函数解析式为，，得，即线段所表示的与之间的函数解析式是．5．（2019•青岛）已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作，交于点，过点作，分别交，于点，．连接，．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，点在的平分线上？（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请